Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Marrakech-Tensift-Al Haouz 2014 — Épreuve : Analyse et probabilités

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Education Nationale Académie Régionale de l’ Éducation et
et de la Formation Professionnelle de la Formation Marrakech-Tensift
Centre Régional des Métiers de
l'Éducation et de la Formation
CONCOURS D'ACCÈS
AU CYCLE D’AGRÉGATION
MATHÉMATIQUES
Centre Régional des
Métiers de l Education et
de la Formation
MARRAKECH
Session 2014
ANALYSE-PROBABILITÉ
Durée 4heures
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
L'usage de la calculatrice est interdit
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Analyse-Probabilité — Session 2014 — Filière à ٍ :
_ - Concours d'accès au cycle d’Agrégation
L'énoncé de cette épreuve,
comporte 4 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la
rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. Si, au
cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui semble être une erreur d’énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons.
Remarques générales :
- L'épreuve se compose de trois exercices et un problème indépendants.
- Les trois exercices doivent être composés dans une copie à part.
- Le problème doit être composé dans une autre copie à part.
EXERCICE 1 :
On considère (E, d) un espace métrique complet et f : E — E une application. On suppose qu’il
existe ‏ب‎ : [0,+oo[ — R* continue et croissante telle que :
Vx > 0,p(x) > x et V(x, y) € E?,d(f(x), f (y) > p(d(x, n).
On veut montrer que f admet un unique point fixe £, et que pour x € E, la suite des itérés
Xn = f”(x0) converge vers €.
1. Montrer que la suite (d(xy, Xn-1))n>0 tend vers 0.
2. Soite > 0, montrer qu'il existe N e N tel que
Vn>N,p(d(Xn, Xn-1) +E) > €.
3. Soit n > N, montrer par récurrence sur p que Vp EN, d(Xn+p, Xn) > ©
4. Conclure.
EXERCICE 2;
Soit f :R — € une application continue. On considère l’équation différentielle
Œ) : y” = yQ + FO).
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Analyse-P ilité — ion 2014 — Filiè
FEES 003019 -- 0 LES Concours d'accès au cycle d’Agrégation
1. On pose z= y’ - y, vérifier que 2 + 2
2. Montrer que (4, b) € C? tel que :
ZX X
VxeER,z(x) =e “(a+ Î ‏اه‎ f(t)dt) et y(x) = e*(b+ |) e “z(s)ds).
3. Conclure que
2 x 1 (F2 _ÿ 1 FE à
1(a, 6) € C° tel que y(x) = e"(a+ 5 e *f(s)ds)+e ‏-ق)+‎ 5 7)040
4. Montrer que si y et ‏دنر‎ sont deux solutions bornées de (E) alors y1 ‏وبرج‎
‎5. Dans cette question on suppose de plus que f est bornée sur R.
5.a. Justifier la convergence des intégrales suivantes :
+00 0
LÀ e “f(s)ds et Î e'f(h)dt.
0 —00
5.b. Montrer que la solution obtenue pour a = -1 ff*°e-“f(sds et ‏حم‎ - fe f(ndt
est bornée sur R.
6. Montrer que toute application g:R — € continue et périodique est bornée.
7. Montrer que si f est périodique alors (E) admet une unique solution périodique.
8. Calculer la solution périodique de y"(x) = y(x) +sin(x).
EXERCICE 3 :
Soient À une partie compacte d’un espace métrique (E, d) et f : À — À une application.
f est dite une isométrie si V(x, y) ‏ركلف‎ d(f(x), f(y)) = dx, y).
On suppose que V(x, y) € A?,d(f(x), f(y)) < d(x, y).
On se propose de montrer que f est une isométrie bijective.
On note ‏حر‎ id, f"= fofo f (n fois). Pour ‏ه‎ A, on note ay = f"(a). Soit (x, y) € A2.
