Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2023 — filière ECS — Mathématiques et informatique

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Concours National d'Accès aux Écoles de Management — Session 2023 — ECS
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECS,
comporte 4 pages.
L'usage de tout appareil électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé de trois exercices et d'un problème indépendants à traiter dans l'ordre souhaité.
Exercice 1
Probabilité qu’une matrice aléatoire de M:(R) soit diagonalisable
Dans cet exercice, R désigne le corps des nombres réels et M2(R) l'algèbre des matrices carrées d'ordre
2 à coefficients réels.
1.1. Étude de la diagonalisabilité d’une matrice de M(R)
PET 8 0
On considère (a, 8) € R? et on pose À = ( 1 8 ) :
1.1.1. Justifier que si ‏كد ه‎ B, alors la matrice À est diagonalisable dans M(R).
1.1.2. On suppose ici que a = B.
(i) Vérifier que a est l'unique valeur propre de À.
(ii) Montrer que la matrice À n'est pas diagonalisable dans M2(R).
1.2. Calcul de la probabilité qu’une matrice aléatoire soit diagonalisable dans M2(R)
Dans cette section, X et Y désignent deux variables aléatoires indépendantes définies sur un espace
probabilisé )92, ‏ب‎ P) et suivant une loi géométrique de paramètres respectifs ‏رم‎ et ‏بوم‎ avec (p1.p2) 20,1]
c'est-à-dire
X = Gp) et Y + G(p2).
Pour traiter cette partie, on utilisera avec profit les résultats de la section précédente.
1.2.1. Pour tout ‏م‎ € N°. rappeler l'expression de la probabilité P(X = k) en fonction de k et p1.
1.2.2. Pour tout k € N°. exprimer de la probabilité P(Y > k) en fonction de k et p2.
1.2.3. On considère la variable aléatoire U = min(X, Y).
(i) Pour tout k € N°, calculer P(U > k).
(i) En déduire que la variable aléatoire U suit une loi géométrique de paramètre (1 — p1)(1 — p2).
1.2.4. Calcul de P(X <Y)
(i) Montrer que la suite (ex RAS x)) ER forme un système complet d'événements.
LEN*
(ii) Montrer que P(X > Y) = _(A=p) $
P1 + P2 -- 2
1.2.5. On considère la variable aléatoire discrete M : Q —> M:(R). définie sur l'espace probabilisé
(9. 4, P) par :
X(w) 0
70 6 Mi(w)= :
MER MU) ( 1 Y(w)
Calculer, en fonction des paramètres p1 et p2. la probabilité que la matrice M soit diagonalisable dans
Exercice 2
Un problème d’extremum
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On désigne par f la fonction numérique de deux variables réelles définie sur R? par :
V(zy)ER, f(x,y) = at +yt - 2) — y).
1.1. Justifier que la fonction f est de classe C? sur R?.
1.2. Calculer les dérivées partielles premières —— et — de la fonction f.
Or dy
8 of (+ y)(a? - ‏(ثن + ريع‎ =0
1.3. Soit (x, y) € R?. Montrer que ‏عا = (ن,ع)(‎ y) = 0 si, et seulement si, ; ù :
(x, y) que ‏2ج‎ (x.y) dy y) =08 A À ain =0
1.4. Soit (x.y) € R?. Montrer que x? — y + y? = (r— }) FE a puis en déduire que
a —xy+y =0—r=y=0.
1.5. Soit (xo. yo) € R?.
(i) Montrer que (x0. yo) est un point critique de f si. et seulement si, (ro. yo) € {(0.0),( V2, -V2),(-V2. V2) } ’
(ii) Justifier que si f présente un extremum local au point (x, yo), alors
(&o. vo) € {(0,0), (V2, V2), (-V2, V2)}.
1.6. Montrer que f ne présente ni un maximum local ni un minimum local au point critique (0.0).
On pourra étudier les signes de f(x.x) et de f(x, —x) si 0 > |x| < 2.
