Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Zemmour-Zaër 2014 — Épreuve : Analyse et probabilités

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المملكة المغربية
وزارة التربية ‎are)‏
‏المركز الجهوي لمهن التربية والتكوين
جهة ‎AL‏ ملا زمورزعير
‎Concours‏
‎d'accès au cycle de‏
‎préparation à l'agrégation de‏
‎Mathématiques‏
‎Session Février 2014‏
‎Durée 4 heures‏
‎Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.‏
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014 ‏مر‎
‎Important
‎L'épreuve est constituée de trois exercices et d'un problème. Le candidat est libre
de traiter Le sujet dans l'ordre qui lui convient à condition de bien mentionner les
références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des trois exercices et La seconde contenant celle
du problème. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et Le nombre d'intercalaires utilisés.
ILsera tenu compte dans l'appréciation des copies de ‏قا‎ rigueur de votre raisonnement,
de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si Le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il Le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à Le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il croit
nécessaires où pas.
Les calculatrices et les documents sont interdits lors de cette épreuve.
Problème
Pour tout entier naturel k, on définit la fonction polynomiale l'£ par :
x(x— 1)
Po(x) = 1, TG) = x, F2(x) = 5
VxeR, ‏ان‎ x(x—1)-.(x-Kk+1)
k(x) = ‏ان ا‎
Le but de ce problème est d'étudier la série de fonctions du type LE ‏1ه‎ n(x), où x est une variable
nz0
réelle et (4»)h>0 est une suite réelle.
EE ةت_لنلا ‏للبببستشتسسسشسشش‎
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ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ —
Préliminaires
Soient peRetxeR\N fixés. On considère la suite (un)n>0 définie par :
VneN, un = n? [Th
On considère la série de terme général v, = In(u»)-In(un-1), 7 6 N°.
—(x+D) p-(x+1)? 1
1. Montrer que : ‏حيرا‎ nt + ‏ع‎ +o(—), lorsque n tend vers +0.
n n n
2. Étudier, selon le réel ‏,م‎ la nature de la série ‏ل‎ v,.
n20
3. Déduire une condition nécessaire et suffisante, sur ‏,م‎ pour que la suite (In(uy))n>0 Soit conver-
gente.
4. Montrer qu’il existe un réel strictement positif K(x), tel que l’on ait :
‏وكا - اوم ]| **_منا‎
‏و0++ر‎
‎1161
‎5. Soit f une application ‏ره] عل‎ + dans R, où a > 0.
(a) Soit ne ‏.لي‎ Montrer que le système :
D xl e(p) = f(p)
0<p<n
de (n+ 1) équations à (n+ 1) inconnues x,,---,x, , admet une unique solution. (Ind : remarquer
qu'il s'agit d'un système linéaire triangulaire).
(b) En déduire l'existence d’une unique suite de réels (4»)»2>0 possédant la propriété suivante : pour tout
neN, la fonction x f(x) - 3 agT£(x) est nulle pour tout x 6 {0,1,:::,n}.
La suite (4h) 120 Sera dite suite associée à la fonction f.
(c) Soit be R°. Montrer que la suite de terme général (b— 1)" est la suite associée à la fonction x b*.
6. Soit (an)n>0 la suite associée à f, selon la définition donnée en (5.b.). On suppose de plus que
a=0et f est de classe € sur [0,+ool. Soient neN et x € [0,+ool.
(a) Montrer que :
VNEN, 30 ER tel que f(x) = ‏نل‎ al (x) + Tux) FT (6)
(Ind : étudier d'abord le cas x € 10,٠0٠ 11٠. Pour x 2 10,٠٠٠ ‏رالا‎ utiliser la fonction auxiliaire
te f() - y axT (0) - AT ‏رجيح‎ )1(, où À est une constante convenablement choisie et appliquer le théo-
rème de Rolle).
(b) On suppose de plus que f vérifie la propriété suivante :
3M ER, 3n, ‏قلع ل‎ que VyeR;, Vn> no, |] ‏ا0ر)‎ > 7
Montrer que f(x) = ‏نل‎ anT (x).
(c) Que peut-on dire de f si cette fonction est nulle pour tout entier naturel ?
A جةيجعدد ‏نسس_____سسسسسس سا -- مو‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014 ‏حر‎
‎Partie II
Pour h€R, on considère dans cette partie, la série de fonctions ‏رج‎ h”T,(x), de variable réelle x.
720
7. Dans cette question, on suppose |7120 > 1.
(a) Montrer que le domaine de convergence simple de la série de fonctions D 171 ‏0د)م‎ est R; on
n20
discutera le cas x e N puis le cas où xe R\N.
(b) SoitxeR.
1 . Établir à l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral que, pour tout n EN,
n . R{h-1\"
)1+7(* = 3 ‏“و1‎ + (n+1)Th41(20 | ‏الع‎ )0+0* 7
ii . Déduire que (1+h)* = ‏)م1 نل‎ 16
8. Onprendh=l.
(a) Montrer que si ‏بت د‎ \N, la série >, l'h(x) est convergente.
n20
(b) Déterminer, pour x €] - 1,0], la nature de la série 3 l'h(x). (nd : On pourra remarquer que
n20
Ta) = )-1(“ TD.
