Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2015 — filière ECS — Mathématiques et informatique
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management) organisé par Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM) (2015), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM)
- Grade
- Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management)
- Spécialité
- Mathématiques et informatique
- Année
- 2015
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Est Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la 8
Formation des Cadres | | 7
La ENCG
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CONCOURS NATIONAL D'ACCES AUX ECOLES DE MANAGEMENT |
CNAEM 2015 | |
Filière : ECS
Epreuve de Mathématiques et Informatique
Durée 4 heures
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٠. Notes à lire par le candidat :
Chaque candidat n’a droit qu'à un seul «CAHIER D'EPREUVE». 4 > +
Ÿ _ Le candidat doit écrire Son nom de famille, prénom(s), centre et numéro d'examen dans la . =
م Partie réservée à ceci en haut de la 1°° page du CAHIER D'EPREUVE, avant de commencer à :
rédiger, pour valider sa feuille de composition. : .
Ÿ L'usage de toutes machines (calculatrice, traductrice, etc.) ou dictionnaire est strictement . :
interdit. : .
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le : >
Signalera sur sa copie et devra Poursuivre sa composition en expliquant les raisons des . +
initiatives qu'il a été amené à prendre. : .
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Page de garde
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion-Settat
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Durée : 4 heures
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Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à
la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce
qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Remarques générales:
L'épreuve se compose de deux exercices ct deux problèmes indépendants.
EXERCICE 1
© Soit م un réel de J0,1[ et g = 1-2. Soit X; et X2 deux variables aléatoires définies sur le même espace
probabilisé ((,7, P), indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre p.
Pour tout w de {, on considère le polynôme Q., d'indéterminéc y, défini par:
Qu = و) X1(w)) - (X2(w))?
On désigne par t1(w) et t(w) les racines réclles de Qu. Posons m(w) = min(t1(w),t2(w)) ct M(w) = max(t1 (w), t2(w)).
Cela définit deux variables aléatoires m et M sur (QT, P).
1. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de E(X:), V(X:).
b) Vérifier que pour tout k de X1(Q), P([X1 > (ز[ 2 1- at.
c) Pour tous ki et k2 de X1(9) tel que k; > بو déterminer P(k > X1 > k2).
2. a) Vérifier que pour tout w de + mM{w) = X1(w) — X2(w) et M(w) = X1(w) + Xo(w).
b) Déterminer E(m), V(m), E(M) et V(M).
c) Calculer la covariance des variables aléatoires m et M.
3. a) Etablir la rclation P(X; = X2) = ٠
b) Déterminer P([m = 00 [M = 2]).
c) Les variables m et M sont-elles indépendantes? justifier votre réponse.
4.2) Établir que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, P(M=n)={(n-1)p2q""2.
b) On suppose que p = 2. Quelle est la valeur la plus probable de la plus grande racine des polynômes
EXERCICE 2
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = D CET) :
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Dans la suite, on note X unc variable aléatoire définie sur un cspacc probabilisé (9,4, P) admettant f
pour densité.
a) Déterminer la fonction de répartition Fx de X.
b) En déduire la valeur de P (in د > > VE) :
EEE mo
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à ES 10168و 11ت عد — Session 2015 — Filière ECS Concours National (CNAEM)
à c) Montrer que X admet des moments de tous ordres et calculer son espérance.
3. On pose Y = e*.
a) Montrer que Ÿ est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y.
b) Calculer la valcur de P(IY — 28] > رد
c) La variable aléatoire Y admet-elle une espérance? justifier votre réponse,
4. On-considère une suite de variables aléatoires (Manen- définies sur le même espace probabilisé (Q,4,P),
indépendantes et suivant toutes la même loi que Y.
Pour n ع6 N”, on pose
M = sup(Yi, Ye, … Mn).
a) Déterminer la fonction de répartition de M,.
b) Pour n > 1, on pose Z, = #-- Montrer que la suite (Z,),en. converge en loi vers une variable
aléatoire dont on donnera la loi.
PROBLEME 1
PARTIE 1
À à 4 f(x) =0 sir<0
1. Soit n e N, posons la fonction f,, définie sur R par { fna)=me-# à 20
a) Justificr que pour tout n EN, lim a fa(x) = 0.
T—+00
b) Montrer que pour tout n € N, l'intégrale fe fn(z)dr est convergente.
