Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Kénitra 2015 — Épreuve : Analyse et probabilités

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HXHAË£F | 06 ‏المملكة المغربية‎
HLelkOH ١ SOXL£ ‏مثاءاء‎ 4 ١! ‏وزارة التربية الونجنية‎
À 8017 XX à ‏والتكوين الممن*ي‎
المركز ‎Case]‏ لممن التربيهة والتكوين
‎Concours‏
‎d'accès au cycle de‏
‎préparation à l'agrégation de‏
‎Mathématiques‏
‎Session Juillet 2015‏
‎Durée 4 heures‏
‎Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.‏
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
Important
L'épreuve est constituée de trois exercices et d'un problème. Le candidat est libre
de traiter Le sujet dans l'ordre qui lui convient à condition de bien mentionner les
références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des trois exercices et La seconde contenant celle
du problème. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et Le nombre d'intercalaires utilisés.
ILsera tenu compte dans l'appréciation des copies de ‏قا‎ rigueur de votre raisonnement,
de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si Le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il Le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à Le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il croit
nécessaires ou pas.
Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits
lors de cette épreuve.
Objectif du problème : Le problème a pour objectif la démonstration, de deux façons différentes,
du théorème d’approximation de Weierstrass suivant :
Toute fonctions réelle continue sur un segment a, b], est limite uniforme d'une suite de fonctions
polynômiales sur [a, b].
Dans toute la suite, w désignera un réel strictement positif.
À CC à
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ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
‏س”ا<77[سل#اواا[1اكح3>]س>>792/ا+ج|جج,ى,إ>,لن>ل->,ٍٍت-ن7ت>ق5قا57ى97ا7,,/777>5>اقنتةج|خس فى<6 5< 35 7(>ظكعغعف1ٍف|لس لمانا ااا .افع :سل .تم‎ 79
Préliminaires
Soit (Dh)nen une suite de fonctions continues par morceaux sur [—-w, w], f une fonction définie et
continue sur un segment [a - w, b+ w], où a, b ER tels que a > b, et posons
fo = | ‏مم مما‎
pour tout x € [a, b] et pour tout n EN.
On suppose que (D) vérifie l'hypothèse (Æ), suivante :
i/Vte [ — W, 10[ 8 Dh (— t) —= Dh ( 20) ,
11/ 712 2 ]-10,10[, D;(t)>0,
iii/ Pour tout Ô €]0, w[, (Dh) converge uniformément vers 0 sur ]- ‏نا [6- ,سر‎ [6, w1], (7)
1. Justifier pourquoi f est bornée et uniformément continue sur [a - w, b+ w!].
On désignera par M un majorant de |f| sur [a — w, b+ ‏.سر‎
‎2. Montrer que les f, sont bien définies et continues sur [a, b].
3. Montrer que pour tous xe [a,b], neNet 6 10,0] on a:
‏صخا | كام - 0م‎ -pooinwoar+am ] D,twat.
4. En déduire que (f,) converge uniformément vers f sur [a, b].
Une première preuve du théorème de Weierstrass
5. Démontrer que :
Vte{[0,1],VneN, (-1)">1-nt.
6. Posons pour tout neNet tout fe [-w, 0 :
(= | ii | ١
Pn ‏و‎ wè G
a. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (p).
b. Calculer lim Î Pn(hdt.
n— +00 _w
‏.ع‎ Montrer, pour tout n € ‏,كل‎ l'inégalité :
w 4 10
2(0+2< —.
1 1 7
(ind. On pourra minorer par une intégrale sur [——,—|], puis utiliser la question 5).
Vn 1
d. Justifier l'existence d’un réel c, tel que 1 CnPn(ôdt = 1, et montrer que 0 > > PEL
‏وت‎ 10
e. On pose Ph = ‏.1ر0‎ Montrer que pour tout à 0, ‏اس‎ la suite (P,) converge uniformé-
ment vers 0 sur ]- 10, -6[ ‏نا‎ [6, w].
f. Conclure que P, vérifie l'hypothèse )2(
EE ‏___د_درررررررررر اا‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
7. Soit ‏ع‎ une fonction continue sur un segment non trivial [a, b] 6
Prenons w = 2(b— a) et prolongeons ‏ع‎ à [a — w, b+ w] en une fonction f définie par :
— fH=g@sixela,b],
— f(x) =0sixela-w,a- 3 JU[b+ 2” b+w] et
— f affine sur [a- 3 a] et sur [b, b+ à ].
Pour tout x € [a, b] et pour tout ñn EN, posons :
În (x) = 1 1 2+ 001)01
a. Montrer à l’aide d’un changement de variable, que pour tout x € {a, b],
‏لامر‎ = Î 1 )41)4- (05
et en déduire que 5 est un polynôme.
b. Déduire le théorème d’approximation de Weierstrass.
Une deuxième preuve du théorème de Weierstrass
Soit f : [0,1] — R une fonction continue, 72 un entier strictement positif, et x € [0, 1].
On note ‏...رول ررك‎ X, des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la
même loi de Bernoulli de paramètre x.
On note également : S, = ‏ووز + ... + ؤز + ول‎ Zn = — et B,(f)(x) = E(f(Z:)).
