Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2025 — filière ECS — Mathématiques et informatique

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Concours National d'Accès aux Écoles de Management — Session 2025 - ECS
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECS ‏و‎
‎comporte 5 pages. . .
L’usage de tout appareil électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie
et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé de deux exercices et de deux problèmes indépendants à traiter dans l'ordre souhaité.
Exercice 1
Etude d’un problème d’extrémums
On considère la fonction f : R? ‏جب‎ R définie par :
Vz,y) ER, f(æ,y) ‏“رج فهك‎ —-2(x — y).
1. Justifier que la fonction f est de classe C? sur R? et calculer ses dérivées partielles premières en tout point.
| 0 : | . f 4 - 4) —y) =0
2. Montrer que (x,y) € R? est un point critique de la fonction f si, et seulement si, { A + 1 0 : 0
» ‏ل ل‎ 2١ ‏ب‎
‎+. : ‏رو — 22 )لب + :2 : : ل‎ + y*) = 0
3. En déduire que (x,y) € R?° est un point critique de la fonction f si, et seulement si, { 7 F "8 0 2 y”) :
4. En remarquant quex?—æy+y? > 0 si (x, ‏كران‎ (0,0), montrer que les points critiques de f sont (0,0), (V2, —2)
et (—V2, V2).
5. Calculer les dérivées partielles secondes de f en tout point.
6. Étude de la nature du point critique (V2, _ V2)
6.1. Déterminer les valeurs des dérivées partielles secondes de f au point ( ‏مس أ‎ V2) :
6.2. À l’aide de la matrice Hessienne, montrer que la fonction f présente un minimum local au point (V2, —V2).
7. Sans faire de calcul, justifier que la fonction f présente un minimum local au point (4, V2) . On pourra
remarquer que, pour tout (x.y) 6 R?, f(—x,—y) = f(x. y).
8. Étude de f au voisinage du point critique (0,0)
8.1. La matrice Hessienne de f au point critique (0,0) peut-elle nous renseigner sur la nature de ce point ?
8.2. Soit x ER. Vérifier que f(x, —x) > 0 si x €] — 2,2[\{0} et que f(x,x) > 0 si x/= 0.
8.3. En déduire que f ne présente pas d’extremum local en (0, 0).
Exercice 2
Evaluation d’un polynôme avec Python
Le polynôme P = 4 + 3X + X?+2X% peut être stocké dans un tableau (liste) de la forme [4, 3, 1,2]. D'une
manière générale, on stocke le polynôme po + p1X + ---+p, X" dans un tableau [po,p1....,pAl. Pour évaluer un
polynôme en un réel 2 (c’est-à-dire calculer P(t) = 4+ 32+12 + 273 dans l'exemple précédent), on peut additionner
les différents monôûmes.
1. Calcul naïf de P(t) : Dans cette section, on va calculer P(t) à l’aide de l’algorithme suivant :
Entrées : P,t
‎la somme provisoire‏ # 0 هق
‎pour À allant de 0 à len(?) faire
‎Résultat : 5
1.1. Programmer cet algorithme dans une fonction evaluation(P,t).
1.2. Après exécution, que donne evaluation([4,3,1,2],2) ?
1.3. En imaginant que le calcul de t° réclame à —1 multiplications, combien de multiplications demande l'évaluation
d’un polynôme de degré n ?
2. Calcul amélioré de P(t) : On va améliorer un peu les choses en calculant les 2 > à la volée > : une variable p
est chargée de stocker les puissances successives de + : elle vaut 1 au départ, et est multipliée par { à chaque étape.
On va donc calculer P(t) à l’aide de l’algorithme suivant :
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Entrées : P,t
‏هق‎ 0 # la somme provisoire
p <— 1 + la puissance de t en cours. Ici, p = t?.
pour À allant de 0 à len(?) faire
‏هو‎ s+Pl] xp
p ‏هه‎ p x t # calcul de la puissance suivante, c’est-à-dire 11 puis #2, etc.
Résultat : 5
2.1. Programmer une nouvelle fonction evaluation_meilleure(P,t) d'évaluation utilisant cette idée.
2.2. Avec ce nouvel algorithme, combien de multiplications demande l'évaluation d’un polynôme de degré n ?
Comparer avec la première méthode.
