Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Kénitra 2015 — Épreuve : Algèbre et géométrie

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HXHAË£F | 06 ‏المملكة المغربية‎
HLelkOH ١ SOXL£ ‏مثاءاء‎ 4 ١! ‏وزارة التربية الونجنية‎
À 8017 XX à ‏والتكوين الممن*ي‎
المركز ‎Case]‏ لممن التربيهة والتكوين
‎Concours‏
‎d'accès au cycle de‏
‎préparation à l'agrégation de‏
‎Mathématiques‏
‎Session Juillet 2015‏
‎Durée 4 heures‏
‎Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.‏
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
Important
L'épreuve est constituée de trois exercices et d'un problème. Le candidat est libre
de traiter Le sujet dans l'ordre qui lui convient à condition de bien mentionner les
références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des trois exercices et La seconde contenant celle
du problème. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et Le nombre d'intercalaires utilisés.
ILsera tenu compte dans l'appréciation des copies de ‏قا‎ rigueur de votre raisonnement,
de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si Le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il Le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à Le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il croit
nécessaires ou pas.
Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits
lors de cette épreuve.
Problème
Rappels : Dans ce problème n désigne un entier naturel non nul et.#, (R) est l'algèbre des matrices
carrées réelles d'ordre n. A € Mn(R) est dite nilpotente d'indice ‏م‎ si A? = 0 et ‏أ للم‎ 40. E sera
un espace vectoriel de dimension finie 71 et on définit pareillement un endomorphisme nilpotent
d'indice p, de l’espace E. La composée de deux endomorphismes u et v de E sera notée uv au lieu
de ‏مين‎ v. On rappelle d’autre part, qu’un endomorphisme x de E est un projecteur si x° = id et que
dans ce cas ker(x — id) = Im(x).
À CC à
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Première partie
1. Soit u un endomorphisme de E nilpotent d'indice p.
a. Montrer quep=<n
b. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supé-
rieure à diagonale nulle (on dit que c’est une matrice triangulaire supérieure stricte)
c. Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes constitue une
sous-algèbre non-unitaire de .#,(R).
d. Déduire que: VkeN*, tr(u*)=0
2. Inversement, soit 4 un endomorphisme de E tel que: VkeN”, tr (u*) = 0.
a. Soit 7, le polynôme minimal de u. Montrer que son coefficient constant est nul et
qu’il existe un polynôme Q de R[X] tel que 74 = X7Q avec q > 1 et Q(0) Z 0. On pose
F = ker(Q(u)) et G = ker(u‘).
b. Montrer que F et 6 sont deux sous espaces vectoriels stables par u etque E=F&@G.
Soient v et w les endomorphismes induits par u sur F et G respectivement.
>. Justifier que w est nilpotent et déduire que tr({ ‏أن‎ = tr(uX) pour tout k € N°
d. Calculer Q(v) et montrer que F = {0}.
e. Déduire que u est nilpotent.
Deuxième partie
Si f,ge.Z(E), on définit leur crochet de Lie par : ]1, ‏[ع‎ < fg-gf
3. a. Montrer que l’on définit ainsi une application [. .] de (Z(E))° dans Z(E), bilinéaire et
antisymétrique.
b. Quels sont les endomorphismes f de E vérifiant : Vge Z(E), [f,g] =0
c. Pour f,ge S(E), calculer tr{f, ‏[ع‎
‎d. Pour tout f,g e (E), et pour tout ‏م‎ 6 N, montrer que
ei = Lf,ePlg+g?lf,8l
771 = (fP,glf+fPIf,el
4. Soit x un projecteur de E. Rétablir que rg(x) = tr(x) et que si À # {0,1} alors 7 - 17645 est
inversible.
5. Soient f,ge (E).
a. On suppose qu'il existe À Z 0 tel que [f, g] = 1. Montrer qu'il existe une suite de réels
non nuls (a,),>1 telle que
Vp, [fP,8g1=a,f?