2. Étude de la nature du point critique (x, yo) = (V2, -V2)
2.1. Calculer les dérivées partielles secondes de f au point (x. yo).
2.2. À l’aide de la matrice Hessienne, montrer que la fonction f présente un extremum local au point
(0, yo) et préciser f(x0.yo). Est-ce un minimum ou un maximum local?
3. Étude de la nature du point critique (x0, #0) = (—-V2, v2)
En remarquent que pour tout (r,y) € R?, f(x,y) = f(—-x.-—y), montrer que le point critique
(-V2, V2) est de même nature que le point ( Va V2) :
4. Étude plus approfondie de l’extremum en question
4.1. Soit(u.v) € R?. Vérifier que 2|uv| > u? + u?.
4.2. En déduire que pour tout (x, y) € R?, (x — y)? > 2(x° + y?).
4.3. Montrer qu'en fait la fonction f présente un minimum absolu strict au point (z0.yo) = (V2. -v2).
On pourra remarquer que
V(&y)eR, f,y) > (x -2) + (y -2) —8.
. Exercice 3
A propos d’estimateurs
Soit 0 > Oet soit X la variable aléatoire définie sur définies sur un espace probabilisé (Q, ‏ب‎ P) et sui-
vant une loi de Poisson de paramètre 0 > 0. Soit (X,)hew- une suite de variables aléatoires indépendantes,
définies sur l’espace probabilisé ({2,.4, P), et de même loi que X. Pour tout n € N*, on définit la moyenne
empirique X,, et la variance empirique ‏وي‎ de ‏برعا‎ X2,..., ‏ولا‎ par :
_ TS - 1 +
‏علد 2 7 ار‎ et S,= 7 ‏ا( 7م‎
k=1 k=1
1.1. Rappeler la loi de la variable aléatoire X et préciser son espérance et sa variance.
1.2. Montrer que la variable aléatoire X1 + X2 suit la loi de Poisson de paramètre 20.
Dans la suite, on admet que la variable aléatoire 3. X% suit la loi de Poisson de paramètre n4.
1.3. Soit n un entier naturel non nul.
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1.3.1. Montrer que ‏رلا‎ est un estimateur sans biais de 0 et que son risque quadratique est ‏لاون‎ = —.
ri +2 +72 : 1 A ñ &
1.3.2. Montrer que nS, = >. Xj-nX, puis en déduire l'espérance de $,.
1.3.3. Montrer que $, est un estimateur asymptotiquement sans biais de 8.
1.3.4. Montrer que si n > 2, alors 5 = Sn est un estimateur sans biais de 4.
. Problème
Etude de suites récurrentes linéaire d'ordre 3
Dans ce problème, N désigne l’ensemble des entiers naturels, R celui des nombres réels et E = RA le
R—espace vectoriel des suites réelles. Pour tout réel ‏يه‎ on note Y,, la partie de E formée des suites réelles
(ux)ken vérifiant la relation de récurrence linéaire :
772611! unss = ‏ه)‎ + 3)unz2 — (30 + 2)uss1 + 2aus.
1è'e Partie
Détermination de Yo
Dans cette partie, on suppose que ‏ه‎ = 0 et on cherche l’ensemble Yo des suites (uy)hen vérifiant :
77614, uns = Sunz2 — ‏و2‎
‎On note (e, en la suite réelle définie par :
eo=1l et Vn>1l, en =0.
. . : ‏و11‎ — 3041 + 2u ss sp
1.1. Soit (u,),en une suite appartenant à Z9. On pose À = EE ‏اش‎ et on considère la suite réelle
(Un)nen définie par :
77 611, un = un — ‏وكا‎
‎1.1.1. Vérifier que ‏ون‎ = 3v1 — 200
1.1.2. Montrer que pour tout entier naturel n, üh42 = ‏رجور‎ — 2.
1.1.3. Montrer que le système linéaire { à 0 4 0°, d’inconnue (r. y), admet une unique solution
notée ‏(قبمر)‎ € R? et la déterminer.