2. En déduire Que pour tout polynôme P de R[X, l'intégrale JS P(z)e-** dx est convergente.
Dans tout le problème, on pose Jo = ول dr = كيد ct pour tout n € N°, مز = [ae dr.
3. a) Calculer L.
b) En utilisant unc intégration par partics, montrer que Pour tout n EN, ا[ مد — وبي
c) Montrer que pour tout 025107 naturel &, يبرو = à.
d) Montrer que Pour tout entier naturel يز Lx = Avr.
PARTIE 2
1. Montrer que pour tout x € R, les intégrales Jr cos(zt)e- dt et he sin(rt)e-* dt convergent.
On note 0:1 رب et S:R—R les applications définies, Pour tout 2 ER, par
+00 2 +00 2
C(x) = [ cos(zt)e"* dt et S(x) = [ tsin(rt)e-t dt
2. Montrer que pour tout a ER ct tont a ER, | cos(a + م — cos(a) + asin a] > a ;
im LE+h)-C() -
3. a) Démontrer que pour toutzeR, lim TE+9-CE) +S(x) =0.
b) En déduire que C'est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée 0! |
4. a) En utilisant une intégration par Parties, montrer que Pour اناما ER, S(r) = 3C(x). |
b) En déduire 9116 pour tout z ER, C(x) = ets ot S(x) = es ; 1
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: تيان ادبت تسعد عا كا لتق — 3ession ZU15 — Kilière ECS Concours National (CNAEM)
PARTIE 3
1. Montrer que pour tout x € R, l'intégrale pre rhre “dt converge.
Où définit ainsi l'application À de R vers R par Vr ER, h(x) = 15 rhre “dt.
2. a) Montrer que pour tout u € ]0, +0], 0 > 1 — 42 + wi > > كن
b) En déduire que pour tout 261 0> pre (1-28 + zft#)e-E dt — h(x) > (JS نورجي :
3. Montrer que À admet un développement limité à l’ordre 11 eu 0, et former ce développement limité.
4. a) Montrer que pour tout ج € N, l'intégrale pe momie “dt converge.
On note pour tout & € N, ux = fe mamie “dt. 1
b) i) Montrer que pour tout k 6 1, 0 > ux < sn : |
ä) En déduire que la série de terme général يزلا est convergente.
c) Plus généralement, étudier la nature de la séric D'uxxk, x ER.
PARTIE 4
Notons E,=R, [X] le R-espace vectoriel des polynômes de degré inferieur ou égalèn,neN.
On défini l'application م définie de E, x En par p(P,Q) = [© -و7)00)0 dt.
1. Vérifier que م cst un produit scalaire sur زمر
Dans la suite, E, est muni de ce produit scalaire.
2. Posons F={Pe E:: °° P(z)e-% dx = 0}.
a) Montrer que F est sous space vectoriel de E; de dimension 1 ct déterminer une base (Q1) de F telle
que Q\ soit unitaire.
b) Déterminer G Je supplémentaire orthogonale à F dans .ره Soit Qo le polynôme de E;, unitaire te]
que G = vect(Qs).
d) Posons À le polynôme tel que (x) = 1, déterminer d(h, F) où d est la distance associée au produit
scalaire .م
3. Soient les polynômes suivants:
كلد -_ ترح 1 4 ل 17-4
101, 71-5 = et D=xX 7-35 5 ( 35 ) :
a) Vérifier que (7e, Ti, T2) est une famille orthogonale.
b) Soit (u,v) un couple de réels.
i) Montrer qu’il existe un triplet (a, b, c) dc récls (qu’on ne cherche pas à le déterminer Maintenant)
tel que X? +uX + ان = QT + 57 + ه٠
Ï) En déduire que عن + )م + v,X?+uX + v) = dp(T, To) + |) ( + c'o(To, To).
Bi) Etablir que a = 1, b= + كد etc=v+ +3
4. Soit H la fonction définie sur R?, telle que pour tout couple (u, v) de récls on associe l'intégrale
+00 2
/ (E2 + ut + ةعزن dt.
Montrer que H admct un minimum.