Problème 1
Diverses façons de calculer les puissances d’une matrice de M;(R)
Dans ce problème, M3(R) désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 3 et ‏ول‎ la matrice identité de
M3(R). On considère les matrices éléments de M3(R) suivantes :
1 2 2 1 1 0 1 1 1 1 5 0 0 1 À
4-12 À 2. Pæli 0 1 ‏أ‎ 05 2 —1 -1., 7103 | 0 -1 )0 J=li À À}.
2 2 À 1 —1 -1 -1 2 -1 0 0 -1 ‏لل ل‎ 4
1°" Partie
Deux premières méthodes de calcul des puissances de la matrice A
1.1. Calculs préliminaires
1.1.1. Vérifier que À + 13 = 2J.
1.1.2. Calculer J? et l’exprimer en fonction de J.
1.1.3. En déduire que 4? = 44 +513.
1.2. Première méthode de calcul des puissances de la matrice À
1.2.1. Vérifier que pour tout entier naturel n > 1, ‏“ل‎ = 30-1
1.2.2. À l’aide de la formule du binôme de Newton, montrer que pour tout entier naturel n > 1,
n 1 Een n 5 en—1l nm
Æ = (5 — (—1)") A + ë (5 +(-1)") 2.
1.3. Deuxième méthode de calcul des puissances de la matrice 4
On considère les deux suites réelles (a,,),>1 et (B,)}h1>1 définies par la donnée de à; = 1, 8, — 0 et les relations :
An+1 — 4Qn + Pa
Pre 1 ‏ممت‎ ١
1.3.1. Montrer que la suite ‏رجم(مه)‎ vérifie la relation de récurrence linéaire d’ordre 2 suivante :
77 61, an12 = dani1 + 50 (1)
1.3.2. Montrer alors que, pour tout n € N*, a, — 7 0 —(—1 )) , puis en déduire la valeur de 8... On précisera
d’abord l’équation caractéristique associée à (1) ainsi que les racines de cette équation.
1.3.3. Montrer par récurrence que, pour tout entier n >1, 4° = a, À + 5, I,.
2ème Partie
Diagonalisation de À et troisième méthode de calcul de ses puissances
On rappelle que A4? ‏ح‎ 44 +
2.1. Justifier sans calcul que la matrice À est diagonalisable dans M3(R).
2.2. Un polynôme annulateur de la matrice À et conséquence
2.2.1. Vérifier que le polynôme X? — 4X — 5 est annulateur de À, puis en déterminer les racines.
2.2.2. En déduire des valeurs propres possibles pour la matrice À.
2.3. Des calculs matriciels utiles et détermination des valeurs propres de 4
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2.3.1. Calculer le produit matriciel À | 1 | en fonction du vecteur | 1 |. Que-peut-on en déduire ?
2.3.2. Vérifier que | 0 | et 1 sont des vecteurs propres de À. À quelle valeur propre ‏عل‎ À sont-ils
associés ?
2.4. Inversibilité et inverse de P
2.4.1. Calculer le produit matriciel PQ.
2.4.2. En déduire que la matrice P est inversible et préciser son inverse PT.
2.5. Relation entre les puissances des matrices À et D
D 0 0
2.5.1. En faisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel k, DF = | O (—1)* 0 :
0 0 (—1)"
2.5.2. Calculer les produits matriciels PD et AP. Que peut-on en déduire vis-à-vis de la matrice À?
2.5.3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel k > 1, AF = 5107-1. Ceci fourni une troisième
méthode pour le calcul des puissances de À.
Problème 2
Dans ce problème, toutes les variables aléatoires considérées sont réelles et discrètes, définies sur un même
espace probabilisé (Q,.4, P).
Si X est une variable aléatoire discrète définie sur (Q,.4, P), on lui associe la fonction numérique de la variable
réelle
Mx :ti E(e*)
où, pour tout réel u, E(e“*) désigne l’espérance, lorsqu'elle existe, de la variable aléatoire ‏كلام‎
‎On rappelle le théorème de transfert à une variable suivant :
> Si X est une variable aléatoire réelle de loi discrète (caractérisée par les (xx,px)) et si Y ‏ح‎ g(X), alors sous