1.1.4. Montrer que pour tout entier naturel ‏بل‎ #, = 1 + 0 2".
1.1.5. En déduire que pour tout entier naturel n, un = Àen + u + 8 2".
1.2. Pour tout (a. b.c) € R3, on note (wn)nen la suite réelle définie par :
VneN, w, = aen +b+c2".
Montrer que la suite (w,),en est un élément de Yo.
1.3. Conclure que ‏وك‎ = {(aen +b+c2")nen : (a,b,c) € R}.
2ème Partie
Détermination de ‏وك‎
‎Dans cette partie, on suppose que a = 3 et on cherche l’ensemble ‏وله‎ des suites (uh),en vérifiant :
VnEN, uns = Gunz2 — 1lunz1 + Gun.
6 —11 6 1 4 9
On considère les matrices À = [1 0 O0!]EeMä3(R)et P=|1 2 3] € MR).
0 1 0 1 1 1
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2.1. Démontrer que les suites constantes appartiennent à Y3.
2.2. Expression de ‏نا‎ à l’aide de À et de U,
Un+2
Soit (un)nen € 3: on pose Un = | un41 |, n EN.
2.2.1. Pour tout entier naturel n, trouver une relation entre U,41, À et Un.
2.2.2. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un = A"Uo.
2.3. Calcul des puissances de la matrice A
2.3.1. Montrer que la matrice P est inversible.
2.3.2. Montrer que la matrice P-1 AP est une matrice diagonale D, que l’on déterminera.
2.3.3. Montrer que, pour tout entier naturel n, 4° = PD"P"1.
2.4. Expression de ‏مسد‎ en fonction de n
Soit (un)nen € X3.
2.4.1. Montrer, en utilisant ce qui précède, qu’il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour
tout entier naturel n. u, = a + b2" + c3".
2.4.2. Démontrer que ‏به‎ b et c s'expriment chacun linéairement en fonction de uo, u1 et uw.
2.5. Pour tout (x.y.2) € RŸ, on note (wh)nen la suite réelle définie par :
77 6 1], uw, =7r+y2" +23".
Montrer que la suite (w,),en est un élément de X3.
2.6. Conclure que ‏وك‎ = {(a+b2" + ‏ولاق‎ : (a,b.c) € RS}.
2.7. Soit (un)nen la suite de X3 telle que (wo, u1, u2) = (1,0,1).
2.7.1. Déterminer u, pour tout entier naturel n.
2.7.2. Déterminer la limite de la suite (un),en.
2.7.3. Écrire un code, en langage Scilab ou en Python, permettant de déterminer le plus petit entier
naturel n tel que u, > 105.
3ème Partie
Détermination de ‏مه‎ dans le cas où a € R\ {1,2}
3.1. Montrer que ‏ون‎ est un sous-espace vectoriel de E.
3.2. Montrer que l'application
œ: 5. ‏قي بج‎
(uxken + (uo,ui.u2)
est un isomorphisme d'espaces vectoriels réels.
3.3. En déduire la dimension de l’espace vectoriel réel Y,,.
3.4. Soit r € R* : on considère la suite (w, ),en définie par :
VneN, uw, =r".
Montrer que (wy)nen € Za si, et seulement si, 3 - (a + 3)r? + (3a + 2)r — 2a = 0.
3.5. Détermination de »,,
3.5.1. Vérifier que X° — (a + 3)X? + (3a + 2)X — 2a = (X — 1)(X — 2)(X — à).
3.5.2. Montrer que les suites (1),en, (2")xen et (a”)xen forment une base de ‏ند‎
‎3.5.3. En déduire que ‏ملك‎ = {(a + b2" + ca")nen ; (a.b,c) € R° } :
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques et informatique 4/4 FIN
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