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" LÉ تلات — تايان عبد ZU19 — rinere دنار Concours National (CNAEM)
PROBLEME 2
Soit E un espace vectoriel et B= (e,e>, €s) une base de .كز Pour tout réel a, on considère l’endomorphisme fa
de l’espace vectoriel E dont la matrice dans la base 8 est donnée par
1 1-a 1-8»
مل - | a-2 2a-1 a
2-a 1-a 0
PARTIE 1
1. a) Vérifier que le polynôme caractéristique de M, est Qa(x) = —-(X — D(X - a+ 1)(X - a). (Pour
faciliter les calculs, on pourra utiliser des opérations sur les ligues et les colonnes du déterminant qui
correspond au polynôme caractéristique de M,).
b) ï) En déduire le déterminant de كا
ü) Pour quelle valeur de a la matrice M, est inversible.
2. Montrer que le réel À est une valeur propre de f, si et seulement si À est racine du polynôme Q,.
3. a) En déduire les valeurs propres de f,.
b) Dans quels cas, les valeurs Propres sont d'ordre de multiplicité 2? justifier votre réponse.
= و —-e2+es
4. Posons م = (ele, €3) la famille de vecteurs de E définie par 4 € = e1 — 2e + وم
CA = —€2 + 3
a) Vérifier que 8 est une base de E.
b) Vérifier que €, € ct €, sont des vecteurs propres de f,.
c) Déterminer la matrice P de Passage de la base 8 à la base كي
d) Prouver que la matrice Ma est diagonalisable.
e) Montrer qu'il existe une matrice diagonale notée D, à préciser telle que M, = PD,P"1, la diagonale
de D, est formée respectivement par les valeurs propres associées aux vecteurs propres el, e, et es.
f) Soit n € N, déterminer M? en fonction de P, D, et n, justifier votre réponse.
j) En déduire l'expression de MX sous la forme d’un tableau.
h) Dans le cas où Ma est inversible, déterminer l'expression de M1 sous la forme d’un tableau.
PARTIE 2
On considère le système d'équations différentiel suivant:
z'(t) = æ(t) — 2y(t) - 22(t)
(SED) Y'(E) = 2) + 5y(t) + 32(t) ,
#2)4 = -*)4( - 29)
avec les conditions initiales suivantes: 2)0( = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
280 æ(t)
1. Etablir que y'(t) | =M, y(t) |, à préciser la valeur de Go.
20 z(t)
æ(t) 20
2. On pose X(t) = y(é) | et X’(t) = y'(é) ٠
z(t) z/(t)
a) Vérifier que P-1X({) = Da PT IX(t).
b) En faisant le changement de variable Z(t) = P-1X(#), vérifier que Z'(t) = D,,Z(t).
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ك En posant 2)0 = | z2(t) |, déterminer les fonctions 21, 22 Ct 23. 1
zs(t)
3. En déduire la solution du système d'équations différentiel (SE D). |
PARTIE 3
Pour toute matrice E € M3(R), on note C(E)={FEeMs(R); EF = FE). |
1. Vérifier que pour tout a € R et pour toutes matrices F,GdC(E), |
F—G, FG, كله sont des éléments de C(E).
2. Montrer que si F est inversible, alors F € C(E)) & F-1 € C(E). |
3. On suppose que عه {1,2}, déterminer C(D). |
4. Soient E, F deux matrices de M3(R) et soit H une matrice inversible de MR). |
Montrer l'équivalence: F > C(E) جه H-}FH € C(H-}EH). |
5. On suppose que a 2 {1,2}, déterminer C(M).
6. Vérifier que C(Ma) est un sous espace vectoriel de MR) et préciser _ dimension.
FIN DE L'ÉPREUVE
* * * لا x
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques et Informatique du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2015, filière ECS (économique et commerciale, option scientifique), présidence ENCG Settat. Durée : 4 heures, toute machine (calculatrice, traductrice) et dictionnaire interdits. Le sujet comporte deux exercices (loi géométrique ; loi à densité f(x) = 2/(π(ex+e−x))) et deux problèmes (intégrales de Gauss, produit scalaire ; diagonalisation et système différentiel). Voici une correction proposée.
💡 Le sujet est long : traitez d'abord les questions « de cours » (espérances, intégrations par parties, valeurs propres), qui rapportent vite, et admettez les résultats donnés par l'énoncé pour avancer.
Exercice 1 — Racines d'un polynôme aléatoire
1.a X1 ↪ G(p) sur ℕ* : E(X1) = 1/p, V(X1) = q/p².
