Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Marrakech-Tensift-Al Haouz 2014 — Épreuve : Algèbre et géométrie

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Education Nationale Académie Régionale de l’ Éducation et
et de la Formation Professionnelle de la Formation Marrakech-Tensift
Centre Régional des Métiers de
l'Éducation et de la Formation
CONCOURS D'ACCÈS
AU CYCLE D’AGRÉGATION
MATHÉMATIQUES
Centre Régional des
Métiers de l Education et
de la Formation
MARRAKECH
Session 2014
ALGÈBRE ET GÉOMETRIE
Durée 4heures
Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
L'usage de la calculatrice est interdit
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Algèbre et Géometrie — Session 2014 — Filière k } .
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L'énoncé de cette épreuve,
comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la
rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. Si, au
cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui semble être une erreur d’énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.
Remarques générales :
- L'épreuve se compose de trois exercices et un problème indépendants.
- Les trois exercices doivent être composés dans une copie à part.
- Le problème doit être composé dans une autre copie à part.
EXERCICE 1 :
Pour A 6 #3(R), on note &(A) = {M € .#3(R) / AM = MA}
1 1 1
On considère] =| 1 1 1 |,on note g l’endomorphisme de .#3,1(R) défini par
1 1 1
‏:ع8‎ MAR) — 43,1(R); X + JX.
1. 1.4. Justifier que la matrice J est diagonalisable.
1.b. Calculer les valeurs propres de ‏رع‎ puis en déduire que Kerg et Ker(g - 314) sont
supplémentaires dans .#3 1 (R).
L.a. Déterminer une base (£1,€2,E3)de ‏روا‎ (R) telle que (£1,e2) soit une base de Ker ‏ع‎ et (£3)
une base de Ker(g — 314).
1.b. On considère la matrice © dont les colonnes sont ‏بع رع‎ et e3. Justifier que la matrice ©
est inversible.
0 0 0
1.c. Justifier, sans calcul, que P-!JP=| 0 0 0 |.
0 0 3
0 0 0
OnposeD=! 0 0 0 |.
0 0 3
2. On reprend dans cette question les matrices D et P de la question 1.
2.a. Pour AE .#3(R), montrer que € (A) est une sous algèbre unitaire de .#3(R).
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2.b. Montrer que
a b 0
&D)={| c d 0 |/a,b,c,d,eeR }
0 0 ‏م‎
‎et déterminer une base de €(D).
2.c. On considère l'application Dp : #3(R) —.#3(R); M— ‏ط‎
‎Montrer que © ‏م‎ est un automorphisme d'espaces vectoriels et que PP(@()) = € (D).
2.d. En déduire la dimension de ©)
EXERCICE 2:
On considère E un R espace vectoriel de dimension finie n > 2 et u un endomorphisme de E
de rang 1.
On note 17 )10( la trace de u et x4 (À) = det(u — Àïdg) le polynôme caractéristique de u.
1. L.a. Déterminer la dimension de Ker u.
1.b. En déduire qu’il existe une base Z de E telle que la matrice de u dans cette base est
matæ(u) = | : : : [où a,.,a,€R.
1.c. Déduire que u? = tr(u) u (où u? = uou).
1.d. Calculer le polynôme caractéristique x, en fonction de tr(u), puis en déduire que u
est diagonalisable si et seulement si tr(u) # 0.
2. On suppose que fr(u) = 0.
2.a. Montrer que Im(u) € Ker(u).
2.b. Déduire qu'il existe Z base de E tel que matæ(u) = ‏,رط‎ avec E1,2 est la
matrice dont tous les coefficents ‏ريه‎ sont nuls sauf 41,2 qui vaut 1.
EXERCICE 3:
Soit E un espace euclidien de dimension n2> 1.
Le produit scalaire est noté > ... >, la norme associée est notée ||.|\, pour toute partie À de E, A+
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désignera l’orthogonal de la partie A.
Soit (Xx)1<k<p et (yx)1<k<p deux familles de vecteurs de E telle que: Vi, j > [[1,p]], < xi,x; >=< yi, y; >.
Le but de cet exercice est d’etablir la propriété (2) suivante :
il existe un automorphisme orthogonal f de E vérifiant: Vke [[1,p]], f(xx) = yx.
1. Soit ‏...ري‎ À)) € RP. Prouver que | > À;x; | = | > Aiyi | :
i=1 i=1
En déduire que si (x1,..., X)) est une famille libre alors (y1,.…., y») est une famille libre.
2. On suppose dans cette question que ‏م‎ = n et que (x1,.., x,) est une famille libre.
Etablir la propriété ().
3. On suppose que la famille (x1,..., xh) est libre et que ‏م‎ À n et on note F et G les sous-espaces
vectoriels de E engendré par (x1,..., Xp) et (y1,.…, y) respectivement.
3.a. Justifier l'inégalité ‏م‎ > n; préciser les dimensions des sous-espaces vectoriels
BF, 6, 6+
3.7. On considère ‏لول ررجوة)‎ €t (Yp+1,. Yn) deux bases orthonormées de Ft et Gt
respectivement.
