Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2024 — filière ECS — Mathématiques et informatique

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‎Concours National d'Accès aux Ecoles de Management - Présidence du CNAEM 2024‏
‎١ ERCCC © +257: ١ SOLISAAS - 1100270114 | CNAEM 2024‏ ثعاماه ‎CATKLLO‏
‎Filière : ECS‏
‎Epreuve de : Mathématiques et Informatique‏
‎Durée : 4 heures‏
‎Consignes‏
‎L'usage de tout appareil électronique,‏
‎y compris la calculatrice, est interdit.‏
‎Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette‏
‎page de garde.‏
‎Fate ES CEE Mae ARS |‏ ا 1 ‎ll 0 tti,116 2110 352 Fay 05 2110 WE‏
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١ Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECS
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECS,
comporte 4 pages.
L'usage de tout appareil électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. I convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants à traiter dans l'ordre souhaité.
Exercice
Deux problèmes d’extrémums
1. Étude d’un premier exemple
Soit N = {(r,y ER? : ‏ج‎ <0 et y > 0}. On admet que { est un ouvert de R? et on considère la
fonction f : ( —+ R définie par :
V(ay) EN, f(ry)=17+y+ ‏لا2‎
‎1.1. Justifier ‏عسو‎ la fonction / est de classe C? sur 9 et calculer ses dérivées partielles premières en tout
point de (1. :
1.2. Montrer que (1,1) est l'unique point critique de la fonction f sur ٠
1.3. Étude de la nature du point critique (1,1)
1.3.1. Calculer les dérivées partielles secondes de f au point (1,1).
1.3.2. À l’aide de la matrice Hessienne, montrer que la fonction f présente un extremum local au
point (1,1). Est-ce un minimum ou un maximum local ?
2. Étude d’un deuxième exemple
On considère la fonction ‏و‎ : R2 —; R définie par :
V(z,y) € R?, g(z, y) = a+ Ty + ‏ص‎ — 3x — Gy.
2.1. Quelques propriétés de la fonction g
2.1.1. Justifier que la fonction ‏و‎ est de classe €? sur R? et calculer ses dérivées partielles premières
en tout point de R?. 5
2.1.2. Montrer que la fonction ‏و‎ admet un unique point critique fo, yo) € R? et le déterminer.
2.2. Étude de la nature du point critique (xo, vo)
2.2.1. Calculer les dérivées partielles secondes de g au point (x, o).
2.2.2. À l’aide de la matrice Hessienne, montrer que la fonction ‏و‎ présente un minimum local au
point (ro, vo).
2.3. Étude plus approfondie de l’extremum en question
2.3.1. Soit(x, y) € R?; on pose u = x et u = y — 3. Vérifier que g(r, y) = u? + uv+ v? —9.
2.3.2. Montrer qu’en fait la fonction ‏و‎ présente un minimum absolu strict au point (ro, vo).
On pourra établir que
2 2 MORT à
V(u;v)eR’, u‘+uv+v= (u+ 5) + 2:
Problème 1
Des probabilités sur un univers fini
Les algorithmes demandés dans ce problème doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif
à la rédaction du code et notamment à l'indentation. De plus, on suppose que la librairie numpy .random
de Python est importée avec la commande import numpy.random as rd.
Épreuve de Mathématiques 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECS
1ère Partie
Une autre expression de l'espérance
d’une variable aléatoire discrète finie
Soit n un entier naturel > 2 et soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (91, 4, P)
et à valeurs dans l'ensemble {1,...,n).
1.1. Rappeler la définition de l'espérance de la variable aléatoire X, notée E(X).
3 1.2. Montrer que, pout tout k € {1,...,n}, P({X =Kk)})= P({X < + - 1(( - P({X > ((.
1.3. Montrer que E(X) = P({X > k)). -
k=0 ١
1.4. Montrer de même que E (252) = D KkP(X > k}).
. 2ème Partie
Étude du cas d’un tirage avec remise
Soit n un entier naturel > 2 et soit ‏م‎ € {1,...,n}. Une urne contient n boules numérotées de J à n. On
effectue, de façon équiprobable, p tirages successifs, avec remise,et on note Y Ta variable aléatoire réelle
égale au plus grand numéro tiré. La variable aléatoire ‏أى ل‎ donc à valeur dans l'ensemble {1,...,n}.