réserve de convergence absolue on a : E(Y) = >. g(zk)Dk. >
1° Partie
Résultats préliminaires utiles d'analyse
1.1. Une inégalité de convexité
1.1.1. Montrer que la fonction x ‏اع جر‎ est convexe sur R.
1.1.2. En déduire que sit 616 66 x 6 ]-1,1[ alors,
| 1 + 7 1 - 2
‏تق‎ < USE et L— ‏م‎ —t |
1.2. Une autre inégalité utile
TL + CO TL
On rappelle que pour tout réel x, la série numérique à, _ 6st absolument convergente et on a : ‏ح ا‎ » rt
n>0 n: ‏حم‎ 17141
127 12
1.2.1. Justifier que pour tout réel t, la série numérique >. rl est convergente de somme 62 ٠
t —t +0 28
e+e t
1.2.2. Montrer que pour tout réel 1, ‏نت‎ = — .
Fr | 2 2. (2n)!
1.2.3. Vérifier que pour tout ‏م‎ € N*, 2Fk! < (2k)!.
1.2.4. En déduire que pour tout réel f, 5 — < € ‏الح‎
‎2ème Partie
Exemples de calculs de ‏ءا‎ et une inégalité
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2.1. Deux premiers exemples de calcul de Mx
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l’espace probabilisé (Q,.4, P).
2.1.1. On suppose que X suit une loi de Bernoulli de paramètre ‏م‎ € [0,1]. Montrer que Mx est définie sur R
tout entier et que
7+ 61. Mx(t)=1+p(e-1).
2.1.2. On suppose que X suit une loi ‏عل‎ binomiale de paramètres n € N* et p € [0,1]. Montrer que ‏د21‎ est
définie sur R tout entier et que
VtER, Mxt(t)=(1+plet - 1((7.
2.2. Calcul de Mx dans le cas de deux lois discrètes infinies usuelles
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Q,.4, P). On note In la fonction logarithme népérien.
2.2.1. On suppose que X suit une loi géométrique de paramètre ‏م‎ 60,1. Montrer que MXx est définie sur
l'intervalle ouvert | — 00, —In(1 — p)[ et que
Vt<-—-In(i-p)}, Mx(t) = ———.
2.2.2. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre À > 0. Montrer que MXx est définie sur R tout
entier et que
VLER, Mx(t)=e"e 1,
2.3. Cas d’une somme de variables aléatoires
Soit n un entier naturel > 1. Soient X une variable aléatoire discrète définie sur (Q,4,P) et X:1,...,X,
des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur ((Q,.4, P) et suivant la même loi que la variable
aléatoire X. On pose $, = ‏ات وغل‎ X,.
2.3.1. On suppose ici que n = 2 et que u € R est un élément du domaine de définition de la fonction ‏ا‎
‎Montrer que Ms, (u) existe et que Ms,(u) = (x (u)) . On justifiera la réponse en citant le résultat utilisé.
2.3.2. Montrer plus généralement que si u € R est un élément du domaine de définition de la fonction Mx,
alors Ms, (u) existe et l’exprimer en fonction de Mx(u).
2.4. Une inégalité
On reprend les notations de la section 2.8. précédente.
2.4.1. Soit a un réel et u €]0, +oo[. Comparer les événements {uw e Q ; ie) >a } et {uw ‏وج‎ ; etSn(e) > ‏معني‎ } :
2.4.2. Montrer que si u € [0,+c{ est un élément du domaine de définition de Mx, alors
Sn —4U À ; 7
Vaer, P[— ‏انج‎ > (e Mx(u)) .
On pourra utiliser l'inégalité de Markov.
3ème Partie
Régularité de 11 lorsque X est une variable aléatoire discrète finie
Soit X une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs 71....,, avec les probabilités non
nulles respectives p1,...,pr, où r € N*; c’est-à-dire que X(Q) = {x1,...,x-}, avec r > 1,et P(X = xx) = px > 0,
pour tout ‏م‎ 6 {1,...,r}.
3.1. Expression et quelques propriétés de Mx
3.1.1. Montrer que la fonction MX est définie sur R tout entier et que
VtER, Mx(t)=E(e*) = pret.
3.1.2. Justifier que la fonction MXx est strictement positive et préciser la valeur de Mx(0).
3.1.3. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k, la fonction MXx est k—fois dérivable sur R et que
‏عا‎ 7 k
MŸ(0) = E(XF).