1.b P(X1 > k) = P(k premiers échecs) = qk, donc P(X1 ≤ k) = 1 − qk.
1.c P(k1 < X1 ≤ k2) = P(X1 ≤ k2) − P(X1 ≤ k1) = qk1 − qk2.
2.a Qω = (y − X1 − X2)(y − X1 + X2) : racines X1 − X2 et X1 + X2. Comme X2(ω) ≥ 1 > 0, m = X1 − X2 et M = X1 + X2.
2.b E(m) = 1/p − 1/p = 0 ; E(M) = 2/p. Par indépendance, V(m) = V(M) = V(X1) + V(X2) = 2q/p².
2.c cov(m, M) = cov(X1 − X2, X1 + X2) = V(X1) − V(X2) = 0.
3.a P(X1 = X2) = Σk≥1 (pqk−1)² = p²/(1 − q²) = p²/((1 − q)(1 + q)) = p/(1 + q).
3.b [m = 0] ∩ [M = 2] = [X1 = X2 = 1], de probabilité p².
3.c P(m = 0) = p/(1+q) et P(M = 2) = P(X1 = X2 = 1) = p². Le produit vaut p³/(1+q) ≠ p² (car p < 1 < 1 + q). m et M ne sont pas indépendantes, bien que leur covariance soit nulle (une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance).
4.a Pour n ≥ 2 : P(M = n) = Σk=1n−1 P(X1 = k)P(X2 = n−k) = Σk=1n−1 pqk−1·pqn−k−1 = (n−1)p²qn−2.
4.b P(M = n+1)/P(M = n) = nq/(n−1) ≥ 1 ⇔ n(1 − q) ≤ 1 ⇔ n ≤ 1/p = 17/2 = 8,5. La suite croît jusqu'à n = 9 puis décroît (rapport 120/119 > 1 pour n = 8 et 135/136 < 1 pour n = 9). La valeur la plus probable de la plus grande racine est 9.
Exercice 2 — Loi de densité f(x) = 2/(π(ex + e−x))
1. f est continue et positive sur ℝ, et f(x) = (2/π)·ex/(1 + e2x) a pour primitive (2/π)arctan(ex), qui tend vers 0 en −∞ et vers (2/π)(π/2) = 1 en +∞ : ∫ℝ f = 1. f est une densité.
2.a FX(x) = (2/π)arctan(ex) pour tout réel x.
2.b P(ln(√3/3) ≤ X ≤ ln√3) = (2/π)[arctan√3 − arctan(1/√3)] = (2/π)(π/3 − π/6) = 1/3.
2.c |x|kf(x) ≤ (2/π)|x|ke−|x| et xk+2e−x → 0 : l'intégrale ∫|x|kf(x)dx converge (comparaison à 1/x²). X admet des moments de tous ordres ; f étant paire, x ↦ xf(x) est impaire et E(X) = 0.
3.a Y = eX > 0. Pour y > 0 : FY(y) = P(X ≤ ln y) = (2/π)arctan(y), et FY(y) = 0 pour y ≤ 0. FY est continue et C¹ sauf en 0 : Y est à densité, fY(y) = 2/(π(1 + y²)) sur ]0, +∞[ et 0 ailleurs.
3.b |Y − 2√3/3| ≤ √3/3 ⇔ √3/3 ≤ Y ≤ √3, de probabilité (2/π)(π/3 − π/6) = 1/3. Donc P(|Y − 2√3/3| > √3/3) = 2/3.
3.c y·fY(y) ~ 2/(πy) en +∞ : intégrale divergente (Riemann). Y n'admet pas d'espérance.
4.a Par indépendance : FMn(x) = (FY(x))n = ((2/π)arctan x)n pour x > 0, et 0 pour x ≤ 0.
4.b Zn > 0. Pour z > 0 : P(Zn ≤ z) = P(Mn ≥ n/z) = 1 − ((2/π)arctan(n/z))n. Or arctan(n/z) = π/2 − arctan(z/n), donc (2/π)arctan(n/z) = 1 − (2/π)arctan(z/n) = 1 − 2z/(πn) + o(1/n), et ((2/π)arctan(n/z))n = exp(n ln(1 − 2z/(πn) + o(1/n))) → e−2z/π. Ainsi FZn(z) → 1 − e−2z/π (et 0 pour z ≤ 0) : Zn converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre 2/π.
