Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Fès-Meknès 2019 — Épreuve : Algèbre et géométrie

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المسسسسمسةسسسنلسسسسسمسه سس _سسسسيس ص حسس_ب .سيسسسسوس سد
‎CPAM CONCOURS D'ENTRÉE EN CPAM. 3018‏ ص سناع
‎Notations at rappals‏
‎Dans tout le mujet, n désigne un entier naturel non nul et £ un C-espace vectoriel de dimension n.‏
‎M € MC), on note APT ln transponée de Af‏ 51
جا ‎Af est une matrice de M, (C), on définit la suite des pulssanens de Af par M» 4, et, pour tout entier naturel k, par‏ 51
‎relation 1/*! - 4‏
‎par u° = Idy et, pour tout entier nature‏ ب ‎suite des puissances de‏ ما ‎on définit‏ :5 مل ‎eat un endomorphiame‏ نأ ‎Do même,‏
كيم ن = ‎par la relation u4*1‏ ,&
‎Une mation Af ent dite nilpotente s'il existe un entier naturel k > 1 tel que A* = 0, Dans on cas, le phes petit entier naturel‏
‎K 2 ١ ini que M = 0 s'appelle l'indice de nilpotence de M.‏
‎un enilomorphiame dé 2 est nilpotunt d'indice p ei an matrice dans 8 ent d'indice p‏ رك ‎Soit 8 une base de‏
‎Ma(C}‏ € ن | = يل ,3 ‎pour un entier à à‏ يله (0) = ‎Ji‏ سوم ‎On‏
‏0 1 0 » م
‎note‏ ذه ‎Mn (C),‏ € نا ‎Si Ai € Mu (C), An > MuslO),--:‏
‎A 0 0‏
)0( بير 9 | ‎A 4u)=‏ )يمال
يا 0 0
‎Premiers résultats‏ 1
‎endomarphises nilpotent d'indice 1‏ سكل ‎1١ Que pout-on dite‏ .1
‎Réduction d'une matrice de MalC) nilpotente d'indice 2‏ - 13
2 ل ‎un endomorphisme de 8 nilpotent d'indice p‏ د ‎Soit‏ ,2 سه ‎On nuppose que‏
0 # (م) ا *ه ‎de E tel que‏ ع ‎Montrer qu'il existe un vecteur‏ .1.2.1
2 = م ‎est libre En déduire que‏ ري ييو((ك)"») ‎Vérifier que la famille‏ .12.2
‎Montrer que Ker(u} = Im(u).‏ ,1.2.3
جل ‎à‏ جادية ‎et‏ بد ‎Æ dans laquelle la matrice de‏ ول معدا ‎Construire une‏ .1.2.4
‎En déduire que les matrices nilpotentes de M3(C) sont exactement les matrices de trace ét déterminant nuls‏ .12.5
‎Héduetion d'une matrice de M,(C) nilpotente d'indice 2‏ - 11
‎nilpotent d'indice 2 et de rang ©‏ ع ‎Où suppose que n > 3. Soit u un endomorphisme du‏
‎Montres que Hmfu) € Kerfu} nt que 2r & n.‏ .2.1
‎de 5 tels que la famille‏ لد بن ‎Ker(u). Montrer qu'il existe des vecteurs‏ = سا ‎On suppme que‏ .2.2
‎(essules),ensulez),.…. ,érute,)) est une buse de 5.‏
‎dans cette buse.‏ بن ‎Donner la matrice de‏ .2-3
تسيا يبرن ‎de E et des vocteurs‏ عي بت ‎On suppose Imu) À Ker(u). Montrer qu'il exists des vecteurs‏ .2.4
‎est une base de &.‏ (عوسية, ميض ‎nppatenant à Ker(u) tels que (ey,u(er),ex, nez), ....e fee),‏
‎dans cotte basa 7‏ ب ‎La matrice de‏ فك ‎Quelle‏ ,2.5
‎CARTES CHAM CONCOURS D'ENTRÉE EN CPAM, 9‏
‎nnulateurs d'uve matrice nilpotente‏ وف ‎curactériatiqu‏ بس فم الم ‎penses,‏
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)0 الات ليسم سسسسو
‎Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynämes annulateurs d'une matrice nilpotente‏ 111
‎Dans ootte partie, À désigne une matrice du M,(C)‏
‎l'unique valeur propre de À.‏ أنه 0 ‎Moutrer que, si À est nilpotente, alors‏ .3.1
‎Quelles soût les matrices de Mu(C) à la fois nilpotentes et disgonalisables 7‏ .3.2
