Modèle d'examen d'aptitude professionnelle : accès au 1er grade, professeur de l'enseignement secondaire qualifiant — Ministère de l'Éducation nationale — Mathématiques — session 2025

هذا النموذج هو امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أستاذ التعليم الثانوي التأهيلي — تخصص الرياضيات، دورة 2025، اختبار «علوم التربية وديداكتيك مادة التخصص»، مكوّن الديداكتيك (أسئلة متعددة الاختيارات من Q21 إلى Q70، لكل سؤال نقطة أو نقطتان). الصفحات المتوفرة تغطي Q21 إلى Q24 ثم Q33 إلى Q70؛ الأسئلة Q25 إلى Q32 غير متوفرة في النسخة المصوّرة. العلامات المرسومة على الورقة من إنجاز مترشح وليست مفتاحاً للتصحيح.

💡 المراجع الأساس: كتيب «التوجيهات التربوية والبرامج الخاصة بتدريس مادة الرياضيات بسلك التعليم الثانوي التأهيلي» (مديرية المناهج، نونبر 2007)، والمذكرة رقم 08-142 حول التقويم التربوي بالسلك الثانوي التأهيلي لمادة الرياضيات. أغلب الإجابات أدناه مطابقة لعبارات هذين النصين.

الجزء الأول: التوجيهات العامة (Q21 – Q24)

21. Q21 — C (للتلميذ المتغيب). من فوائد الكتاب المدرسي خارج الفصل حسب التوجيهات: «يقدم بديلا عن الدرس للتلميذ المتغيب». والتوجيهات تنص أيضاً على أنه «تصريف للبرامج والتوجيهات التربوية دون أن يكون بديلا عنها».
22. Q22 — B (وضوح الخط والتنظيم). النص: اختيار السبورة «يتطلب من المدرس وضوح الخط وتنظيم المعلومات المسجلة تنظيما محكما متناسقا».
23. Q23 — C (الأداتية). إدماج تكنولوجيا المعلومات في تعليم الرياضيات يُؤطَّر ديداكتيكياً بـ«المقاربة الأداتية» (approche instrumentale). تميّز هذه المقاربة بين الأداة المادية (artefact) والأداة التي يبنيها المتعلم عبر «التكوين الأداتي» (genèse instrumentale). أما السلوكية والاستكشافية والتاريخية فليست الإطار المرجعي لهذا الإدماج.
24. Q24 — A (جعل هذه المكتسبات حية ذات معنى). النص: التكوين الرياضي «لا ينبغي أن ينحصر فقط في الامتلاك الصوري للتعاريف والمبرهنات والنتائج والتقنيات بل يتعداه إلى جعل هذه المكتسبات حية ذات معنى».

الأسئلة Q25 إلى Q32 (صفحتا الامتحان 3 و4) غير متوفرة في هذه النسخة.

الجزء الثاني: أسئلة متفرقة (Q33 – Q49)

