Modèle de concours : professeur de l'enseignement secondaire qualifiant, 1er grade (concours professionnel) — Ministère de l'Éducation nationale — Sciences de l'éducation et didactique des mathématiques — session 2025

هذا النموذج هو المباراة المهنية للتعيين في الدرجة الأولى من إطار أستاذ التعليم الثانوي التأهيلي — دورة 2025، اختبار «علوم التربية وديداكتيك مادة التخصص»، مكوّن ديداكتيك الرياضيات. يضم أربعة تمارين: نص لـ Brousseau حول النقل الديداكتيكي (3 ن)، وتوجيهات 2007 حول التواصل وحل المسائل (3 ن)، وتحليل نشاط حول الدوال بالجذع المشترك العلمي (5,5 ن)، وتحليل أخطاء تلميذين (4,5 ن).

التمرين الأول (3 ن): النقل الديداكتيكي — نص Brousseau

1. تعريف المفهومين.

• العرض الأكسيوماتيكي: تقديم الرياضيات في صورة نسق استنباطي، ينطلق من مسلمات وتعاريف أولية، وتُستنتج منه المبرهنات بالترتيب المنطقي وحده. يتم ذلك بمعزل عن الظروف التاريخية والمسائل التي أدت إلى ظهور المفاهيم.
• النقل الديداكتيكي: مجموع التحويلات التي تُدخل على المعرفة العالمة (savoir savant) لتصير معرفة مقررة للتدريس (savoir à enseigner)، ثم معرفة مُدرَّسة فعلاً في القسم. يتم ذلك بنزع السياق والطابع الشخصي عنها، وإعادة تنظيمها وتجزيئها وبرمجتها في الزمن المدرسي.

2. الفكرة الرئيسة: العرض الأكسيوماتيكي يمحو تاريخ المعرفة ويعوّضه بنشأة وهمية منطقية. وهذا التحويل، المسمى النقل الديداكتيكي، ضروري لجعل التعليم ممكناً، لكنه يحمل مخاطر، ولذلك يجب إخضاعه للمراقبة.

3. كيف يخفي العرض الأكسيوماتيكي «الآلية الحقيقية»؟ لأنه يحذف التسلسل الزمني للصعوبات والأسئلة التي ولّدت المفاهيم، ويحذف المسائل الجديدة التي سمحت بحلها، والتقنيات الوافدة من قطاعات أخرى، ووجهات النظر التي رُفضت، والخلافات التي دارت حولها. ويضع مكان ذلك ترتيباً منطقياً «تعريف ← مبرهنة ← برهان»، كأن المعرفة وُلدت جاهزة بهذا الشكل. هذه هي «النشأة الوهمية»: يبدو المفهوم بلا سؤال يجيب عنه.

4. ما يفسر حتمية النقل الديداكتيكي وضرورته:

• استحالة إعادة إنتاج تاريخ المعرفة كاملاً في الزمن المدرسي المحدود؛
• ضرورة تكييف المعرفة مع مستوى التلاميذ ومكتسباتهم؛
• ضرورة تنظيمها في برنامج متدرج قابل للتدريس والتقويم.

وبتعبير النص: «لجعل التعليم أسهل» يعزل العرض المفاهيم وينقلها إلى السياق المدرسي.

5. لماذا يجب إخضاعه للمراقبة؟ لأن عزل المفهوم عن نسيج الأنشطة التي نشأ فيها يُفقده معناه ودوافعه واستخداماته. وهذا يؤدي إلى معرفة صورية، وقواعد تُطبَّق دون فهم، وتشوهات في المفهوم، وتعثرات تتراكم عند التلاميذ. والمراقبة (اليقظة الابستمولوجية) تكون بالحرص على ما يلي:

• إعادة «تسييق» المعرفة عبر وضعيات مشكلة تمنح المفهوم معناه، وهي وظيفة الوضعيات اللاديداكتيكية عند Brousseau؛
• الاستئناس بتاريخ الرياضيات؛
• التحقق من أن ما يُدرَّس يبقى منسجماً مع المعرفة المرجعية.