‎égal à X*‏ نه ‎Montrer qu'une matrien eat nilpotente al, et seulement si, son polynôme carnetéristique‏ ,4,3
‎réciproque dé La question 4 3.4‏ ما ‎Montrer‏ .3.4
‎Montrer qu'une matrice triangulaire de A4, (C) à diagonale nulle est nilpotenta et qu ‘une matrice nilpotente est semblable‏ .2,6
‎A une matrice triangulaire à disganale nulle.‏
‎potynbene‏ هه أنه ‎Démontrer quu, ai À est une matrice nilpotente d'indice p, alors tout polynôme de C{X] multiple de X?‏ ,2.0
‎annulnteur de À‏
‎On ruppom que P est ün polynôns annulataur de À nilpotente Jlu 0:‏
‎Démoutrer que 0 wst racine de P.‏ .4,7
‎On note m la multiplicité de 0 dune P, ce qui permet d'écrire P = 1109 où Q est un polynôme de CIX tel que‏ .3.8
‎Démontrer que Q(A) est inversible puis que P est un multiple de XP dans C{X]‏ .0 # (9)0
‎IV - Racines carrées de matrices nilpotantes‏
‎Pour une mntrica V 6 M,(C) donnée, on dit qu'une matrice À € M,(C) est une racine carrée de W ai H°=V‏
‎On se propose d'étudier l'existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines matrices nipotentæs‏
7— 3 1
‎C? canoniquement associé à À.‏ قل ‎l'endomorphisme‏ ب | 14 6 2 | ‎On note A=‏ 4.1
7- 13
‎Calculer Je rang de A En déduire, sans aucus cakeul, le polynäme curactéristique de À.‏ ,4.1.1
‎Montrer que À est nilpotente et donner son indice de nilpotence.‏
‎Démontrer que À est semblable À ls matrice diag(Js, 1). Donner la valeur d'une matrice P inversible telle que‏ .4.1.2
‎A= Pdiag(Ja, hi) 274‏
‎l'endomorphisne canoniquement‏ م ‎À. On note‏ = تب( ‎On cherche à déterminer l'ansemble des matrices À € Ma(C) telles que‏
‎amocié à R‏
‎est nilpotent.‏ م ‎ét que‏ م ‎Démontrer que Im(u) et Ker(u) sont stables par‏ .4.2.2
حرم اح ‎En déduire l'ensemble des racines carrées de À. Indication : on pourrs considérer R°=‏ ,4.2.3
‎On se proposs dans catte question d'étudier l'équation matricielle R° = J, Soit R une solution de cette équation. Donner‏ .4.2
‎es valeurs de R° et R5, puis l'ensemble des solutions de l'équation.‏
لا قور ‎En général, soit V € Mu(C) une matrico nilpotente d'indice p. On se propose d'étude l'équation‏ .4.3
‎Montrer que, si 25 - 1 < + alors il n'existe aucune solution.‏ ,43.1
‎de l'entier n > 4, exhiber une matrice V € M,(C), nilpotente d'indice p à 2et admettsnt su moins‏ مغل ‎Pour toute‏ ,4.3.2
‎une racine carrée.‏
7 7 1 : #
كاتا ‎CPAM CONCOURS D'ENTRÉE‏ عمس
‎Problème 2‏
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2/5 ‏ف‎
‎EEE
‎CAMEF-FES CPAM CONCOURS D'ENTRÉE EN CPAM. RE
[Problème 2 ]
On noter rorpectivement C, R et Q les corps des nombres complexes, réels et rationnels, et Z l'annens ‏كل‎ enthers ‏تغط‎
‎Paur us entier n > 1 on dit qu'un nombre complexe z est une rucine n-iême de l'unité si 2" = 1, ‏كك‎ que = Est Une racine de
l'unité s'il existe k > 1 tel que ‏ع‎ soit une racine kvièrne de l'unité. 5 à
Pour RE {Z, 9, R, C} on notern FIX] l'anneau des polynômes à coelficients dans À Un polynéme non ral est silaire si