Problème 1
Partie 1
1.a x²fn(x) = xn+2e−x² → 0 en +∞ (croissances comparées).
1.b Donc 0 ≤ fn(x) ≤ 1/x² pour x assez grand ; fn est continue sur [0, +∞[ : l'intégrale converge par comparaison à ∫dx/x².
2. P(x)e−x² est une combinaison linéaire des xne−x² : par linéarité, l'intégrale converge.
3.a I1 = [−e−x²/2]0+∞ = 1/2.
3.b In+2 = ∫xn+1·xe−x²dx ; avec u = xn+1, v = −e−x²/2 : In+2 = [−xn+1e−x²/2]0+∞ + ((n+1)/2)In = ((n+1)/2)In (crochet nul, IPP justifiée sur [0, A] puis A → +∞).
3.c Récurrence : I1 = 0!/2 ; si I2k+1 = k!/2, alors I2k+3 = ((2k+2)/2)·k!/2 = (k+1)!/2.
3.d I0 = √π/2 = 0!√π/(2·0!). Si I2k = (2k)!√π/(22k+1k!), alors I2k+2 = ((2k+1)/2)I2k = (2k+1)!√π/(22k+2k!) = (2k+2)!√π/(22k+3(k+1)!) (on multiplie haut et bas par 2k+2 = 2(k+1)).
Partie 2
1. |cos(xt)e−t²| ≤ e−t² et |t sin(xt)e−t²| ≤ te−t² : convergence absolue (intégrales I0, I1).
2. Inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 pour φ(α) = cos(a + α) : φ(0) = cos a, φ'(0) = −sin a, |φ''| ≤ 1, d'où |cos(a + α) − cos a + α sin a| ≤ α²/2.
3.a (C(x+h) − C(x))/h + S(x) = (1/h)∫0+∞[cos(xt + ht) − cos(xt) + ht sin(xt)]e−t²dt. Avec a = xt, α = ht : |…| ≤ (1/|h|)∫(h²t²/2)e−t²dt = (|h|/2)I2 = |h|√π/8 → 0.
3.b C est donc dérivable sur ℝ et C'(x) = −S(x).
4.a IPP avec u = sin(xt), v = −e−t²/2 : S(x) = [−sin(xt)e−t²/2]0+∞ + (x/2)∫cos(xt)e−t²dt = (x/2)C(x).
4.b C'(x) = −(x/2)C(x) : équation linéaire du premier ordre, C(x) = C(0)e−x²/4 avec C(0) = I0 = √π/2. Donc C(x) = (√π/2)e−x²/4 et S(x) = (x√π/4)e−x²/4.
Partie 3
1. 0 < e−t²/(1 + x⁴t⁴) ≤ e−t², intégrable sur [0, +∞[.
2.a Pour u ≥ 0 : (1 + u²)(1 − u² + u⁴) = 1 + u⁶, donc 1 − u² + u⁴ − 1/(1 + u²) = u⁶/(1 + u²) ∈ [0, u⁶].
2.b Avec u = x²t², on multiplie par e−t² ≥ 0 et on intègre : 0 ≤ ∫(1 − x²t² + x⁴t⁴)e−t²dt − h(x) ≤ x12I12, et I12 = 12!√π/(213·6!) = (10395/128)√π.
3. ∫(1 − x²t² + x⁴t⁴)e−t²dt = I0 − x²I2 + x⁴I4, avec I2 = √π/4 et I4 = 3√π/8. Le reste est O(x12) = o(x11), d'où le DL d'ordre 11 en 0 : h(x) = √π/2 − (√π/4)x² + (3√π/8)x⁴ + o(x11).
4.a t³ + (2k)! > 0 sur [0, +∞[, et 0 ≤ t2ke−t²/(t³ + (2k)!) ≤ t2ke−t²/(2k)!, intégrable (partie 1).
4.b.i En intégrant cet encadrement : 0 ≤ uk ≤ I2k/(2k)!.
4.b.ii I2k/(2k)! = √π/(22k+1k!) = (√π/2)(1/4)k/k!, terme d'une série exponentielle convergente (somme (√π/2)e1/4). Par comparaison de séries à termes positifs, Σuk converge.