33. Q33 — B (الكتاب المدرسي). دفتر النصوص وجذاذات التحضير وبطائق نقط الفروض وثائق يُلزم بها الأستاذ إدارياً ويطلع عليها المفتش والإدارة. أما الكتاب المدرسي فهو أداة تعليمية تعلمية وليس وثيقة إدارية للمدرس.
34. Q34 — B (إجابة مرجّحة): مرتبط بالعائد الديداكتيكي من هذا التضمين. التوجيهات تطلب «التنبيه إلى النتائج التي تقبل في مستوى معين بدون برهان» و«تجنب جميع البراهين المصطنعة»، وتحدد في كل فقرة ما يُبرهن عليه وما يُقبل. فإدراج البرهان رهين بفائدته للتعلم. لم نجد عبارة «العائد الديداكتيكي» حرفياً في الكتيب.
35. Q35 — A (في جميع مراحل بناء المعرفة). المبدأ الثاني من المبادئ الثلاثة: «تفضيل اللجوء إلى طريقة حل المسائل في جميع مراحل التعلم». وتضيف التوجيهات أنها تُعتمد من قبل (لتمهيد التعلم) وأثناء (لمتابعة تقدمه) وبعد (في إطار إعادة توظيفه).
36. Q36 — D (التكويني). التوجيهات: التقويم التكويني «يمكن أن يستخدم أثناء سياق إنجاز الدرس فينصب على قياس مدى تمكن المتعلمين من الأهداف المحددة لفقرة أو أكثر».
37. Q37 — D (التوقع القبلي لطبيعة الأسئلة التي من المنتظر إثارتها). النص: «التحضير لا ينحصر في تحديد أهداف الدرس وعناصره وجزئياته فقط بل يعدوه إلى توقع طبيعة الأسئلة التي من المنتظر إثارتها».
38. Q38 — D (تقديم مساعدة موجهة وآنية في لحظة محددة لتلميذ يواجه صعوبة). المعالجة الفورية تتم داخل الدرس لحظة ظهور التعثر. أما التقويم التكويني (A) فهو أداة لرصد التعثر، والمعالجة تأتي بعده.
39. Q39 — C (تدخل تربوي مخطط له ولاحق لنشاط التعلم). المعالجة المؤجلة تُبرمج بعد التشخيص، مثلاً في حصص الدعم.
40. Q40 — C (طبيعة القدرة المستهدفة وخصائص الفئة المستهدفة). الطريقة الأنجع هي التي تلائم القدرة المراد إرساؤها والمتعلمين المعنيين.
41. Q41 — B (السباق التكنولوجي العالمي). بعد إطلاق القمر الاصطناعي «سبوتنيك» سنة 1957 أعادت الدول الغربية النظر في تعليم العلوم والرياضيات لتدارك تأخرها، فكان ذلك من أسباب إصلاح «الرياضيات الحديثة».
42. Q42 — A (التجريد البنيوي المبالغ فيه). أُدخلت البنيات المجردة (المجموعات والبنيات الجبرية) منذ السنوات الأولى، ففقدت المفاهيم معناها لدى التلاميذ.
43. Q43 — C (صعوبة بناء وضعيات مشكلة محفزة للتلاميذ). المقاربة بالكفايات تقوم على الوضعية المشكلة، وبناء وضعيات دالة ومحفزة وفي المتناول هو إشكالها الديداكتيكي المعروف.
44. Q44 — B (الطريقة الحدسية). برنامج الأولى باكالوريا علوم تجريبية: «يتم تقديم مفهوم النهاية بطريقة حدسية» انطلاقاً من سلوك الدوال المرجعية، و«أي دراسة نظرية لهذا المفهوم تعتبر خارج المقرر».
45. Q45 — D (استقرار تردد حدث عشوائي). برنامج الثانية باكالوريا (العلوم التجريبية والعلوم والتكنولوجيات، وهو برنامج واحد): «يقدم احتمال حدث انطلاقا من استقرار تردد حدث عشوائي»، و«ينبغي تجنب أي تقديم نظري لمفهوم الاحتمال».
46. Q46 — D (إبراز تمثلات التلاميذ وأخطائهم في أفق معالجتها). التقويم البنائي جزء من سيرورة التعلم، وغايته كشف التعثرات وأسبابها لمعالجتها. ولا يهدف إلى إبراز إبداع المدرس (B) ولا إلى التفييء في حد ذاته (C).
47. Q47 — A (إجابة مرجّحة): الإعداد للفرض المحروس. في المذكرة 08-142 يُعطى كل فرض منزلي ويُصحَّح قبل الفرض المحروس المقابل له، وعلى نفس المكونات (مثلاً: منزلي 2 في الأسبوع 7 ومحروس 2 في الأسبوع 10). والتوجيهات تعطي الفروض المنزلية دور «البحث في المسائل وصياغة حلول لها... وإعدادهم للامتحانات». الاقتراح D (دعم تعلمات مرحلة دراسية) قريب أيضاً، لذلك الإجابة مرجّحة.
48. Q48 — C (تميّز في الإجابة عن هذا السؤال). النص: «يمكن، أحيانا، إتاحة الفرصة لأحد التلاميذ لمعالجة سؤال ما إذا رأى المدرس أنه قد تميز في الإجابة عنه، وهو إجراء يدخل في إطار التشجيع والتحفيز».
49. Q49 — B (تصحيح الأسئلة التي تحتوي على أخطاء شائعة). النص: «أحسن طريقة للتصحيح هي التصحيح الجماعي. فبعد أن يقوم المدرس بجرد الأخطاء الفادحة أو الشائعة ينبه التلاميذ إليها».

