Modèle : Examen Epreuve de pedagogie de la specialite - Mathematiques — Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens 2022
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Epreuve de pedagogie de la specialite - Mathematiques organisé par Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens (2022), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens
- Grade
- Epreuve de pedagogie de la specialite - Mathematiques
- Spécialité
- الرياضيات
- Année
- 2022
- Pages
- 16
- Langue des questions
- arabe et français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Épreuve écrite : Epreuve de pedagogie de la specialite - Mathematiques — Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens — دورة غشت 2022. Ce modèle contient 16 page(s) de questions telles que distribuées aux candidats, pour préparer le concours.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
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ed خاص QU, المباراة مباراة الدخول إلى مسلك تكوين المفتشين التربويين متتذهدية شرن تمعد صق للتعليم الثانوي التأهيلي من الدرجة الأولى DUT التريمة الومنية تج ١197262 اندع ES غشت 2022 المركز الوطني للتقويم والامتحانات تاريح وفكان الاردياد 1 سج ES RER ESS MP المادة : اختبارات في بيداغوجية ee اا : خاص بكتابة المباراة pur النقطة النهائية على 20 بالأرقام ....... والحروفا ............. س : الرياضيات (على المصحح التأكد من أن النقطة النهائية هي على 20( م 9 ; 48 الإجايا | اسم المصحح وتوقيعه : dl) : 1 على 16 ببل_ممسسش6ؤ اسسسسسسسلسسسسسسسس سس ألسسسسس Consignes et instructions aux candidats (tes) La feuille sujet est une feuille de réponses : le candidat(e) répond sur la copie du sujet ; .1 Transcrire toutes les informations personnelles demandées sur l’entête de la première page ; .2 L'épreuve comporte 37 items (questions) de la question Q1 à la question Q37 ; .3 Le sujet comporte deux parties : la première partie est composée de questions fermées de 01 à .4 Q26 et la deuxième partie est composée de questions ouvertes de Q27 à Q37. La référence, pour répondre aux items de Q7 à Q17, est les directives pédagogiques du programme de mathématiques au secondaire qualifiant ; Chaque question fermée comporte 4 choix de réponses (A, B, C, D) dont une seule réponse est .5 juste ; Chaque candidat(e) n’a le droit d’utiliser qu’une seule copie sujet/réponse ; .6 Avec un stylo à bille (bleu ou noir), on coche la lettre correspondante à la réponse correcte de la façon .7. suivante : Question : A. 13 B. 11 12 4" D. 14 La rature et l’utilisation du Blanco sont strictement INTERDITES ; .8 Aucun document de quelque nature que ce soit n’est autorisé ; .9 L'usage de la calculatrice non programmable est permis ; .10 L'usage d’un stylo rouge dans la rédaction des réponses est à éviter ; .11 L'usage des téléphones mobiles, des tablettes et de tout appareil électronique intelligent est strictement .12 INTERDIT. DA DE 8 7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com لا بكتب أى شىء نسي (S * * 2 Di فى هذا الاطا 16,612 2 : باراة الصحول إلى هملك تخوين المتشين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولىي-دوزة 22 2022 - الموضوع الصقعة احتبارات في بيدا توجية التنصسصس. التخنصس , الرياضيات à الفاسة Première partie : 13 points (chaque question est notée sur 0,5 point) En lexique de la didactique, l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d'apprentissage ou d’un problème et accepte lui-même les conséquences de ce transfert s’appelle : A. implication. B. performance. C. dévolution. D. investissement. L’ensemble des rapports établis entre un (des) élève (s), un certain milieu et un enseignant afin de faire approprier par cet (ces) élève (s) un savoir est : A. un rapport didactique. B. une situation didactique. C. un contrat didactique. D. un moment didactique. Une situation pour laquelle on fixe conventionnellement et explicitement le statut cognitif d’une connaissance est une situation : A. d’action. B. de formulation. C. de validation. D. d’institutionnalisation. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو 16,61 3 : خباراة الدخول إلي مملك تحوين المفتخين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دورة قشت 2022- الموضوع الصفدة الرياضيا à ؛ اختبارات في بيدا توجية التخصصس. التخصص ami Pour déterminer le domaine d’efficacité des procédures lors de la recherche d’un problème, on recourt aux : A. représentations métacognitives des élèves. B. variables didactiques. C. créations didactiques. D. TICE. Lequel des critères suivants n’est pas constitutif d’un registre sémiotique ? A. l’existence d’une représentation identifiable. B. l’existence d’une activité de conversion. C. l'existence d’une activité de traitement. D. l’existence d’une activité d’instrumentalisation. L'obstacle épistémologique est un concept créé par : | A. Guy Brousseau. B. Gaston Bachelard. C. Yves Chevallard. D. Michèle Artigue. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا يكتب أي يطب اي سسيء فى هذا الاطا الفاصة ؛ احتبارات في بيداتوجية mail التحصص ؛ الرياضياد Pour préparer une leçon de mathématiques à une classe certificative, il faut se référer en priorité aux : A. cadres référentiels. B. directives pédagogiques. C. manuels scolaires. D. fiches prêtes des sites web. Selon le programme de mathématiques de la première année du cycle de baccalauréat pour toutes les sections scientifiques et techniques, toute étude théorique de la notion de limite est hors programme car : A. cette notion n’est pas une fin en soi. B. elle dépasse le niveau psychogénétique des élèves. C. elle sera entamée dans les classes terminales. D. les outils nécessaires pour cette étude ne sont pas enseignés. سد مسجب |---_-ييببببسب Dans le programme du tronc commun scientifique et technologique, l'introduction de la notion du produit scalaire et ses propriétés s’opère par : A. la formulation trigonométrique. B. la formulation analytique. C. la projection orthogonale. D. autre réponse. نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com