4.c |ukxk| ≤ (√π/2)(|x|/4)k/k!, terme général d'une série convergente pour tout réel x : Σukxk est absolument convergente pour tout x ∈ ℝ.
Partie 4
1. φ est bien définie (partie 1, question 2), symétrique, bilinéaire (linéarité de l'intégrale), positive (φ(P,P) = ∫P²e−t² ≥ 0). Définie : si φ(P,P) = 0, la fonction continue positive P²(t)e−t² est nulle sur [0, +∞[, donc P a une infinité de racines et P = 0. φ est un produit scalaire.
2.a Pour P = α + βX : ∫Pe−x² = αI0 + βI1 = (α√π + β)/2. F est le noyau de la forme linéaire non nulle P ↦ φ(P, 1) : sous-espace de dimension 2 − 1 = 1, F = {α(1 − √πX)}. Base unitaire (coefficient dominant 1) : Q1 = X − 1/√π.
2.b F = {P : φ(P, 1) = 0} = vect(1)⊥, donc G = F⊥ = vect(1) = ℝ0[X] et Q0 = 1. (Vérification : φ(1, Q1) = I1 − I0/√π = 1/2 − 1/2 = 0.)
2.d h = 1 appartient à G = F⊥ : son projeté orthogonal sur F est nul et d(h, F) = ‖h‖ = √φ(1, 1) = √(I0) = √(√π/2) = π1/4/√2. (L'énoncé passe de 2.b à 2.d : il n'y a pas de question 2.c.)
3.a Avec I0 = √π/2, I1 = 1/2, I2 = √π/4, I3 = 1/2 :
- φ(T0, T1) = I1 − I0/√π = 0 ;
- φ(T0, T2) = I2 − (√π/(π−2))I1 − ((π−4)/(2(π−2)))I0 = (√π/4)[1 − 2/(π−2) − (π−4)/(π−2)] = (√π/4)·0 = 0 ;
- φ(T1, T2) = φ(X, T2) − φ(1, T2)/√π = I3 − (√π/(π−2))I2 − ((π−4)/(2(π−2)))I1 = 1/2 − (2π − 4)/(4(π−2)) = 0.
3.b.i Famille orthogonale de vecteurs non nuls, donc libre ; 3 vecteurs dans E2 de dimension 3 : c'est une base, d'où l'existence de (a, b, c).
3.b.ii Théorème de Pythagore pour une famille orthogonale : φ(aT2 + bT1 + cT0, idem) = a²φ(T2,T2) + b²φ(T1,T1) + c²φ(T0,T0).
3.b.iii Identification : coefficient de X² : a = 1 ; de X : −√π/(π−2) + b = u, d'où b = u + √π/(π−2) ; constante : −(π−4)/(2(π−2)) − b/√π + c = v, d'où c = v + u/√π + 1/(π−2) + (π−4)/(2(π−2)) = v + u/√π + 1/2.
4. H(u, v) = φ(X² + uX + v, X² + uX + v) = φ(T2,T2) + b²φ(T1,T1) + c²φ(T0,T0) ≥ φ(T2,T2), avec égalité si et seulement si b = c = 0, soit u = −√π/(π−2) et v = (4−π)/(2(π−2)). H admet donc un minimum, égal à φ(T2,T2) = √π(π−3)/(4(π−2)).
Problème 2
Partie 1
1.a En ajoutant la colonne 3 à la colonne 2 puis en développant (ou par calcul direct), det(Ma − XI3) = −(X − 1)(X − a + 1)(X − a).
1.b.i det Ma = Qa(0) = −(−1)(−a + 1)(−a) = a(a − 1). 1.b.ii Ma est inversible si et seulement si a ∉ {0, 1}.
2. λ est valeur propre ⇔ fa − λId non injectif ⇔ det(Ma − λI3) = 0 ⇔ Qa(λ) = 0.
3.a Valeurs propres : 1, a − 1 et a.
3.b a ≠ a − 1 toujours ; 1 = a ⇔ a = 1 ; 1 = a − 1 ⇔ a = 2. Une valeur propre double apparaît donc si et seulement si a = 1 (valeurs 1, 1, 0) ou a = 2 (valeurs 1, 1, 2) ; c'est chaque fois la valeur propre 1.
4.a La matrice des coordonnées P = [[1, 1, 0], [−1, −2, −1], [1, 1, 1]] (colonnes e'1, e'2, e'3) a pour déterminant −1 ≠ 0 : β' est une base.