8. Rappeler sans démonstration, la loi de ‏,ري‎ en déduire, avec démonstration, les valeurs de
l'espérance et de la variance de ‏وى‎ en fonction de n et de x.
9. Expliciter l'expression de B,(f)(x).
10. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout a > 0:
2. | | ‏الى "ومو )مر‎
0/71 k 4710
‎11. En déduire que la suite ‏[)مط)‎ ))nen converge uniformément vers f sur ]0,1[. (ind. On pourra
utiliser le résultat de la question précèdente ainsi que le théorème de Heine).
12. Déduire le théorème d’approximation de Weierstrass.
La suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
EE ‏ا‎ تسسسسسمت١متسسسببربرببمبلل‎
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ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
———— ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ —
Exercice 1
Soit x un nombre réel, on rappelle que s’il existe un nombre entier ‏م‎ qui vérifie |p - x| > 3 alors p
Ce ‏م‎
‎est l’entier le plus proche de x. On rappelle aussi que : VxeR: ‏نل‎ = 2
On définit la suite (Bn) par ‏مم‎ = n! EU
n) P = ‏ب‎ Et *
13. Expliciter B,,1-(n+1)6, en fonction de n, pour tout entier n de N.
14. Montrer que pour tout n de N, B, est un entier naturel.
7 (_] k © )-1 k
On définit la suite (pn) par ‏زج -ا ا حم‎ on = > ‏ل‎
‏و‎ 8 pins K
15. Préciser le signe de p, en fonction de l’entier naturel n.
16. Etablir, pour tout entier naturel 7, l'inégalité suivante : ‏م21‎ > ET
17. Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n > 1, B, est l’entier naturel le plus
proche de © ln.
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle ]-1, 1[ par f(x) = 1=x
18. Montrer que pour tout entier naturel n, B, = f (0).
Pour ñn > 1,on note:
— Sn l'ensemble des applications bijectives de [1,7] dans [1,1].
— Yn le nombre d'éléments de ., sans point fixe (Tr appartenant à ., est sans point fixe si pour
tout k de [1,n1], on a T(Kk) # k).
Pour ñn = 0 on adopte la convention : 70 = 1 et y1 = 0.
19. Rappeler sans justification le nombre d'éléments de #.
20. 510 > 1 > n, combien d'éléments de ‏مذي‎ ont exactement k points fixes ?
21. Établir pour tout entier naturel n la relation : 2 0 7
+00 17
Pour xeR, on pose g(x) = y = x” lorsque la série converge.
n=0 ٠
22. Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à 1.
23. Calculer e"g(x) pour ‏عد‎ [ -1, 1], puis montrer que pour tout x de ]-1,1{[, f(x) = g(x).
24. Comparer les deux suites (Bh) et (Yn) et en déduire la valeur de 8.
EE ‏__ررررررري.ا‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
Exercice 2
On considère les fonctions ‏ع‎ et h définie par :
VxER, g(x) = | cos(f?) dt et h(x) = | sin(t?) dt
25. Montrer que les fonctions ‏ع‎ et 7 admettent des limites finies, notées 1 et 12 respectivement,
lorsque x tend vers +oo.
1 ‏مني‎ (+)
26. a. Montrer que la fonction H:x— | Te dt est de classe €! sur R, et calculer sa
dérivée.
b. Déduire une relation entre les fonctions H etG:x— 1 ‏ف‎ dt,xeR.
1 p2eix t?
27. a. Al’aide d’une intégration par parties, montrer que lim 1 ‏ب‎ 02-0.
X—+00 Jp 1+2
1 55 1 ei a
b. Calculer lim | e*T dtet,en déduire lim 1 ‏ات‎
‎X—+00 ‏ول‎ X—+00 ‏ول‎ 1+7]
28. En déduire que : 1 = ‏وآ‎ et, donner la valeur de | ٠
Exercice 3
_ ; da 5 : ‏مراع - لماع‎
On désigne par L l’espace vectoriel réel des fonctions g : [0,1] — R telles que sup N-
x,yE[0, 5 ‏سسا‎
‎existe et finie. On note: sup | 80780 | = k(g).
x,yel0,1] X=Y |
XÉY
29. Justifier que les applications ‏ع‎ de L sont bornées sur [0,1].
30. Montrer que si une fonction ‏ع‎ est de classe €! sur [0,1], alors ‏ع‎ € Let, que k(g) = sup [g’(x).
x€[0,1]
31. Montrer que l'application 717 : ‏جع‎ k(g) + || ‏مااع‎ est une norme sur L.
32. Montrer que l’application identité est continue de (Z, N) dans (Z, ||).
33. Soit la suite de fonctions (fn)n>1 définie sur [0,1] par:
XSi0O<X<—
fn) = 1 1 8
—si—<x<l
a. Soit n 6 N°. Vérifier que f, € Let calculer 27)
b. Montrer que la suite (f,)1>1 converge dans (Z, N).
>. Les normes N et ||١||م‎ sont elle des normes équivalentes ?
34. Montrer que la boule fermée B'(0,2) = ‏ع)‎ 6 L; N(g) < 2} n’est pas compacte.
EE ‏ربررب-ا‎
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