التمرين الثاني (3 ن): التواصل وحل المسائل في توجيهات 2007

1. مساهمة الرسوم والمبيانات في تنمية القدرة على التواصل رياضياً. تنص التوجيهات ضمن هذا الهدف على «تنمية قدرته على نمذجة وضعيات أو عرض برهان أو توضيح إستراتيجية أو حل مسألة باعتماد التعبير الشفوي والكتابي أو استعمال الرسوم والمبيانات أو الطرق الجبرية». وتساهم الرسوم والمبيانات في ذلك لأنها:

• تترجم معطيات مسألة إلى تمثيل بصري يسهّل فهمها وتبادلها؛
• تتيح الانتقال بين سجلات التمثيل (لفظي، جبري، مبياني)، فيوضح التلميذ تمثلاته ويقارنها بتمثلات زملائه؛
• تدعم صياغة مظنونات ومناقشتها، وعرض استراتيجية حل أمام القسم؛
• تتطلب قراءة وتأويلاً دقيقين (محاور، سلم، اصطلاحات)، فتنمّي الدقة في التعبير.

2. أ) كيف تساهم طريقة حل المسائل في تواصل صفي فعال؟ حسب التوجيهات، «هذه المقاربة تتضمن، في نفس الوقت، نشاط التلميذ واللجوء إلى الأسئلة سواء منها تلك التي يطرحها عليه المدرس أو تلك التي يطرحها هو على نفسه أو التي يطرحها التلاميذ على بعضهم». فالمسألة:

• تخلق حاجة حقيقية إلى التبادل: يقترح التلاميذ مسارات، ويقارنون نتائجهم في مجموعات صغيرة، ثم يناقشونها مع المدرس لاستخراج الخلاصات؛
• تدفعهم إلى التبرير والإقناع واحترام وجهات النظر المختلفة؛
• تنقل المدرس من دور الملقّن إلى دور المنشّط الذي يطرح الأسئلة «أكثر من إعطائه الأجوبة».

ب) أسئلة أولية يستحضرها المدرس قبل اقتراح مسألة. التوجيهات تذكر صراحة:

1. ما هي المعارف والمهارات التي يتطلبها حل المسألة؟
2. هل يتوفر التلميذ عليها؟
3. ما هي المعارف والمهارات التي يمكن أن يكتسبها التلميذ بعد حله لهذه المسألة؟
4. ويضاف إليها سؤال من صميم التخطيط: في أي مرحلة من التعلم تُقترح المسألة (تمهيد، أثناء البناء، إعادة توظيف) وبأي هدف؟ أو: ما الصعوبات المتوقعة وكيف تُدبَّر؟

💡 النص الرسمي يقدم سؤالين مركّبين «نكتفي بإبراز أهمها»، أي ثلاثة أسئلة صريحة. السؤال الرابع اجتهاد من المترشح يُقبل إذا كان وجيهاً.

التمرين الثالث (5,5 ن): نشاط الدالة f(x) = −2x² + |x| + 1 — الجذع المشترك العلمي

حل النشاط باختصار (للاستئناس):

• مجموعة التعريف والتقاطعات: D = ℝ. التقاطع مع محور الأراتيب: (0,1). ومع محور الأفاصيل: من أجل x ≥ 0 لدينا −2x² + x + 1 = 0 ومنه x = 1 (والحل −½ مرفوض لأنه سالب)، وبالزوجية x = −1.
• الزوجية: f زوجية لأن −x ∈ ℝ وf(−x) = f(x)، ومجموعة الدراسة DE = ℝ+.
• معدل التغير: على ℝ+ لدينا f(b) − f(a) = (b − a)(1 − 2(a + b))، إذن T = 1 − 2(a + b). على [0 ; ¼] لدينا a + b < ½ فـT > 0 وf تزايدية. وعلى [¼ ; +∞[ لدينا a + b > ½ فـT < 0 وf تناقصية.
• التغيرات على D: بالزوجية، f تزايدية على ]−∞ ; −¼] وتناقصية على [−¼ ; 0].
• المطاريف: القيمة القصوى f(±¼) = 9/8، وقيمة دنيا محلية f(0) = 1.
• الإشارة: f > 0 على ]−1 ; 1[، وf < 0 خارج [−1 ; 1].
• عدد حلول f(x) = m: لا حل إذا m > 9/8؛ حلان إذا m = 9/8؛ أربعة حلول إذا 1 < m < 9/8؛ ثلاثة حلول إذا m = 1؛ حلان إذا m < 1.