Déduire que f est nilpotent.
b. Que dire de ‏ع‎ si ]/, ‏[ع‎ = Ag avec À Z0
c. Montrer que s’il existe (a, B) € R? tel que [f, g] = af + Bg, alors a f + Bg est nilpotent.
6. On suppose que f et ‏ع‎ sont deux projecteurs distincts de E tels que ]1, g] = a f+Bg et a & {0,1}.
a. Montrer qu'il existe h e S(E) tel que f = gh puis que ‏رع‎ = f.
On suppose dans la suite que f ‏ك‎ 0
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
b. En considérant un vecteur x non nul de Im(f) montrer que a + =0
>. Justifier que ker(f), n’est pas contenu dans ker(g) et en déduire que ‏م‎ = -1
d. Montrer que g — f est nilpotent. Quel est son indice ?
‏.ع‎ Prouver que Im(f) = Im(g). Réciproquement que dire de [f, g] siIm(f) = Im(g)
Troisième partie
Dans cette partie dim(E) = 3 et u, v et w sont des endomorphismes de E tels que
[u,v]=2v, [u,w]=-2wet[v,w]=u
7. Montrer que v et w sont nilpotents.
8. Établir que pour p>1, [w,v?]=-p(u-(p-1)idg) ie
9. On suppose désormais que l'indice de nilpotence de v est 3 et on choisit x e E tel que y =
v?(x) £ 0. Calculer u(y). Pour tout i > 1, on pose e; = w'” l (y).
10. Montrer qu'il existe s € {1,2,3} tel que e, Z 0 et e,:1 = 0. Que dire de la famille (e,,...,e,).
11. a. Calculer u(e;)pourl<i<s
b. Même question pour v(e;)
>. Montrer que le sous espace F engendré par (e1,..., es) est stable par u, v et w. On note
u’, v'et w’ les endomorphismes induits sur F par u, v et w respectivement. A l’aide de
tr(u’) calculer s
12. Donner relativement à une base de E bien choisie les matrices de u, v et w.
La suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
Exercice 1
Soient E un R-espace vectoriel de dimension n, n eN\{0,1}, 8 ‏ح‎ (e1,e2,---,e,) une base de E, Z(E)
le R-espace vectoriel des endomorphisme de E et GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
Soit (i,j) 12. n}° et ui,j l'endomorphisme de E définie, pour tout ke {1,2,...,n}, par:
e; Sik= j
Ui,j(ex) = :
‏ا انان‎ Osikz j
Soit y un automorphisme d’algèbres de Z(E). On se propose de montrer qu'il existe ‏ع‎ e GL(E) tel
que, pour tout ue P(E), y(u) = gouog 1
13. Montrer que, pour tout i, ‏رز‎ 11,1 66 {1,2,---,n}, u;, joup,x = Ô j,n.Ui,x, Où Ô ;,n désigne le symbole
de Kronecker de j et h.
EE ‏_نتاداررارردر ري‎
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ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
——— ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE —
14. Soit f € GL(E), on considère l'application ‏ري‎ Z(E) — Z(E) définie par :
Vue Z(E),ps(u)= fouof"}.
a. Montrer que ‏عن‎ est un automorphisme de l'algèbre (Z(E), +, o).
b. Soit ‏له‎ )[7( l’ensemble des automorphismes d’algèbres de Z(E). Montrer que l’applica-
tion D: f — bf est un homomorphisme de groupe (GL(E),o) dans le groupe ((E),o).
15. Soit y un automorphisme d’algèbres de Z(E). On pose, pour tout (i, j) € {1,---,n}?,
Wi,j = Y(ui,j).
a. Montrer que, pour tout i, j,h,ke{1,---,n}, Wi,joWnk = Ô jn-Wi,k:
b. Déduire qu’il existe £1 € E\ {0£} tel que Y1,1(€1) = ©
c. Onnote, pour ie {2,---,n}, ‏رت‎ = Wi1(e).
d. Montrer que W;,;(ex) = Ô jg.ei.