(c) Montrer que si x €] - ‏,روه‎ -1[, la suite (lh(X))n>0 ne tend pas vers 0.
(d) Déduire le domaine de convergence simple de la série de fonctions 3 FC).
nz0
(e) Montrer que, pour tout xe ‏ربق‎ la somme ‏ل‎ lh(x) =2*.
Exercice 1
1. Montrer que l'intégrale impropre :
| 7 ‏اج‎ dt
0 e'-1
est convergente. On notera [ sa valeur.
2. Calculer, pour tout n EN”, l'intégrale :
Ja = il te” "‘'dt
3. Justifier que la série ‏و[ ل‎ est convergente de somme égale à /.
nzl
EE ‏_نر4دطدارظٍددد..دا ادا‎
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ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
———— ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ —
On considère pour 7 > 1 la fonction P, à valeurs complexes définie pour tout x € [0,+oo[ par:
où, i désigne le nombre complexe vérifiant =].
4. Montrer que P, est polynomiale.
5. Déterminer ses racines dans ]0, +œl.
6. En déduire les relations pour n2> 1:
L kr n(2n-—1) L 1 2n(n+1)
>. cotan? | ‏مب‎ | =, ÿ ES & ‏لوا‎
‎£ 2n+1 3 Pa 5 7 | 3
2n+1
‘ 7 ‏ا‎ 1 1
7. Démontrer, pour t 10, —[, les inégalités : cotan(f) > - > ‏حب‎ .
2 t sin(f)
8. En déduire que J = ‏ب‎
‎Soit (E, ||.1) un espace vectoriel normé sur R. On rappelle les définitions suivantes :
Définitions :
a- Soit (Xn)nen une suite d'éléments de E et soit 1 2 E. On dit que 1 est une valeur d'adhérence de
(Xn)nen s'il existe une sous-suite de (Xn)nen qui converge vers I.
b- Une partie K de E est dite compacte si, toute suite (x,) d'éléments de K, admet une valeur d'adhé-
rence appartenant à K.
1. Théorème des compacts emboités
Soit (Cn)nen une suite de parties compactes non vides et emboitées, c’est à dire vérifiant :
7726 N, Cn+1 (ea 0
(a) Justifier 1 0916006 d’une suite (Xxn)nen vérifiant : V 76 6 ‏رلا‎ xn € Cn.
(b) Justifier que (x»)»en admet une valeur d’adhérence x.
(c) Déduire que ) [ ‏م‎ est un compact non vide. (Ind : on montrera que x € ) ١ Cn)
neN neN
2. Théorème de Dini
Soit K un compact non vide de E. On considère une suite croissante (f,) de fonctions continues de
K dans R convergeant simplement vers une fonction continue f ; c'est à dire :
VneN, VxeK, fn(x) > fn:1()
VxeK, lim fn( = f(
On fixe arbitrairement un réel ‏ع‎ > 0. Pour tout entier naturel 71, on pose :
Kn={xe K; [fn -/)0| 28
EE ‏لسسسبسنسسسين سستميسسسسس تتا‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
(a) Justifier que, K, est un compact, pour tout ne ‏.ل‎
‎(b) En utilisant le théorème des compacts emboîtés, montrer l’existence de #0 € N tel que :
Ky = 9.
(c) En déduire que la suite de fonctions (fn)neu converge uniformément sur K vers f.
3. Application : Approximation polynômiale de la racine carrée
Soit (Py)nen la suite de fonctions définies sur [0, 1] par :
Po - 0
Ph41(0) = P,(E) + +
(a) Justifier que, pour tout 71 EN, P, est une fonction polynômiale et que :
Vte[0,1] VnEeN ‏0)رط ك0‎ > Vt
(b) Montrer que, pour tout te [0,1], ‏طامنا‎ (t) = 7/1
(c) En utilisant le théorème de Dini, établir la convergence uniforme ‏عل‎ (P,)hen-
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Q,.7, p) à valeur dans
X(Q)={1;2;:;n):
On appelle entropie de X, le réel H(X) défini par
H(X)=-Y piln(pi) avec ‏ح ]م - م‎ 21 <0
1. Soient B, la variable de Bernoulli de paramètre ‏م‎ 0,1]
(a) Rappeler l'expression de la variance V (B,) et calculer son entropie H(B,) en fonction de p.
(b) Montrer que
Vpe]0,1[:V(B»)<H(B»)
2. Soient 71 un entier naturel non nul et ‏ون‎ une variable alétoire uniforme sur {1,2,...,n}, c’est à
dire 1
Vke{1,2,..,n}:plU, = K] = -
(a) Rappeler l'expression de la variance V (U,) et calculer son entropie H(U,) en fonction de n
puis écrire H(U,) en fonction de V (U;).
(b) Montrer que
Vu>0:un(uw>u-1 (CF)
avec égalité , si et seulement si u= 1.
(c) En déduire que, pour toute variable aléatoire discrète X à valeur dans {1,2,...,n},
H(X) > H(Uh)
avec égalité si, et seulement si, X = Un.
On a ainsi montré que parmi toutes les variables aléatoires discrètes sur un ensemble de cardinal n, la
loi uniforme ‏,لآ‎ réalise le maximum d'entropie.
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