son coefficient dominant est égal à 1. Un polynôme P € QIX] est érnéluctible dans QUX] si P n'est pos constant et si l'égalité
P = QR avec Q,R € QIX] implique que Q ou À ent constant 0
Un nombee complexe ‏ع‎ est sppelé nambre algébrique s'il existe P € Q{X] nos nul tel que P{=) » 0. On dit que = ‏ع‎ © ext un
entier algébrique ‏لاه‎ existe P € Z{X] unitaire tel que P(z) = (
On admet le résultat auivant. 7
Théorème : L'ensemble des entiers alyébriques est un sous-annesx de C
L- Polynôme minimal d'un nombre algébrique
on fée un nombre algébrique «. Soit
I(a) = (P € QIX] | P{a) = 0}
5.1, Montrer que {{a) ent un idéal de Q{XT, diférent de (0)
M'eziste done un unique polynôme wnituire ‏ملا‎ € QIX], appelé polynôme minimal de a, tel que
1io) = ‏9م11)‎ | Q € QIAT}
On appelle degré de à le degré du polynéme ‏ملا‎
‎6,2, Montrer que ‏ت‎ ent de degrè 1 si et seulement si a € ‏ل‎
‎5.3. Montrer que ‏م11‎ est irréductible dans QIX]
5.4. Soit P € Q{X] un polynôme unitaire, irréductible dans QIX]. Montres que si ‏ع‎ est une racine complene de P, alors P
eat le polynäme minimal de ‏,ع‎
‎5,6.1, Soient ‏با‎ 2 € QIX] duux potynätmes qui possèdent une racine commune dans ‏ج‎ Montrer que À et D ne sont pas
premiers entre eux dans QU ٠.
5,6,2, Montrer que lun racious de IL, dans © sont simples.
6,7.1. Monirer que ni € Q est un entier algébrique, alors ‏ع € ب‎ à
8.7.2, Montrer que si a € © est un entier algibeique alors IL, € Z{X].[VhËs
Indication : utiliser le théorème sdenis en introduction ainsi que la question @ 56 À
5.8.L Soit « € © un entier algébrique de degrè 2 et de module 1. Montrer que à est una racine de l'unità
5.8.2, Montrer que De est un nombre algèbrique de degrè 2 et de module 1 sais n'est pas une racine de l'unité
11 - Polynôme réciproque
Un polyndme unitaire de degré d < ١
P = SuX' € CIX]
est dit réciproque ai ‏يه‎ se ‏-ية‎ pour 0 5 ) € d
0:11 Montrer qu'un polynôcie P € CIX] ‏عنتقت‎ de degré 4 ‏أنه‎ réciprriqu ai et seulemat ‏اله‎ X4P ( + ) sé
0.12 Soit P € CIX] un polynôme unitaire réciproque. Montrer que ni x € C ent une racine de 7/7, ‏وفلة‎ x #0 et 1 est aumi
une racine de P, avec la même multiplicité <
Se ext un nombre algébrique de ‏:فصامم‎ minimal ‏.اا‎ les ‏صددهه‎ compleses de Il, différentes de à sont appelées les
conjugués de a, On notera C(a) l'ensemble des conjugués de a. L'ensemble C(o) est Ms vide si a est de dogré 1
6,2, Soit ‏ع‎ un nombre algébrique de module 1 et tel que ‏ع‎ € )-1, 1). Montrer que =. ‏ص أنه‎ conjugué de z. En déduire que
IL, ont réciproque,
On note S l'ensemble des nombres réels a €] 1,-+00| qui sont auf des entiers algébriques de degré ‏ينه‎ moins 3 et qi ‏لماعت‎
‎éme 1
Soit ‏ه‎ un élément de 3 et soit 7€ ‏(ه)0‎ de module 1
0,3,1. Montrer que ‏ما‎ polynôme minimal de ‏ه‎ est réciproque et qi î et un conjugué de à.
6.2.2. Montrer que + n'est pas une racine de l'unité. 1
6.2.3. Montrer qua tous ‏سا‎ conjugués de à atitres que » mt ‏مل‎ module 1
5.3. Montrer que le ‏مل يمل‎ tout élément ‏ي مل‎ est un entier pair, supérieur où égal à 4
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