‏.ع‎ Déduire que la famille (£1,---,€n) est une base de E.
16. Soit ‏ع‎ l’'endomorphisme de E défini par:
Vie{l,..-,n}, g(ei)=e;
Montrer que : Vue P(E), y(u)=gouog 1
102
Soient p et q deux entiers naturels non nuls, soient
2 ٍ 1 ٍ
P= ak et O= ‏ارط ل‎
k=0 k=0
deux polynômes de C[X] avec a, £ 0 et b, # 0.
Le résultants des deux polynômes P et Q est nombre complexe, noté Res (P Q), égal au déterminant
de la matrice
a bo
da E . bi E ٠.
: 80 ; bo
‏مه‎ À ‏بل‎
‎ap bg
Les q premières colonnes de ‏وما‎ représentent les coefficients de P et les ‏م‎ suivantes représentent
les coefficients de Q; les positions non remplies étant des zéros.
On considère les deux C-espaces vectoriels E = ‏وا‎ [X] x ‏ما‎ [X] et F = Cp+q-1 [X]. On considère
l'application :
me E — F
‘| (4,B) ‏هبام‎ PA+QB :
—————————"’TTTURAGE4SRS ‏بصا [ ةرةاج|أاااة8االاةا33ا161‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2015
17. Montrer que u est linéaire.
18. Démonter que u est bijective si et seulement si P et Q sont premiers entre eux.
19. On note = ((1,0),(X,0),..., 21774 ,0(,)0,1(, )0,20(,.... )0 | la base canonique de E et
@=(1,X,...,XP*4?) celle de F.
a. Déterminer la matrice de u par rapport aux bases Z et €.
b. En déduire que Res (P Q) Z 0 si et seulement si P et Q sont premiers entre eux.
Applications :
20. Démontrer qu’un polynôme P e C[X] admet une racine multiple dans € si et seulement si
Res(P P')=0.
21. En utilisant les polynômes
P(X)= X2-3 et Q(X)= | /3 + 1/7 - x) 57,
déterminer un polynôme à coefficients entiers de degré 4 ayant comme racine V3 + V7.
Quelles sont les autres racines de ce polynôme.
22. On considère la courbe l de représentation paramétrique
‏جد وال ا‎ pour ] 6.
a. Étudier et construire la courbe 1, on précisera les branches infinies.
b. Soient deux polynômes P et Q à coefficients réels. On pose, pour tout (x, y, t) eR”,
A(t)=P(t)-x et B(t)=Q(t)- 7.
Établir que si un point M de coordonnées (x, y) appartient à la courbe de représentation
paramétrique
x(t)=P(?)
our tER,
alors les fonctions polynômes À et B ont une racines commune. En déduire qu’un point
M de coordonnées (x, y) appartenant à la courbe 1 vérifie :
+ -2x)-4ÿ+3 = 0. ()
>. Expliquer la nature et donner les éléments de la courbe, du plan euclidien, d’équation
cartésienne (1).
Exercices
On considère l’ensemble
H={x+yv3; ‏روح ,22> مرو)‎ 187
23. Montrer que 6 = {In(h) : 71 2 H} est un groupe pour la loi "+", non réduit à {0}.
24. Montrer que si les couples (x, y) € Z? et (x/, y’) 2 vérifient x + yV3 = x’ + y/V3, alors ils sont
égaux.
25. Justifier quesix+yvV3eHetx+yv3>1,alorsx>2ety>l1.
26. Calculer inf(Hn]1,+ool), puis ‏)نص‎ 6 0187٠
27. Prouver que H={(2+V3)"; nez}.
28. Déterminer les couples (x, y) € Z? tels que x? - 3° = 1.
À Ce --- ‏لمتتت|سبسج- تت‎
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