Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2012 — filière ECT — Mathématiques

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'éducation nationale Présidence |
de l'enseignement supérieur, du Concours National Commun aux |
| de la formation des cadres Ecoles de Management (CNCM)
| et de la recherche scientifique (ENCG / ESI) 2012
CONCOURS NATIONAL COMMUN |
d’Admission aux |
Grandes Écoles de |
Management (CNCM) |
| (ENCG / ESI) |
| Session 2012 |
| ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES | |
, Durée 4 heures |
| FILIÈRES : ECT | | |
RTE RC EE UE
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
L'usage de la calculatrice est interdit
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Épreuve de Mathématiques - Session 2012 - Filière ECT |
—— RSS RS Es = — - Concours National Commun
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la
rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les| références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il
est amené à prendre.
Remarques générales :
L'épreuve se compose de quatres exercices indépendants.
On considère les matrices suivantes :
1 —1 1 0 1 -1 1 1 :=1 1 1 -2
A=| 2 22 3 ‏[-],ا 2 0 0 ادق,ا‎ 0 1 2 et P=| 2 1 -1
-2 -3 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1
1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer la matrice inverse ‏.7ط‎
‎2. Calculer B? puis ‏3لا‎ . En déduire ‏“لا‎ si k est un entier supérieur ou égal à 3.
3. Calculer 1+B. Déterminer, en utilisant la formule du binôme de Newton, l'expression de T"
en fonction de n, B et B°.
En déduire l'expression de T” en fonction de 7 uniquement.
4. Montrer que P"!.T.P = A
5. Donner l'expression de A" en fonction de n, P, P-l et T”,
6. Pour tout entier naturel n, calculer les coefficients de la matrice A“ en fonction de n
uniquement.
7 On considère trois suites ‏لمع‎ (b,) et (c,) définies par des conditions initiales ‏يوه‎ bo, ‏فى‎ et
parles relations
An+1 = ‏ير‎ On + ©
vneP, Dur =-24n-2b; +30,
Cn+1 = ‏م46 + 30 - م20‎
On introduit la matrice X, = | ‏وم‎
‎8. Reconnaîïtre, pour tout entier naturel » , le produit AX;.
En déduire l'expression de X,, en fonction des matrices A”, ‏وك‎ et de l’entier naturel n.
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Épreuve de Mathématiques - Session 2012 - Filière ECT :
CHR Mr RSR ‏لب‎ Concours National Commun
9. En déduire l'expression des suites a, b, et ‏رن‎ en fonction de n uniquement dans le cas où
An = 2, Lo = -3, et co = 4.
EXERCICE 2
On pose pour tout entier naturel n:
(D 2 2
Un = > nd ae +...
gok+s; 3 5
On se propose d'étudier la limite L de ‏وب‎ lorsque n — +00.
Pour tout entier naturel 11 on pose :
+" (PVT
(= ——)=— si0<r1<]1,/f,(0)=0
fo 1+8 l+r fo
et ‏من‎ = Î fptode.
1. Montrer que pour tout entier naturel p, la fonction f, est continue sur {0, 1] et que l'intégrale
l, existe.
2. Montrer que pour tout t de [0,1] et pour tout entier n:
1 n ‏+ع . ا‎ 1
— ‏ب‎ Yen + nl
LE 0 ET
3. Déduire de ce qui précède que l’on a pour tout entier n: -
] 3 [ ons!
2 8 n+!l l =
—dt=u;+R;oùR, =(-1) — dt
0 1+ ‏م‎ Jo 1+)
4. Démontrer que pour tout entier n:
‏1م‎ pu+h+l 1
0 | ‏بينم ل‎
o 1+7] "+2
5. Conclure que l'on a:
١١ ‏ع‎
‎L= ‏ا‎ — dt
Jo 1+]
É ‏بت‎
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Épreuve de Mathématiques - Session 2012 - Filière ECT
‎Concours National Commun‏ تت
‎Une agence Telecom propose à ses clients les deux formules d'abonnemnt suivantes :
& La formule abonnement Classique notée 6. Le forfait comprend 5h de communication et
une connexion 3G avec un engagement de douze mois.
© La formule abonnement Fidélité notée F. Le forfait comprend un téléphone dernier modèle
à moitié prix, 5h de communication et une connexion 3G avec un engagement de vingt quatres
mois.
30% des clients de l'agence choisissent la formule € et 70% la formule F.
Parmi les clients ayant choisi la formule C, 80% choisissent de payer leurs factures par virement
automatique et 20% préfèrent payer leurs factures en espèces à l'agence.
Parmi ceux ayant choisi la formule F, 40% payent leurs factures par virement automatique et
60% à l'agence.
1. Un client se présente à l'agence.
‎1.a. Calculer la probabilité qu'il choisisse un payement à l'agence en formule F.
‎1.7. Calculer la probabilité qu’il choisisse un payement à l'agence.
‎1.c. Il demande un payement à l'agence. Calculer la probabilité qu'il choisisse la formule
‎2. Deux clients se présentent à l'agence.
‎On note X le nombre de ces deux clients qui choisissent la formule F et Y le nombre des
‎deux clients qui choisissent un payement à l'agence.
‎2.a. Pour tout i et tout j € {0,1,2} présenter la décomposition des évènements
(X=inY= }j), dans un tableau à double entrée.
‎{on pourra coder CF; plutôt que CiNF:)
‎2.b. Donner la loi du couple (X, Y), c’est à dire, donner les probabilité p{X = ‏لامب‎ = j) pour
tout i et tout j € [0,1,2}. On pourra recopier et remplir le tableau à double entrée
suivant :
‎EOE
‎0 ges
2.c. Calculer la probabilité que l'un au moins de ces deux clients choisisse un payement à
l'agence en formule F.
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Épreuve de Mathématiques - Session 2012 — Filière 17
e SE ‏د ِ 7 للف‎ Concours National Commun
Dans cet exercice, 1 désigne un entier naturel non nul.
a De : ‏تحكدم ا‎ sixe[0;1]
1. 501 la fonction définie par : fa (x) = É
0 sinon
Montrer que f, est une densité de probabilité.
2. On considère une variable aléatoire X,, réelle dont une densité de probabilité est f,. On dit
alors que X,, suit une loi monôme d'ordre n.
2.a. Reconnaître la loi de X1.
2.b. Dans le cas où n est supérieur ‏ناه‎ égal à 2, déterminer la fonction de répartition F, de
XA, ainsi que son espérance E{X,) et sa variance V (X,).
3. On considère deux variables aléatoires Y, et Z, définies sur le même espace probabilisé
(Q,:7,P), suivant la loi monôme d'ordre # (n 22) et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles
vérifient en particulier l'égalité suivante :
VxeR, P(Y,<xnZ,<x)=P(Y,<x)P(Z,< x)
On pose M, = sup(Y,h, 2h) et on admet que M, est une variable aléatoire définie, elle aussi,
sur ({2,<7, P).
3.a. Pour tout réel x, écrire, en justifiant la réponse, l'événement (M, ‏تدك‎ à l’aide des
événements (Y, ‏ك‎ x) et (Zn ‏ك‎ ٠ :
3.b. En déduire une densité ‏عل‎ M,. Vérifier que M, suit une loi monôme dont on donnera
l'ordre, puis déterminer sans calcul E(M,).
3.c. On pose T, = ‏.لمر ,م )كما‎ Exprimer M, + 1, en fonction de Y, et Z,, puis en déduire,
sans calcul d'intégrale, la valeur de E(T,
FIN DE L ÉPREUVE
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