Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Kénitra 2016 — Épreuve : Analyse et probabilités

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المملحكة الممرنية ‎POXAASE ١ FEFO:O K. 8 N°‏
ورارة التربة الومنة ‏ . 2 3 ]ا ‎OÙS‏ 1101
والتكوين الممنر_ + ار الات ‎A LOT‏ |
| المركز الجمهوي لممن التربية والتكوين
جمة الرداى- ملا- رمو ريعير
‎Concours |‏
‎d'accès au cycle de |‏
préparation à l'agrégation de
Mathématiques
Session Juillet 2016
| ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ) |
Durée 4 heures
| Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde. |
1 ke
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE ‏عه‎ PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES - SESSION JUILLET 6 1
ee A
Important
L'épreuve est constituée de deux exercices et un problème. Le candidat est invité à
bien mentionner les références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des deux exercices et ‏قا‎ seconde contenant celle
du problème. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et le nombre d'intercalaires utilisés.
Il sera tenu compte dans l'appréciation des copies de la rigueur de votre raisonnement,
de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il Le signale sur
sa copie en expliquant Les raisons qui l'ont amené à ‏عا‎ penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il
croit nécessaires ou pas.
Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits
lors de cette épreuve.
Exercice 1
Soient 5 = © ([0,1},R) l’espace vectoriel réel des fonctions numériques continues sur [0,1] et
l'espace vectoriel réel des fonctions numériques bornées sur [0,1], muni de la convergence uniforme
définie pour tout f € 2, par:
Ifl= sup [fo
xef0,1]
On désigne par Z l’espace vectoriel réel des fonctions g : [0,1] — R telles que :
80 - ‏راع‎
‎K(g):= ‏سق تت | صني‎
x,vel0,1|,x#y X— y
existe et est finie.
1. Montrer que si une fonction ‏ع‎ est de classe €! sur [0,1], alors ‏ع‎ € Z et, que
k(g)= sup ‏رماع‎
‎xel0,1]
‏بي تب ا ب يبب ببسب‎ PAGE 1 SUR 5 5
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| ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ ‏ب‎
‎RC EEE ET CE RS Or ‏سلس‎ DRASS
2. Montrer que 8 ‏ع‎ , puis que Z ‏.ل‎
‎3. On pose pour tout ge Z, N(g) = ‏مااع + عا‎ Montrer que N est une norme sur Z.
On note ‏برك‎ l’espace .Z muni de la norme N et ‏رز رك‎ l'espace muni de la norme || |.
4. Montrer que l'application identité est continue de ZY\ dans ‏رك‎ |.
5. Soit la suite de fonctions (f,),>1 définie par :
X si O<x<—
În (x) = 1 1 81
— Si - >7>[1
(a) Soit ne N°. Montrer que f, € Z et calculer N(f,).
(b) Montrer que la suite (f,),>1 ne converge pas dans ‏.يرك‎
‎(c) L'application identité est elle continue de Z | dans 21 ?
(d) Les normes Net |.|LX sont elle équivalentes ?
6. Soit (A,)h»>1 la suite de fonctions définies par :
Vxe{0,1],h, (x) =1/x+—
(a) Montrer que pour tout HE N", h, € Z.
(b) Montrer que la suite (h,)1>1 converge vers la fonction h: x Vx dans 1.
(c) En déduire que Z n'est pas fermé dans 8. Conclure.
Exercice 2
On munit .#y,1(R) de la norme || |, soit IX = max ‏,رارسا‎ pour tout X = | ١ |e.#,1(R). On
‏زز حم جم‎
définit les normes N, N et ‏دا‎ sur #, (R) par :
NootA)= max ‏,.|ريعا| ل‎ AN2(4)= ‏ل‎ Jaijl,et ‏لقالا‎ - max ‏بار‎
‎15727 7-1 1<i,j<n I<i,j<n ١
pour toute matrice À = (a;,j) € .#{n (R).
On note #,, l'ensemble des racines carrés ‏عل‎ :
2 ‏حم‎ 11 MnR) | R2 = In},
1, désigne la matrice identité.
7. Montrer que VAE A, )10( ١ 9 2 6 fn 1(R) : || ‏ممااعه‎ > Noo(A) ‏اها‎
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| Concours D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES - SESSION JUILLET 2016,
8. Montrer l'égalité
Noo(A)= max He
2€. Hni(R),z#0 |lZ|S
9. En déduire que ‏ما‎ est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie :
VA,BE My (R), No(AB) > Ns(A)Noo(B).
10. Montrer que N, est une norme matricielle.
11. Nest-elle une norme matricielle ? justifier.
12. Soit QE 4, (R) inversible. On pose No(A) = N(Q7! AQ) pour tout A€ 4, (R).
(a) Vérifier que NQ est une norme matricielle sur #,, (R).