الجزء الثالث: درس «تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته» — الأولى باكالوريا علوم تجريبية (Q50 – Q62)

50. Q50 — B (المرجح). جدول الأولى باكالوريا علوم تجريبية في المذكرة 08-142 (الدورة الأولى) يرتب الدروس هكذا: مبادئ في المنطق، عموميات حول الدوال، المرجح، تحليلية الجداء السلمي، المتتاليات العددية، الحساب المثلثي.
51. Q51 — D (الفرضين المحروسين الثاني والثالث). في نفس الجدول تظهر «تحليلية الجداء السلمي» في الفرض الثاني (منزلي 2 ومحروس 2، بنسبة 60%)، ثم في الفرض الثالث (منزلي 3 ومحروس 3، بنسبة 10%).
52. Q52 — A (التماثلية والخطانية). الصيغة التحليلية u·v = xx' + yy' تُستنتج بنشر (xi + yj)·(x'i + y'j)، وذلك يعتمد على خطانية الجداء السلمي وتماثليته، مع i·i = j·j = 1 وi·j = 0 في معلم متعامد ممنظم.
53. Q53 — B (للمسافة والتعامد). في الجذع المشترك العلمي تعتبر «الصيغة التحليلية للجداء السلمي خارج المقرر». أما في الأولى باكالوريا فتنص التوجيهات على أن الدراسة التحليلية للدائرة مجال خصب لتوظيف «تحليلية الجداء السلمي وخاصة المتعلقة منها بالمسافة والتعامد».
54. Q54 — C (إجابة مرجّحة): صيغ التحويل في الحساب المثلثي. في المذكرة 08-142 يأتي «الحساب المثلثي» (وهو في برنامج هذا المستوى: صيغ التحويل وتحويل a cos x + b sin x) مباشرة بعد هذا الدرس. وصيغة cos(a − b) تُبرهن عادة بالجداء السلمي لمتجهتين واحديتين. الدوران (D) مبرمج في الدورة الثانية، وصيغته التحليلية خارج المقرر. والأعداد العقدية (A) والجداء المتجهي (B) ليسا من برنامج هذه السنة.
55. Q55 — D (إجابة مرجّحة): الجانب الديداكتيكي لتغيير الإطار. الانتقال من المعادلة الديكارتية (x − a)² + (y − b)² = r² إلى التمثيل البارامتري x = a + r cos θ ، y = b + r sin θ وبالعكس، ينقل الدائرة من الإطار الجبري إلى إطار مثلثي وبارامتري، وتغيير الإطار (Douady) يغني فهم المفهوم ويتيح أدوات حل جديدة. ويمكن وصف الأمر أيضاً بتغيير سجل التمثيل.
56. Q56 — B (المعادلات والمتراجحات والنظمات). في برنامج الجذع المشترك العلمي تندرج «تجويه المستوى» ضمن محتوى فقرة «المعادلات والمتراجحات والنظمات»، مع قدرة «التمثيل المبياني لحلول متراجحات... واستعماله في تجويه المستوى».
57. Q57 — D (إجابة مرجّحة): أداة وموضوع. الصيغة التحليلية للمسافة (مسافة نقطتين، ومسافة نقطة عن مستقيم) هي «موضوع» في هذا الدرس، لأنها من محتوى البرنامج وتُبنى وتُبرهن. وهي في نفس الوقت «أداة» لدراسة الدائرة والمماس والأوضاع النسبية. وهذا وفق جدلية أداة/موضوع (Douady).
58. Q58 — B (الصيغة التحليلية للجداء السلمي). محتوى درس الجداء السلمي في الجذع المشترك العلمي يضم: تعريف وخاصيات، الصيغة المثلثية، تعامد متجهتين، العلاقات المترية في مثلث قائم الزاوية، مبرهنة المتوسط، مبرهنة الكاشي. وتنص التوجيهات صراحة: «تعتبر الصيغة التحليلية للجداء السلمي خارج المقرر».
59. Q59 — A (لمعادلة ديكارتية لمستقيم). إذا كانت n(a, b) منظمية على (D) المار من A، فإن M ∈ (D) ⟺ AM·n = 0، ومنه مباشرة ax + by + c = 0.
60. Q60 — A (سيناريو بيداغوجي). لا تضيف الأداة قيمة إلا داخل سيناريو يحدد الهدف والمهام ولحظة الاستعمال وأشكال العمل.
61. Q61 — D (الدينامي). GeoGebra يربط آنياً بين الشكل الهندسي ومعادلته (النافذة الجبرية والنافذة الهندسية)، ويسمح بتحريك النقط وملاحظة ما يتغير وما يبقى ثابتاً.
62. Q62 — E (إجابة مرجّحة): جميع الأجوبة المقترحة خاطئة. الرواد الذين بنوا مفهوم الجداء السلمي في القرن التاسع عشر هم أساساً Grassmann (1844) وHamilton (الكواتيرنيونات، 1843)، ثم Gibbs وHeaviside في صيغته المتجهية الحديثة. أما Euler فمن القرن الثامن عشر، وLobatchevski اشتهر بالهندسة اللاإقليدية، وRiemann عمّم فكرة المترية لاحقاً. ولا يستبعد أن يكون واضع السؤال قصد Riemann، لذلك الإجابة مرجّحة.

