Modèle de concours : Professeurs cadres des AREF — Enseignement secondaire collégial et qualifiant — Mathématiques — éléments de réponse et barème — novembre 2020

هذه الوثيقة هي عناصر الإجابة وسلم التنقيط الرسمية (المركز الوطني للتقويم والامتحانات) لمباراة توظيف الأساتذة أطر الأكاديميات بالنسبة للتعليم الثانوي بسلكيه الإعدادي والتأهيلي، دورة نونبر 2020، تخصص الرياضيات، اختبار مادة التخصص وديداكتيك مادة التخصص. تضم جزأين:

• موضوع مادة الرياضيات (20 نقطة): 20 سؤالاً، نقطة واحدة لكل سؤال.
• موضوع ديداكتيك الرياضيات (20 نقطة): أربعة أجزاء حول درس المتتاليات وتحليل إنتاجات التلاميذ.

نص الأسئلة نفسه غير مرفق بهذه الوثيقة، لذلك نعرض ما يلي مرتباً كما ورد في الوثيقة الرسمية، مع توضيحات قصيرة.

موضوع مادة الرياضيات — الأجوبة الرسمية (نقطة لكل سؤال)

💡 عند مراجعة السؤال 14، لاحظ أن الجواب على شكل فرق مشتقتين من نوع (e^u(x))′ = u′(x)e^u(x): مشتقة الدالة x ↦ e^x4 − e^x3 هي بالضبط 4x³e^x4 − 3x²e^x3. وفي السؤال 8، يمكنك التحقق من الصيغة بالانطلاق من sin x = (e^ix − e^−ix)/(2i) ورفعها إلى القوة 3.

موضوع ديداكتيك الرياضيات (20 نقطة)

الجزء الأول (6 ن)

1. المعارف المستهدفة من الدرس (1 ن): المتتاليات العددية، المتتاليات الحسابية، المتتاليات الهندسية.
2. تمييز المتتاليتين (1 ن):
   • المتتالية حسابية إذا كان (∀n ∈ ℕ) : u_n+1 − u_n = r، حيث r عدد ثابت لا يرتبط بـ n. أو من صيغة حدها العام: u_n = nr + b، حيث r وb عددان حقيقيان ثابتان.
   • المتتالية هندسية إذا كان (∀n ∈ ℕ) : u_n+1 = q·u_n، حيث q عدد ثابت لا يرتبط بـ n. أو من صيغة حدها العام: u_n = λqⁿ، حيث λ وq عددان حقيقيان ثابتان.
3. الاختيار التربوي (0.5 ن): الاختيارات التربوية التي تستهدف التركيز على الجانب التطبيقي في تناول درس المتتاليات.
4. المكتسبات القبلية (1 ن): الدالة التآلفية، المعادلات والمتراجحات والنظمات، العمليات على القوى.
5. خاصية مجموع n حداً متتابعاً من متتالية حسابية والبرهنة عليها (تقديم 0.5 ن + برهنة 1 ن):

   الخاصية: S = u_p + u_p+1 + … + u_p+n−1 = n·(u_p + u_p+n−1)/2، أي عدد الحدود × (الحد الأول + الحد الأخير) / 2.

   البرهان: نكتب S مرتين، مرة بترتيب تصاعدي ومرة بترتيب تنازلي، ثم نجمع حداً حداً. كل مجموع u_p+k + u_p+n−1−k يساوي u_p + u_p+n−1 = 2u_p + (n−1)r، لأن u_p+k = u_p + kr. إذن 2S = n(u_p + u_p+n−1)، ومنه النتيجة.

6. توجيهان (0.5 × 2 ن): استعمال الأداة المعلوماتية المناسبة لتوظيف المتتاليات الحسابية والهندسية (وضعيات منقطعة)؛ وتمكين المتعلم من التمكن منها بالترييض وحل بعض المسائل.

الجزء الثاني (7 ن)

1. عناوين الأنشطة (0.25 × 5):
   • النشاط 1: تقديم متتالية عددية.
   • النشاط 2: مثال أول لمتتالية عددية: التوظيف بفائدة بسيطة.
   • النشاط 3: مثال ثانٍ لمتتالية عددية: الهندسة.
   • النشاط 4: المتتاليات الحسابية.
   • النشاط 5: المتتاليات الهندسية.
2. أهداف الأنشطة (0.25 × 5):
   • النشاط 1: حساب بعض حدود متتالية عددية معرّفة بالصيغة الصريحة.
   • النشاط 2: تحديد الحد العام لمتتالية عددية انطلاقاً من حساب بعض حدودها وتخمين النتيجة.
   • النشاط 3: تحديد الصيغة الترجعية لمتتالية عددية وحساب حدودها الأولى في وضعية هندسية.
   • النشاط 4: تقديم مثال لمتتالية حسابية وتحديد حدها العام وحساب بعض مجاميع حدودها المتتابعة.
   • النشاط 5: تقديم مثال لمتتالية هندسية وتحديد حدها العام وحساب بعض مجاميع حدودها المتتابعة.
3. إنجاز النشاط 5 من الوثيقة 2: الجواب مرتبط بنص النشاط، وهو غير مرفق بهذه الوثيقة.
4. صعوبات التلاميذ وأسبابها:
   • أ) الصعوبات: صعوبة توظيف نتيجة السؤال 1-ب لحل السؤال 1-ج؛ وصعوبة التعامل مع الحالة العامة التي تعبّر عنها العبارة المكمّمة بمكمّم كوني، إذ قد يلجأ المتعلم إلى حالات خاصة ثم يعمّم.
   • ب) الأسباب: صعوبة استحضار البرهان بالترجع وتوظيفه؛ والتعامل المحلي مع كل سؤال دون ربطه بالسياق الكلي للتمرين.
5. اقتراح جذاذة.

الجزء الثالث (3 ن)

1. ترجمة ما ورد مسطراً في الوثيقة 3 إلى اللغة العربية (2 ن): النص المسطر غير مرفق بهذه الوثيقة.
2. سجلات التمثيل في الأنشطة (0.25 × 4): النشاط 1: السجل العددي؛ النشاط 2: السجل المبياني؛ النشاطات 3 و4 و5: السجل الهندسي.

الجزء الرابع (4 ن) — تحليل إنتاجي التلميذين A وB

2. إعادة صياغة التمرين (2 ن): إعادة صياغة جديدة للتمرين بحيث يصبح تمريناً تقويمياً لمستوى السنة الثالثة إعدادي.

💡 خطأ التلميذ B نموذجي: عند تكبير شكل بنسبة k، تُضرب الأطوال في k والمساحات في k²، لا في k. هذه نقطة يجب أن تُستهدف صراحة في التمرين المعاد صياغته.