Modèle de concours de recrutement des professeurs de l'enseignement secondaire qualifiant de 2e grade — Ministère de l'Éducation nationale — session de novembre 2011 — mathématiques — épreuve sur la matière d'enseignement

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مباراة توظيف أساتذة التعليم الثانوي
التأهيلي من الدرجة الثانية ‎DA‏
‏نونبر 2011 ©
الموضوع
EXERCICE 1 :(4 points)
Soit À BC un triangle ayant tous ces angles aigus, soient Let N les intersections de la
bissectrice intérieur de l’angle 4 avec, respectivement (BC }et le cercle circonscrit à
ABC . Soient K et M les projections orthogonales de Z sur les cotés [4 B ] et[ 4 0 ] :
. 1
a) Montrer que : Aire(AMNK )= 54 N MK
1 b) Montrer que les points 4,K, L et M sont cocycliques, puis, en utilisant la loi des sinus,
prouver que: ‏ابا‎ = AL.sinÂ
1 c) Montrer que les triangles À CL et ANB sont semblables en déduire que
ABAC=AN AL
4 d) calculer en fonction de AB, AC'etsin À l'aire du triangle ABC , en déduire que :
Aire(AMNK )=Aire(ABC)
‏سسا‎
‎EXERCICE 2 :)5 points)
| On considère dans l’ensemble € des nombres complexes le polynôme suivant :
P(z)=2°-2°-(5+4i)z +21-12i
1 1- Résoudre dans € l'équation P(z (> 0 sachant qu’elle admet une solution réelle.
2 - Le plan complexe est munit d’un repère orthonormé direct (O 0 7 (٠. Soient 1,73 et I les
points d’affixes respectifs z, =3+2i,z, =—3,z,=1-2i.
1 7
a) Calculer 7 = ‏يب‎ en déduire la nature du triangle JA B ;
Z,—2%
15 b) Déterminer 2 . l'affixe du point © image du point par l’homothétie de centre À et de
rapport 2.
15 c) déterminer z,, l’affixe du point D le barycentre du système pondéré
{4:1:(B:;-D; CD},
1.5 d) Déterminer la nature du quadrilatère À BCD .

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| مباراة توظيف أساتذة التعليم الثانوي التأهيلي من الدرجة الثانية - نونبر 2011
الاختبار : موضوع حول مادة التدريس المطلوبة
الموضوع
التخصص : الرياضيات
3- Détérminer )1( l’ensemble des points AŸ tel que :
DE CE
0.75
0.75 | 4. Déterminer (C ) l’ensemble des points M tel que : ‏ص‎ - MB + MC] -5
EXERCICE 3 :(3 points)
On considère dans£ , l'équation )2( : xl % 2 [19]
1- Trouver deux entiers naturels et v tels que : 201lu — 18v=1
2- En déduire l’ensemble des solutions de l’équation(Æ).
EXERCICE 4 (8 points)
en
Partie J : On pose pour tout entier naturel # non nul, x, = L
pri
+]
1- a) Montrer que : ‏و‎ eN° } a > 1
t  p+l
b) En déduire que : (vn eN° ] u, S1+in(r)
0)=0
2- On considère la fonction @ définie sur IR, par : a(0) .
gx)=x(1+im(x)} si x>0
a) Montrer que @ est continue sur R, .
b) Etudier les variations de @, et tracer l'allure de la courbe représentative de 4 (On
précisera la branche infinie et la demi-tangente au point d'abscisse 0}
| Partie II : Pour tant réel x positif et pour tout entier naturel # non nul, on pose :
Ps t}dt ‏د0)‎ rappelle que ‏م رم‎ été définie à la partie 1(
1- a) Montrer que , pour tout mélément de ‏قار لا[‎ fonction ‏رم‎ est parfaitement définie et
continue sur R, .Que vaut 9, (0) ?
b) Vérifier qu'il existe deux suites (a,), et (2), telles que :
(vn eN° } (vx eR! ١ ‏ثم« ح(حامة‎ (a, +b,inx)
. a b, b,
0 1 : ‏2م17‎ jan=——-—" et ‏قح مق‎
(On montrera que { ne ) mi] +1) Cr )
c) Calculer b,
2- Pour tout #élément de N°,on pose : ‏مقلم حت‎
a) Montrer que : €, =2-u,
b) En déduire que, pour tout entier ‏م‎ supérieur ou égal à 2 : l|s1+in(x)
c) Conclure que: lim a, =0
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