1. Montrer qu'il existe @ : N — N strictement croissante telle que (Xp(n); Yp(n)) converge.
2. Montrer que pour gzpet a, be À, d(ag-p, b) > d(ag, bp).
3. Déduire que ‏رو)ي-(1 جم تتا‎ = X-
4. Montrer que tout point de A est adhérent à f (A).
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5. Montrer que
VneN,d(x, y1) > d(xp(n+1; Xptn) + d(X, y) + d(Yp(n+1; Yy(n)-
6. Conclure que f est une isométrie.
7. Montrer que f est continue et que f (A) est fermé.
8. En déduire que f est bijective.
9. Soit [a, b] un segment deR.
On veut déterminer toutes les applications f : [a, b] — [a, b] vérifiant
VGx, y € la, bl,1f (0 - FOI = 1x- yl.
9.a. Montrer que V(x, y) € ‏ه]‎ b]?,|f(x)- f()1=1x- yl.
9.b. Montrer que x — f(x) — f(a) garde un signe constant sur [a, b].
9.c. En déduire que f=idouf=a+b-id.
PROBLEME
501] 0 21 , on considère la série Y ‏سَّ‎ ,Z © €. Lorsque la série converge, on désigne sa somme
7 ‏ال‎
‎par : fa(z)= ‏نز‎ 7
1. Domaine de convergence :
Etudier la convergence de la série Y 2 dans chacun des cas suivants :
1< »16 - ات 0 ,1 ا ( ,1 > اا ‎La.‏
1.7. ‏اع‎ - 1610 > 0, © 21
2. Transformation d’Abel : On suppose ‏اعا,1>ك» > 0 عتو‎ - 1615671
2.a. Soit sn = ‏نز‎ 2“ montrer que la suite (sn)n>1 est bornée.
2.b. Vérifi = 5 (2 1
.D. 6111161 que 2 ne = 1+5 + ‏م‎ ( 7 = (+ )Sn:
2.c. Déduire la convergence de la série Y = ;
3. Calcul de f_, pour ‏ل م‎
Pour |z| > 1 et peN, on pose g,(2) = X nPz”.
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Analyse-Probabilité — Session 2014 - Filière 1 ٍِ :
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3.4. Vérifier que pour pe N*, (1-2)g,(2) = X ((n+1)P-n?)z"*t.
3.b. Déduire que VpeN*, gp(2)= ‏كب‎ EC; gk(2).
+00 2
3.c Conclure que X n°7" = ‏اقلق‎
‎4. Valeur approchée de ‏)ور‎ :
fier l'inésalité ve ‏“رز‎ 1
4.a. Justifier l'inégalité 1 3 ‏أو‎ Grp
sui sise © Qt
4.b. Déduire une valeur approchée à 10° prés de ‏رم‎ 5.
5. Equivalent de f, au voisinage de 1 :
Soientt «e]0,1[et xe]0,1[.
5.a. Montrer que ] — 2 est intégrable sur ]0, +ool.
5.b. Vérifier que
+00 x! +00 x!
— 4+2 > fa(x) > 1 — dt.
IRÉTECEN
5.6 Onnote ca = fj*° du, établir l'égalité :
+00 x! 2
5.4. Déduire que
8 ‏ناور 1( -[اجخر‎
6. Calcul ‏ع2‎ )2( :
Dans cette question on considère 2 6 € tel que |z| > 1665671.
6.a. Vérifier que pour 2 [0,1]:
N 272 1 ‏ج))-1‎ N
l-tz2#0et) —=z Î 1
517 o 1-27
+00 2" 1 &
6.b. Montrer que 2 Le ‏قر وز‎ dt.
6.c. Montrer que pour 0 0, 0 ‏بي‎ dt = EL? s
6.d. Déduire que VO 00,27], Y ee =-In(2sin 9) +i ‏انحن‎
‎, : : + cos(k0) :
6.e. Montrer que l'application 0 — In(0) + Ÿ ‏كك‎ est prolongeable en une fonction
dérivable sur [0,2xf.
6.f. Montrer que Vxe[-1,1[, Z #=-In(1- x).
+00 ‏ع‎
‎6.g Déduire pour x 610,1], le calcul de 2 35.
FIN DE L'ÉPREUVE
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