الجزء الرابع: تحليل إنتاجات التلاميذ — الثانية باكالوريا علوم تجريبية (Q63 – Q70)

الحل الصحيح للمعادلة (E): ½ ln(x/e) = √(ln x): تكون للمعادلة معنى إذا كان x > 0 وln x ≥ 0، أي x ≥ 1. لدينا ln(x/e) = ln x − 1، فتصبح المعادلة ln x − 1 = 2√(ln x). الطرف الأيمن موجب، فيجب أن يكون ln x − 1 ≥ 0 أي x ≥ e. بهذا الشرط فقط يكون التربيع تكافؤاً: (ln x − 1)² = 4 ln x. نضع t = ln x فنحصل على t² − 6t + 1 = 0، وحلاها t = 3 ± 2√2. الحل 3 − 2√2 ≈ 0,17 < 1 مرفوض، والحل 3 + 2√2 ≥ 1 مقبول. إذن S = { e^(3+2√2) }، أي حل وحيد.

63. Q63 — B (استعمال التكافؤ بشكل غير سليم). كتب التلميذ «أ» «يعني» (⟺) عند التربيع دون اشتراط ln x − 1 ≥ 0، فقبل حلاً دخيلاً e^(3−2√2). وقد تحقق فقط من x ≥ 1.
64. Q64 — A (إجابة مرجّحة): ابستيمولوجي. الخطأ يمس مفهوم التكافؤ المنطقي نفسه، فالتربيع استلزام وليس تكافؤاً إلا بشرط على الإشارة. وهي صعوبة معروفة ومقاومة مرتبطة بطبيعة المعرفة (الاستدلال بالتكافؤ)، لا بالتقنية الحسابية. هذا التصنيف يقبل النقاش، إذ يمكن ربطه أيضاً بممارسات تدريسية (مصدر ديداكتيكي).
65. Q65 — C (تطبيق خاصية لدالة اللوغاريتم النبيري). كتب التلميذ «ب» √(ln x) = ½ ln x، أي طبّق خطأً الخاصية ln(√x) = ½ ln x على √(ln x). ثم استنتج x/e = x ومنه x = 0، ورفض الحل وخلص إلى أن المعادلة «غير ممكنة».
66. Q66 — D (إجابة مرجّحة): ديداكتيكي. هو تعميم آلي لقاعدة محفوظة (ln √x = ½ ln x) دون انتباه لترتيب تركيب الدالتين، وهذا نمط من الأخطاء تغذّيه ممارسة القواعد خارج معناها. ويمكن أيضاً الدفاع عن التصنيف «استراتيجي»، لأن التلميذ اختار مساراً هدفه «التبسيط» بأي ثمن.
67. Q67 — D (إجابة مرجّحة): تكوين مجموعات حسب الحاجة. بعد رصد الأخطاء وتحليلها تظهر فئتان على الأقل: 60% لهم خطأ «أ» نفسه، والباقون طرقهم متنوعة وغير موفقة. الخطوة الموالية هي التفييء حسب الحاجات، ثم إعداد أنشطة الدعم لكل فئة (وهو موضوع Q68). الاقتراح C صحيح كمرحلة، لكنه يأتي بعد التفييء.
68. Q68 — B (التوافق مع الحاجات المسجلة). نشاط الدعم يُبنى على التعثرات المرصودة وأسبابها.
69. Q69 — D (استهداف نفس القدرات في وضعيات مألوفة أخرى مع تنقيط مناسب). يُقاس أثر الدعم في الفروض بوضعية جديدة تستهدف نفس القدرة، مثلاً معادلة أخرى تتطلب شرط الإشارة قبل التربيع.
70. Q70 — C (تفضيل اللجوء إلى طريقة حل المسائل). التوجيهات تذكر المبادئ الثلاثة: تيسير وتشجيع المشاركة الفعلية للتلاميذ، وتفضيل اللجوء إلى طريقة حل المسائل في جميع مراحل التعلم، وتشجيع استعمال التكنولوجيات الحديثة للتواصل والإعلام.

💡 ملاحظة: الجدول المقتبس في الوضعية منسوب إلى «الصفحة 40» من الكتيب، والدرس يوجد في الطبعة المتداولة في الصفحة 37. وهذا لا يغيّر شيئاً في الإجابات.