(b) Montrer qu'il existe une constante ‏و0‎ telle que pour tout A € #, (R) :
—— Noo(À) > No(A) > CoNs(A).
13. Soit p EN, on pose S, = ‏ا‎ > | ;
(a) Calculer Sn
(b) Z2 est -elle une partie bornée ‏.ع‎ ?
(c) Z, est -elle bornée de .#,(R) pour n > 3?
(d) Pour cette question, n z 2. Montrer qu'il n'existe pas de norme || || sur.#,(R), vérifiant pour
toutes matrices À et B inversibles de .#Æ,(R) , | AB > ‏ان !ا‎ | ١٠
La suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
Problème
Pour xeR° ,on pose
0 :1.-:0057 5;
x) = ———e€ " dr
sus | ‏م‎
‎14. Montrer que f est définie et continue sur ]0, +oo![ et de classe > sur 10, +ool.
15. Déterminer les limites de f et f’ en +oo.
16. Exprimer f” sur ]0, +oo! à l'aide de fonctions usuelles et en déduire que
Vx>0, f'(x)=In(x)- 5 In(x? + 1)
‏الحا > ات انس‎ PAGE 3 SUR 5 ‏الا ا تا‎
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‎ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ‏ بيست ‎ #‏ ب ويس سي هي
‎Montrer que f (0) = 2 et Vx>0,‏ .17
7 2 1
‎f(x) = xIn(x) - > xIn(x° +1) — arctan (x) + 3‏
‎Montrer que VseR,‏ .18
‎f©]1-cos(st)‏ 2
:ل ذا
‎TI Jo £=‏
‎On considère la suite (uy)ñery- définie par‏
‎x 1-7‏
‎Î ms dt‏ مسد دار
‎Justifier l'existence de la suite (4})heny et préciser la monotonie de la sous-suite (42»)nery: -‏ .19
‎Montrer que 11 = 142 = 2°‏ .20
‎Dans la suite on considère une suite (X,)»en de variables aléatoires mutuellement indépendantes,‏
,*ل8 ‎définies sur un espace probabilisé (Q, c7,P), à valeurs dans {1,-1} et telles que, pour tout ke‏
‎P(Xx = -1( = 7‏ = (1 - )اط
‎Pour tout 11 EN”, on pose S, = X1+-::+ Xy.‏
‎L'espérance d'une variable aléatoire réelle finie Z est notée E(Z) et sa variance V(Z).‏
‎ainsi son espérance et sa variance.‏ ,ري ‎Déterminer la loi de‏ .21
لل ‎Montrer que [S»y32| —|S2n+1l suit la même loi que les‏ .22
‎Soit S et 1 deux variables aléatoires réelles finies indépendantes définies sur (Q,4,P). On‏ .23
‎suppose que T et -T ont même loi. Montrer que E(cos(S + T)) = E(cos(S))E(cos(T)).‏
‎On considère la fonction y, de R dans R telle que @,(t) = E(cos(S, t)) pour tout réel r. Montrer‏ .24
‎que @Alt) = (cost)" pour tout entier n 6 N° et tout réel ©‏
‎Montrer, pour tout n EN°,E(IS,1) = 7 Un. (ind. on utilisera l’expression intégrale de la valeur absolue‏ .25
٠ر2‏ = رجررعا ‎obtenue à la question 18). En déduire que, pour tout 7 EN,‏
‎converge presque sûrement vers 0, c'est-à-dire‏ | ب | ‎On se propose de démontrer que la suite‏
‎nel”‏
‎qu'il existe un événement négligeable 2 € «7 tel que‏
‎VweQ\Z, suis — 0‏
‎n—00‏ 11
‎Pour tout ne N°, on pose‏
‎Sn 4 1‏
‎U,=|—| et.Z;,={4wEeQ]3Kk2>n:Ur(o) < —‏
‎n vVk‏
‎Montrer que E(S}) = 3n° —2n pour tout ne N°.‏ .26
‎PAGE 4 SUR 5 Rs‏ ———— =
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES - SESSION JUILLET 6 7 |
à 1 3
27. Montrer que, pourtout ‏رح > | جح رل تل ركلا ار‎
Vn} n
28. Montrer que .Z, € ‏لع‎ pour tout ne N° et que Jim P(.Zh) = 0.
* ‏ل‎ > Sn À
29. En considérant .Z = ) [١ .Z,, montrer que | 0 | converge presque sûrement vers 0.
neN*
‏لازي يي لس يبب‎ PAGE 5 SUR 5 ‏يي # ب ب ب ب ل ب ب يا‎
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