2.1. Calcul des probabilités P({Ÿ >7(( pour k€.{1,...,n}
Pour tout j € {1,...,p}, on note ‏7ل‎ la variable aléatoiré correspondant au résultat obtenu lors du
j—ième tirage.
2.1.1. Montrer que, pour tout j € {1,...,p}, P({Y; > k}) = 3 On pourra remarquer que les
variables aléatoires Y1,...,Y, suivent toutes la loi uniforme sur l’ensemble {1,...,n} :
‏7لا‎ 6 )1,....م(١‎ Y; a U([Lnl).
2.1.2. Montrer que {Y > k} = (]{Y; (٠
2.1.3. Justifier que les variables aléatoires Y1,..., ‏ول‎ sont indépendantes et en déduire que
‏...ناعمل‎ P(Y<E})= (à) |
n-] k\P
2.2. Calculer P({Y > k}), pour tout k € {0,...,n — 1}, et en déduire que E(Y) =n- >, 8 8
2.3. Recherche d’un équivalent de E(Y) lorsque n tend vers +00
‏زاحو«‎
‎2.3.1. Préciser la limite de la suite 2 8 (à) | à l’aide d’une intégrale que l’on calculera.
k=0 m>l
2.3.2. Donner un équivalent de 2)17(, l'espérance de la variable aléatoire ‏,لل‎ lorsque n tend vers +00.
2.4. Écrire une fonction Python prenant en entrée n et p, tirant p entiers aléatoires entre 1 et n, et
retournant le maximum de ces valeurs ) l'appel de cette fonction est donc une expérience qui simule
la variable aléatoire Y). On pourra utiliser rd.randint (p,n+1) qui renvoie un entier compris entre les
entiers p et n d’une façon aléatoire suivant la loi uniforme discrète sur l’ensemble {1,...,n}. 1
3ème Partie
Étude du cas d’un tirage sans remise
Épreuve de Mathématiques 2/4 =
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECS
Soit n un entier naturel > 2 et soit ‏م‎ € {1,...,n}. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On
effectue, de façon équiprobable, ‏م‎ tirages successifs, sans remise, et on note Z la variable aléatoire réelle
égale au plus petit numéro tiré. La variable aléatoire Z est donc à valeur dans l'ensemble {1,...,n}.
Pour tout (r,[) € N?, avec { > r, on note (!) le coefficient binomial défini par 0 = ‏جل‎ Par
convention, on pose 8 - 08+ >). ‏بست‎
‎3.1. Calculs sur les coefficients binomiaux
( 2 : r #6 ١ (T+1
3.1.1. Soit (r.{) € 113, avec { + 1 < r. Vérifier que, (!) + (, + ‏ا 4 + + = ل‎
3.1.2. Soit { € N. Montrer que, pour tout r € N avec r > ), ‏قله‎ 2, 0 = (, : 1 :
‏حار‎
‎3.1.3. Calculs de coefficients binomiaux avec Python
(i) Écrire une fonction factorielle (m) prenant en entrée un entier m € N et renvoyant sa factorielle.
(ii) Écrire une fonction binome(n,p) prenant en entrée un couple (n, p) d'entiers naturels, avec ‏م‎ > n,
et renvoyant la valeur de l’entier () - On pourra faire appel à la fonction factorielle(.).
(iii) Écrire une fonction 1igne_binome(n) prenant en entrée un entier n et renvoyant la liste des 0
pour k € {0,...,n}.
3.2. Calcul de la probabilité P(Z > k) pour k€ {0,...,n-1}
3.2.1. Quelles sont les issues possibles pour la variable aléatoire 27 Quel est leur nombre ?
3.2.2. Pour k € {0,...,n — 1}, à quelle condition l'événement {Z > k} est-il réalisé? Quel est le
nombre des issues qui réalisent cet événement ?