Justifier que (x1,..., xn) est une base de E, puis montrer soigneusement que :
Vi,je{,n], <xi,xj >=< yi,y;j >.
8.c. Etablir la propriété (@).
4. Dans cette question, on suppose que (x1,..., xh) est une famille quelconque de E. Quitte à
réordonner les x;, on suppose l'existence de r EN*, r > p tel que : (x1,.…., x) est libre et que
(1, Xr) et (X1,.., Xp) engendrent le même sous espace vectoriel de E.
4.a. Justifier l'existence d’automorphisme orthogonal f deEtelqueVie{[1,r], f(xi) = yi.
Un tel f est fixé dans toute la suite de l’exercice.
4.b. Soient ie ]]7+ ‏اك [(م,1‎ (o1,.…,a,) ER’ telque x; = ‏لل‎ axe.
En utilisant la question 1, montrer que y; = ‏ره نل‎
4.c. Etablir la propriété )2(
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PROBLEME
Dans tout le problème, on désigne par E un espace vectoriel sur le corps €, de dimension finie
net (E) désigne l’ensemble des endomorphismes de E.
On désigne par 2(E) le sous ensemble de Z(E) formé des endomorphismes diagonalisables.
Soit une partie de Z(E).
- La partie 7 sera dite trigonalisable (respectivement diagonalisable) s’il existe une base de E
dans laquelle la matrice de tout élément de est triangulaire supérieure (respectivement
diagonale).
- La partie 7 est dite commutative si pourtoutue Fetve%,ona uov= vou.
- On rappelle qu'un sous-espace V de E est dit stable par si, pour tout ‏ار‎ ى‎ V est stable
par u, i.e. u(x) € V pour tout x € V.
- Siu,ve P(E), l'endomorphisme uov sera noté uv.
- Si kun entier naturel non nul et ue Z(E), on note ‏كير‎ = uouo...ou (k fois), ‏قير‎ = Ide
- SiP=40+4@4X+-.-+4amX" ‏,قتا‎ P(u) désigne l’endomorphisme de E défini par :
P(u) = aoldg + &u+---+amu”.
Partie I
1. Montrer que, pour qu'une partie 4 de Z(E) soit trigonalisable, il est nécessaire que les
éléments de 7 aient un vecteur propre commun.
On suppose, dans toute la suite de cette partie, que Z est une partie commutative de Z(E).
On se propose de prouver que est trigonalisable.
2. Soient ue 7, À une valeur propre de u et EA(u) le sous-espace propre correspondant.
Montrer que E\(u) est stable par 7.
3. Montrer, par récurrence sur la dimension n de E, que les éléments de ‏و‎ ont un vecteur
propre commun.
4. Onnote 7 = {fu | ueF} où ‘ue .Z(E*) est défini par ‘u(p) = pou pour tout ‏م‎ 6 E*.
4.a. Montrer que les éléments de ‏أ‎ ont un vecteur propre commun w.
4.b. Soit H = Kerw, quelle est la dimension de H ?
Montrer que H est stable par 7.
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5. Montrer que 7 est trigonalisable.
Partie II
Dans cette partie 7 désigne une partie commutative de (E). On se propose de montrer que
3 est diagonalisable.
1. Montrer que si Vue %, u homothétie alors & est diagonalisable.
On suppose dans la suite de cette partie qu’il existe f e 7 tel que f n’est pas une homothé-
tie.
2. Soit À une valeur propre de f, justifier que dim ker(f - Aid) > n.
On note E1 = Ker(f - Aid) etpour ue, ux la restriction de u à Ex.
3. Soit u e 2(E) et soit G un sous espace de E stable par w, montrer que la restriction de u à G
est diagonalisable.
4. Soit 71 = {ux, ue F}, montrer que F\ est une partie commutative de Z(E)).
5. Montrer par une récurrence forte sur dimE que Z est diagonalisable.
Partie III
Dans cette partie on suppose que est une sous algèbre unitaire de Z(E) telle que F est
incluse dans 2(E).On se propose de montrer que ‏وى‎ est commutative .
1. Soit u e Z(E), montrer que si u? =0 alors u=0.
2. Soient p, v deux éléments de tels que p est un projecteur.
2.a. Calculer [pv(id - p}}? et [(id- p)vp}?.
2.b. En déduire que pv = vp.
3. Soit u € 7, on pose ‏لمي‎ l’ensemble des valeurs propres de u. On note
E; = Ker(u—À;id), soient (p;)1<;<r les projecteurs associés à la somme directe : E = © E;
£<Ii<r
3.4. Montrer par récurrence que 77 N*, uk = D AË pi :
3.7. Déduire VQ e CIX], Q(u) = ZX QUi)pi.
3.c. Montrer que pour 1 > j=<r, 10; e CIX] tel que ‏زم‎ =Q;(u).
3.4. Montrer que p;e% pourtoutie|[l,r]|.
4. Montrer que est commutative.
‎FIN DE L'ÉPREUVE‏
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