Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Fès-Meknès 2019 — Épreuve : Analyse et probabilités

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CYCLE DE PRÉPARATION 7 1061156710 DE MATHÉMATIQUES
GONCOURS D'ENTRÉE ENIPREMIÈRE ANNÉE
Épreuve d'analyse & probabilités
Durée :
Section: Mathématiques
Édition Juillet2019
é, comporte 3 payes au format/A{; en plus de celte page de garde,
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1 \ ‏رو‎
CRMEF:FES CPAM CONCOURS D'ENTRÉE 21 7
CONCOURS D'ENTRÉE EN GPAM/:
Soit C®(R, C) l'espace vectoriel des fonctions définies sur R à valeurs complexes indéfiniment dérivable
SR: C}/ie sous'espace vectoriel/de CY(R;C)/constitué/des fonctions 1 06 classe C® telles que
D Vp,a EN: lim ÉJAUIE) = 0)
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Soit U,V,'Hles applications de C®(R/C) dans C®(R;C) définies par
CHIOEETOETIE)
WE OEE)
(HN) = 2/5) 2110)
Partie/l.
0 Vérifier ‏هن لل رعو‎ 7 001 bien des codomorphismes de 00) 0):
2) On ‏السس‎ C(R,C) de ‏ما‎ somme et le produit uselles des fonctions,
> ‏(ه)‎ Montrer que S°(R/C)'estlune sous algèbre de C®(R;C) non réduite à {0}:
> (b) Exprimer l'application composée) Vo U/en fonction de Het l'application identité Éd (ue € +
3: 50161 € S®(R;C); Montrer que V(p.g) € N?, 24,4 € RÀ dépendant de tel que
4. Soit f.ct 9 deux fonctions de SE(RIC)E
-(a) Prouver que ‏هل امه إ2او(2)/ تصوق]ا» )2( جرع‎ intégrales absolüment/convergentes sur
toute la droite R?
< (b):Déduire que l'application de SY(R;C) X'SY(R;C)'dans C'définie/par (7/2) ‏ب‎ (9) =
0 5 0 ‏عل الم‎ SY(R;C)'un'espace préhiibertien complexe,
it Ta norme d'un Elément/f{dans cet'espace.
He 0 RUE l'inégalité de Cauchy-Schiwarz, En déduire une relation entre les réels vulrants
+0 se 2
‏رئاس مدا‎ ٠ 1 ‏عه "العام‎
8. Démontrer que ‏(وررزإلا‎ € 76:96
(U 9) - (Vo)
(Ho) = Ho)
(H19) = UVH9)
Partie 2?
1, Soit t € R et la fonction définie sur R par 3
H)=aDep(s= (0 068
0 : 64 0 que | ‏ج‎ exp); (On rappel ‏عدو‎
‎()|Prouver ‏(6ن6) 57 > بل عاو‎ » ‘déterminer a(t) pour 4
fn ere = Va):
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{b) Exprimer (Uus)(x) et (Vus)(æ)!en fonction ‏عا عل‎ et u(z).
Dans la suite, ‏وه‎ suppose que [u|| = ‏)دجت‎ 5)
2: So ‏الات‎
‎(a)! Montrer: que la ‏-عا)ي» (ج)/ بت ع دمناعوط‎ 5 na une intégrale absolument 'convergente
surR. ‏ا وليه‎ 8
- )0( {Soit ‏مالا‎ fonction définie sur. R par (L/)(x) = / ‏ع()/(د)رن‎ Calculer (Lus)(z) pour
‎+8 CAC
‏دا‎ )0 Montrer que )2/()( - )4,1( et (Lo PO - ‏/ن)‎ 0
(4): Montrer que la fonction ) + (END 7-7 et borné.
3} Solt 1 ‏د 0 بدي‎ considère les fonctions F, Get F, définies sur ‏عدم جر‎
0 = I TOR CCE pe ‏عازج -عئامى (-)إ‎
CO 11e J&)epliz- ‏عوزج‎ où neN
(a): Prouver que ‏م‎ ot continuement dérivable et calculer sa dérive pour tout n € ‏ا‎
‎{b): Montrer que, YA2>.0, la suite de fonctions 70. converge uniformement vers G sur [-4,'A];
(c) Montrer que: YA > 0, la rulte de fonctions (F4), converge uniformement vers Faur ‏م(‎
‎)0( Montrer que Fest dérivable et calculer sa dérivée.
4 En déduire que VE S°(R,C) on a ‏أ(/2)‎ - 1 ouf.
5. Démontrer que L eat linéaire de SY(R,C) dans C(R,C)!
6. Exptimer Lo H(/) en fonction de £fiet ‏1ع‎
‏6ط‎ ٠
Soit ho la fonction) définie! par ho(x) = en )'pour ‏ع‎ 6 R'et on ‏مم سم‎ = V'ho où n° € N°
AV = Ve VooVin(ols, 1
1. Calculer/Ch, pour ‏باع‎
‎2.55 2). Montrer que £/.=0 Armplique Lo » 0 où g(x) = 2/(x)etn EN;
3. Déterminer suivant les valeurs ‏م ا" يل‎ les solutions de l'équation différentielle
2070+ 0270)
Hans CY(R,C): es
41 En déduire que les seules leurs propres de l'endomorphisme H'appartiennent à L
Em(/i Vi CR /J(r)= P(s)holz) où PE RIX)}
sont les fonctions h4 (4 ui facteur prés) asiociées aux valeurs propres 2041 pour ‏عد‎ 0,1,2...
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