4.b Ma(1, −1, 1)T = (1, −1, 1)T ; Ma(1, −2, 1)T = a(1, −2, 1)T ; Ma(0, −1, 1)T = (a − 1)(0, −1, 1)T. e'1, e'2, e'3 sont propres, associés à 1, a et a − 1.
4.c P = [[1, 1, 0], [−1, −2, −1], [1, 1, 1]], et P−1 = [[1, 1, 1], [0, −1, −1], [−1, 0, 1]].
4.d Il existe une base de vecteurs propres (β'), donc Ma est diagonalisable, pour tout réel a (même quand une valeur propre est double).
4.e Da = diag(1, a, a − 1) et Ma = PDaP−1 (formule de changement de base).
4.f Récurrence : Man = PDanP−1, car PDanP−1·PDaP−1 = PDan+1P−1, avec Dan = diag(1, an, (a−1)n).
4.g Man :
| colonne 1 | colonne 2 | colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| ligne 1 | 1 | 1 − an | 1 − an |
| ligne 2 | (a−1)n − 1 | 2an − 1 | 2an − (a−1)n − 1 |
| ligne 3 | 1 − (a−1)n | 1 − an | 1 − an + (a−1)n |
(Contrôle : pour n = 1 on retrouve Ma.)
4.h Pour a ∉ {0, 1} : Ma−1 = PDa−1P−1, c'est-à-dire la formule précédente avec n = −1 :
| colonne 1 | colonne 2 | colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| ligne 1 | 1 | (a−1)/a | (a−1)/a |
| ligne 2 | (2−a)/(a−1) | (2−a)/a | (−a² + 2a − 2)/(a(a−1)) |
| ligne 3 | (a−2)/(a−1) | (a−1)/a | (a² − a + 1)/(a(a−1)) |
(Produit Ma−1Ma = I3 vérifié.)
Partie 2
1. La matrice du système est [[1, −2, −2], [1, 5, 3], [−1, −2, 0]] = Ma pour 1 − a = −2, soit a0 = 3 (on vérifie a − 2 = 1, 2a − 1 = 5, 2 − a = −1).
2.a X' = M3X = PD3P−1X, donc P−1X' = D3P−1X.
2.b P−1 est constante, donc Z' = P−1X' = D3Z.
2.c D3 = diag(1, 3, 2) : z1' = z1, z2' = 3z2, z3' = 2z3. Z(0) = P−1(1, 2, 3)T = (6, −5, 2)T, d'où z1(t) = 6et, z2(t) = −5e3t, z3(t) = 2e2t.
3. X = PZ :
- x(t) = 6et − 5e3t
- y(t) = −6et + 10e3t − 2e2t
- z(t) = 6et − 5e3t + 2e2t
(On vérifie x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3 et que le système est satisfait.)
Partie 3
1. Si EF = FE et EG = GE : E(F − G) = (F − G)E, E(αF) = (αF)E et E(FG) = FEG = (FG)E.
2. Si EF = FE et F inversible, en multipliant à gauche et à droite par F−1 : F−1E = EF−1. La réciproque s'obtient en appliquant ce résultat à F−1.
3. Pour a ∉ {1, 2}, D = Da = diag(1, a, a−1) a trois coefficients diagonaux distincts. (FD)ij = fijdj et (DF)ij = difij : FD = DF ⇔ fij(dj − di) = 0 ⇔ fij = 0 pour i ≠ j. C(D) = ensemble des matrices diagonales.
4. EF = FE ⇔ H−1EFH = H−1FEH ⇔ (H−1EH)(H−1FH) = (H−1FH)(H−1EH).
5. Avec H = P : F ∈ C(Ma) ⇔ P−1FP ∈ C(Da) ⇔ P−1FP diagonale. Donc C(Ma) = {PΔP−1, Δ diagonale}.
6. C(Ma) est l'image de l'espace des matrices diagonales (dimension 3) par l'application linéaire injective Δ ↦ PΔP−1 : c'est un sous-espace vectoriel de M3(ℝ) de dimension 3, de base (PE11P−1, PE22P−1, PE33P−1). (Plus généralement, C(E) est toujours un sous-espace vectoriel, par la question 1.)
Questions fréquentes sur ce sujet
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