1. طبيعة النشاط: توسيعي (استثماري/إدماجي). لا يبني مفهوماً جديداً، بل يستثمر في دالة جديدة (تجمع ثلاثية حدود والقيمة المطلقة) مفاهيم سبق بناؤها في درس الدوال: مجموعة التعريف، الزوجية، معدل التغير وعلاقته بالرتابة، المطاريف، التمثيل المبياني والحل المبياني. ويوسّع مجال توظيفها، فهو ليس تذكيرياً ولا داعماً لتعثر مرصود.

2. أربع معارف ضرورية:

• تعريف القيمة المطلقة (|x| = x إذا x ≥ 0)؛
• تعريف الدالة الزوجية وتأويله الهندسي (تماثل بالنسبة لمحور الأراتيب)؛
• معدل التغير وإشارته وعلاقته بالرتابة؛
• حل معادلة من الدرجة الثانية، وخاصيات الترتيب لتأطير a + b؛
• وكذلك تعريف القيمة القصوى والدنيا، وقراءة منحنى.

3. تقنيتان أساسيتان للسؤال 4-ب:

• حساب معدل التغير وتبسيطه بالتعميل: f(b) − f(a) = −2(b² − a²) + (b − a) = (b − a)(1 − 2(a + b))؛
• تأطير a + b انطلاقاً من انتماء a وb إلى المجال، لاستنتاج إشارة 1 − 2(a + b).

4. صعوبتان محتملتان:

• التعامل مع القيمة المطلقة (حذفها على ℝ+ ثم الرجوع إلى ℝ)، واستنتاج التغيرات على ℝ− بالزوجية مع انعكاس منحى الرتابة؛
• تحديد إشارة معدل التغير بالتأطير (المتفاوتات الصارمة مع a ≠ b)؛
• كذلك: رسم المنحنى عند 0 (نقطة زاوية وليس قمة ملساء، فالمنحنى ليس شلجماً)، ومناقشة الحل المبياني حسب m.

5. أ) المناقشة الجبرية. f زوجية، فنعدّ الحلول الموجبة للمعادلة 2x² − x + (m − 1) = 0 (E')، ثم نضيف مقابلاتها. لدينا Δ = 9 − 8m، ومجموع الجذرين S = ½ > 0، وجداؤهما P = (m − 1)/2.

• m > 9/8: Δ < 0، لا حل؛
• m = 9/8: جذر مزدوج ¼، فحلّا المعادلة ±¼؛
• 1 < m < 9/8: Δ > 0 وP > 0 وS > 0، أي جذران موجبان قطعاً، فأربعة حلول؛
• m = 1: الجذران 0 و½، فالحلول 0 و±½، أي ثلاثة حلول؛
• m < 1: P < 0، جذر موجب وآخر سالب، فحلان متقابلان.

ب) لا يمكن إدراجه كنشاط تقويمي بالجذع المشترك العلمي. برنامج «المعادلات والمتراجحات والنظمات» بالجذع المشترك ينص صراحة على أنه «تعتبر المعادلات والمتراجحات البارامترية من الدرجة الثانية خارج المقرر». المسموح به هو أمثلة بارامترية بسيطة من الدرجة الأولى. والتقويم يجب أن يبقى في حدود البرنامج، لذلك يُكتفى بالتحديد المبياني.

ج) أهمية تغيير الإطار.

• الإطار المبياني يعطي جواباً سريعاً وحدسياً: عدد نقط تقاطع المنحنى مع المستقيم y = m.
• الإطار الجبري يعطي البرهان والدقة، خاصة في الحالات الحدية m = 1 وm = 9/8.
• المقارنة بينهما تجعل كل إطار مراقباً للآخر، وتبيّن قوة الأداة المبيانية حين تكون التقنية الجبرية خارج المتناول.
• وتغني فهم مفهوم الدالة نفسه (Douady: تغيير الإطار، جدلية أداة/موضوع).

6. سيناريو بيداغوجي مقترح (حصة من 55 دقيقة تقريباً).

التمرين الرابع (4,5 ن): تحليل جوابي التلميذين A وB

1. حصر الأخطاء.