Dans la suite, on note In la fonction logarithme népérien et on définit la fonction ‏عردب‎ sur R* par :
‏إل‎ 618*, xt) - 20)
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3.2. Vérifier que x est bien définie sur R* et montrer qu'elle est prolongeable par continuité en 0.
Dans la suite, on note encore ‏ردص‎ la fonction ainsi prolongée.
3.3. Préciser la valeur de 4 x (0) et écrire le développement limité au voisinage de 0 à l’ordre 2 de la fonction M x.
3.4. Montrer que la fonction ‏عردم‎ est dérivable en 0 et calculer (0) en fonction de la variance V(X) de X. On
pourra justifier que la fonction ‏عدص‎ admet un développement limité au voisinage de 0 à l’ordre 1 et le calculer.
3.5. Montrer que si la variable aléatoire X ne prend que des valeurs négatives ou nulles alors, pour tout + > 0,
px(t)<E(X)+5E 01
On pourra vérifier que, pour tout u > 0, ‏رح جين +1 > ا‎
4ème Partie
Variables aléatoires sous-gaussiennes
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l’espace probabilisé (Q,.4, P) et soit ‏نه‎ > 0: on dit que X est
a-sous-gaussienne si la fonction Mx est définie sur R tout entier et si de plus :
1X mt
VtER, Mx(t)=E(e*)<e 52
5.1. Un exemple
On suppose ici que la variable aléatoire X est telle que X(Q) = {—1,1} et que P(X = —1) = P(X = 1) = : 1
5.1.1. Montrer que X est 1-sous-gaussienne, c’est-à-dire que la fonction Mx est définie sur R et vérifie
VIER, Mx(t)<eT.
On pourra utiliser la question 1.2.4. de la première partie.
5.1.2. On considère un entier naturel n > 1 et des variables aléatoires mutuellement indépendantes X1....,X,
définies sur (Q,.4, P) et suivant la même loi que la variable aléatoire X.
(i) Montrer que pour tout réel 2 et tout (a1,...,an) € 107, la variable aléatoire ‏لمهمه+ .جام‎ admet une
espérance et que
Te —tak tak
E ‏داج‎ ٠.١4م‎ ( — ES ER .
| - 1] ‏بت)‎
(ii) En déduire que si (a,...,a,) € 122 ١ {0rr}, alors la variable aléatoire a1X3 + ---+ a, X,, est a-sous-
gaussienne, avec ‏له‎ = a? +. + ai.
5.2. On revient au cas général et on suppose ici que la variable aléatoire X est centrée, c’est à dire que E(X) ‏ح‎ 0.
5.2.1. Montrer que si X est bornée par 1, alors elle est 1-sous-gaussienne. On pourra utiliser 1.1.2. et 1.2.4.
5.2.2. En déduire que si X est bornée par à > 0, alors elle est a-sous-gaussienne.
5.3. Soient n € N* et X1,..., X, des variables aléatoires, définies sur (Q,.4, P), mutuellement indépendantes et
a-sous-gaussiennes, avec ‏نه‎ > (0.
Tr TL
Montrer que si ‏مر ...بر‎ sont des nombres réels tels que > ie = 1, alors la variable aléatoire 2 ‏رديار‎ est
a-sous-gaussienne.
5.4. Une inégalité
Soit À une variable aléatoire a-sous-gaussienne, avec ‏نه‎ > 0, et soit À > 0.
5.4.1. Montrer que, pour tout t > 0, P(X > À) = P(et* > et).
5.4.2. Montrer que, pour tout + >0, P(X >1)<e*z. tÀ.
5.4.3. En déduire que P(|X| > À) > 2e 247. On pourra étudier la fonction x ‏جب‎ & x? — Àx définie sur
l'intervalle ]0, +oo!.
5.5. Une autre inégalité
On suppose ici que la variable aléatoire X est telle que X(Q) = {—1,1} et que P(X = —1) = P(X = 1) = 4.
On considère un entier naturel n > 1 et des variables aléatoires mutuellement indépendantes X,,...,X, définies
sur (Q,.4,P) et suivant la même loi que la variable aléatoire X.
Montrer que pour tout réel + > 0 et tout (a1,...,a,) € R" \ {Opr},
P(la Xi + ١ an Xn | > ) ‏ور‎ 351-977
Épreuve de Mathématiques et informatique 575 FIN
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