3.2.3. Calculer alors la probabilité P({Z > k}), pour k € {0,...,n — 1}, en fonction de ‏بم‎ k et p.
3.3. Calcul de l’espérance E(Z) de la variable aléatoire Z, en fonction des entiers n et p
3.3.1. Montrer que () E(Z) = > 0 :
3.3.2. En déduire E(Z) = ‏اح‎
‎n déduire que E(Z) Sri
3.4. Calcul de la variance V(Z) de la variable aléatoire Z
n Z(Z-1)\ _ 7 +1 2) +1 0
3.4.1. Montrer que 0 ES —) =(n+1) ou 1) - (p+1) > sa) On pourra utiliser
la question 1.4. de la première partie.
; La 1)(n — p)
.4.2. déd E ‏قاد‎ = (a+1)@-p) .
3.4.2. En déduire que (4) + D +2)
3.4.3. Vérifier que V(Z) = 2E(24-)) + E(Z) - (E(Z)}? et en déduire l’expression de la variance
de la variable aléatoire Z en fonctions des entiers n et p.
Problème 2
Calcul des puissances d’une matrice de M;(R) et application
à l'étude de trois suites réelles et à la résolution d’une équation matricielle
Dans ce problème, M3(R) désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 3 et 13 la matrice
identité de M3(R). On considère les matrices éléments de M3(R) suivantes :
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
A= 1 =1 2 0], -)1 1 0. Q=!-1 ‏لم‎ 0 et D= 3 0 2 0٠
-1 -1 3 1 1 1 0 -1 1 0 0 3
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECS ١
1è"e Partie
Calcul des puissances de la matrice À
1.1. Inversibilité et inverse de P
1.1.1. Calculer le produit matriciel PQ.
1.1.2. En déduire que la matrice P est inversible et préciser son inverse PT ‏ل‎
‎1.2. Relation entre les puissances des matrices 4 et D
1.2.1. Calculer les produits matriciels PD et AP.
1.2.2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel k > 1, A* = PD*P”1.
1.3. Calcul des puissances des matrices 4 et D
1.3.1. En faisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel K,
D" = F 0 2 0) d
0 0 8* |
1.3.2. En déduire l’expression de 4*, pour tout entier naturel +. JI vous est demandé d’erprimer la
matrice A*, sous forme d'un tableau, en fonction de k € N.
2ème Partie
Application à l'étude d’un système de suites simultanément récurrentes
On considère les suites réelles (rn)nen, (ÿn)nen et (2n)}nen définies par ro = —1, yo = 20 = 1 et les
Atn+ [<2 Th
relations de récurrence : 4 ‏بجوي‎ = —%n + 2ÿn . Pour tout n € N, on pose Xn = | yn |:
‏ول — و2- = رجبوق4‎ + 32n 0
2.1. Vérifier que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn.
2.2. En déduire, à l’aide d’une récurrence, que pour tout entier naturel n, Xh = A7 X0.
2.8. Soit n € N. En utilisant l'expression de la matrice 4”, obtenue à la question 1.8.2. de la première
partie, calculer ‏ولب ب وع‎ et ‏وق‎ en fonction de n.
2.4. Les suites (x )1en; (Yn)nen €t (2n)nen sont-elles convergentes ? Si oui, préciser leur limite.
3ème Partie
Application à la résolution d’une équation matricielle
On propose dans cette partie de résoudre l'équation matricielle suivante
X°= 4, 0)
d'inconnue X € Ma(R). ‏جا‎
‎3.1. Recherche des matrices qui commutent avec la matrice D
Soit M = (mijh\gij5<3 € Ma(R) une matrice quelconque.
3.1.1. Calculer les produits matriciels MD et DM.
3.1.2. En déduire que MD = DM si, et seulement si, la matrice M est diagonale.
3.2. Résolution de l'équation (1) 6
Soit B € M3(R) une matrice telle que 23 = A; on pose M = P-!BP.
3.2.1. Montrer que M$ = D.
8.2.2. Vérifier que MD = DM.
8.2.3. En déduire que M est diagonale puis la déterminer.
8.2.4. Déteriiner alors la matrice B.
8.2.5. Vérifier que la matrices B ainsi trouvée est effectivement solution de (1).
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques 4/4 FIN
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