• التلميذ A:
  • (أ) أخطاء حسابية: f(1) = −2 + 1 + 1 = 0 وليس −4 + 2 = −2، و|−1| = 1 وليس −1، فـf(−1) = 0 وليس −2. وصل إلى «تساوٍ» صحيح بحسابين خاطئين.
  • (ب) خطأ منطقي، وهو الأهم: استنتج الزوجية من حالة خاصة واحدة f(1) = f(−1)، بينما التعريف يتطلب f(−x) = f(x) لكل x من D.
  • (ج) لم يتحقق من تماثل مجموعة التعريف بالنسبة لـ 0.
• التلميذ B:
  • (أ) اعتبر f حدودية من الدرجة الثانية، وهي ليست كذلك بسبب |x|.
  • (ب) استنتج أن منحناها شلجم، وهذا خاطئ: المنحنى مكوّن من قوسي شلجمين مختلفين.
  • (ج) استنتج الزوجية من وجود «محور تماثل» ما، بينما الزوجية تعني أن محور التماثل هو محور الأراتيب تحديداً. فالدالة x ↦ (x − 1)² لها محور تماثل وليست زوجية.

2. تصنيف الأخطاء حسب أقطاب المثلث الديداكتيكي.

• قطب المعرفة (علاقة التلميذ بالمعرفة): عند A، سوء فهم تعريف الزوجية (المكمّم الكوني «لكل x») وتعريف القيمة المطلقة. وعند B، الخلط بين «محور تماثل» و«تماثل بالنسبة لمحور الأراتيب»، وتجاهل أثر |x| على طبيعة الدالة.
• قطب المتعلم: أخطاء الانتباه والحساب عند A (الأسبقية في العمليات، علامة الناقص)، والتعميم المتسرع عند كليهما: من مثال إلى قاعدة عند A، ومن «يشبه ثلاثية حدود» إلى «هو ثلاثية حدود» عند B.
• قطب المدرس (العلاقة الديداكتيكية): قد تكون الزوجية قُدمت عبر أمثلة عددية دون الإلحاح على التعريف المكمَّم، أو رُسّخ الربط الآلي «درجة ثانية ← شلجم ← محور تماثل». هذا أثر لاختيارات التدريس وللعقد الديداكتيكي.

3. مصادر الأخطاء.

• A: مصدر منطقي ابستيمولوجي: الخلط بين المثال والبرهان، وبين «يوجد» و«لكل»، وهي صعوبة مقاومة مرتبطة بطبيعة الاستدلال الرياضي. ومصدر تقني: عدم التمكن من القيمة المطلقة وأسبقية العمليات.
• B: نقل مكتسب سابق إلى غير مجاله (تعميم مفرط لخاصيات الدالة ثلاثية الحدود)، وهو عائق ناتج عن مكتسبات صحيحة في سياقها الأصلي. ويحتمل أن يكون له مصدر ديداكتيكي إذا كان تقديم الشلجم قد ركّز على «محور التماثل» دون ربطه بالزوجية في الحالة b = 0 فقط.

4. وضعية داعمة للتلميذ A (هدفها: التمييز بين المثال والبرهان في إثبات الزوجية).

1. نعتبر g(x) = x³ − x. احسب g(1) وg(−1). هل يمكن أن نستنتج أن g زوجية؟
2. احسب g(2) وg(−2). ماذا تلاحظ؟ نجد 6 و−6، فالاستنتاج السابق خاطئ، وg ليست زوجية رغم g(1) = g(−1).
3. أكمل: «تكون f زوجية إذا كان لكل x من D: −x ∈ D و ... ». ثم برهن على زوجية f(x) = −2x² + |x| + 1 بحساب f(−x) لـx كيفي: f(−x) = −2(−x)² + |−x| + 1 = −2x² + |x| + 1 = f(x).
4. تمرين قصير لتثبيت الحساب: احسب |−3| و−2 × (−1)² و−2 × 1² + |1| + 1، مع تبرير كل خطوة.

تُنجز الوضعية فردياً، ثم تُقارن الأجوبة ثنائياً، ويختم المدرس بمأسسة التعريف وبطريقة إثبات أن دالة ليست زوجية: يكفي مثال مضاد واحد.