خباراة الدول إلي مسلك تخوين المفتحين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دورة قشت 2022-الموضوع الصفعة : 5 علي16 الرياضياد à التنحصص. التخصص agile الفادة ؛ احتبارات في La notion de continuité d’une fonction numérique ne fait pas partie du programme de mathématiques de la première année du cycle de baccalauréat pour toutes les sections scientifiques et techniques car : A. l’étude théorique de la notion de limite est hors programme. B. c’est une notion topologique abstraite. C: toutes les fonctions de référence du programme sont continues. D. sa transposition didactique interne est un défi. Dans le programme du tronc commun scientifique et technologique, la notion de polynôme est introduite : A. comme un cas particulier de fonction numérique. _ B. par une approche expérimentale. \ DR Do M EE — Le 2 C. par construction théorique. = D. par la détermination de ses éléments Caractéristiques. L’étude des dispositions relatives des droites et des plans de l’espace s’effectue dans le programme du tronc commun scientifique et technologique par : A. une approche théorique. B. une approche analytique. C. admission. D. l'étude des sections planes de certains solides usuels. wadifa-info.com ج المباريات من موقع وظيفة إنفو ue) لا بكتب فى هذا الاطا مباراة الصدول إلي مسلك تخوين المفتشين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دوزة قشت 2022 -الموضوع الصفعة : 6 علي16 الفادة ؛ احتبارات في بيداقوجية التنحس. التخصص ؛ الرياضيا Les formules des aires et des volumes des solides usuels en géométrie spatiale programmée en tronc commun scientifique et technologique sont à : A. démontrer expérimentalement. B. démontrer théoriquement. C. admettre. D. admettre sauf pour certains solides. La présentation de la notion de continuité d’une fonction dans le programme des sections scientifiques et techniques de la deuxième année du cycle de baccalauréat est à effectuer à partir de l’approche: A. tabulaire. B. par limite. C. graphique. D. numérique. Ce Dans le programme des mathématiques de la deuxième année du cycle de baccalauréat pour la section sciences expérimentales et la section sciences et technologies, l'emploi de la résolution des équations différentielles dans des domaines autres que celui des mathématiques : A. n’est pas une capacité attendue. B. est une compétence à évaluer. C. est une capacité à ne pas évaluer. D. est une capacité à cibler dans un test formatif. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو du el لا بكتب 2 جاب ( € سي ني م فى هذا الاطا مبارأة الدحول إلي مسلك تخوين المفتشين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دورة شت 2022-الموضوع الصفحة : 7 علي16 الرياضيا à التخصس call المادة ؛ اختباراج في بيصا توجية Dans le programme des mathématiques des classes terminales techniques et scientifiques, toute justification théorique de la constance de la fréquence d’un évènement dans une expérience aléatoire répétée un grand nombre de fois : A. est hors programmes. B. est dans le programme de la section sciences mathématiques. C. peut être abordée par l'enseignant (e) avec modération. D. peut être traitée dans un devoir à la maison. Le programme des mathématiques du secondaire qualifiant précise la relation entre les études qualitatives (variations, dessins, .. .) et les études quantitatives (majorations, extremums, approximations, ...( en la qualifiant de : A. jumelage. a EE B. dissonance. » nn ني C. croisement. D. complémentarité. L'intégration de l’outil numérique dans une séance كل enseignement des mathématiques nécessite : A. le choix de se dispenser de la fiche de préparation du cours. B. d’alléger la fiche de préparation du cours. C. d’adapter le cours à l’outil intégré. D. la préparation d’un scénario pédagogique. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا بكتب çel شىء Le ur اسي Le ri فى هذا الاطا ِ مار alla الدخول إلى مسلك تخوين المفتخين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دوزة aa 2022-الموضوع الصفعة : 8 16 الفادة : اختبارات في بيدا توجية mil التنصص ؛ الرياضيام L’introduction de la notion de probabilités en classes terminales scientifiques marocaines est basée sur : A. l’approche modélisatrice. B. l’approche laplacienne. C. l’approche fréquentiste. D. autre réponse. Dans un enseignement plurilingue, la méso-alternance s’opère : A. tout au long de l’unité didactique. B. par une programmation antérieure du cours. C. par des courts passages non programmés à une seconde langue. D. par une articulation de registres. Dans un travail de modélisation mathématique en situation de classe, la présentation d’une situation partiellement modélisée a : A. l’avantage de garantir l’implication des élèves. B. le désavantage de la non-implication des élèves. C. le désavantage de ne pas cibler la compétence attendue. D. l'avantage de diminuer le temps alloué à la situation. نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 9 — M el لا بكتب فى هذا الاطار مباراة الححول إلي هملك تحشوين المتتحين التريويين للتعليم النادوي التأميلي من الدرجة الأولي-ددورة قشت 2022-الموضوع السقعة : 9 علي16 المادة ؛ احتبارات في بيداقوبية التنصصس. التخصص ؛ الرياضيا La démonstration mathématique des théorèmes du Cours par un enseignant(e) aux troncs communs scientifiques et technologiques et aux sections expérimentales et techniques est : A. bénéfique pour l'élève, B. contrainte par le temps. Ÿ . Mit C. officiellement encadrée. | = D. épistémologiquement demandée. La mise en œuvre de la démarche ذل investigation en mathématiques est : A. toujours possible. B. toujours demandée, C. contraignante pour la théorisation. D. possible pour certains objets d’étude. Selon les directives pédagogiques, l’adoption des attitudes positives, comme un objectif dans la résolution de problèmes, réside dans : À. la soumission du monde extérieur à l'analyse. B. la conscience de soi et le respect d’autrui, …. C. la recherche de régularités. 8 D. l'estime égocentrique de soi. ue نماذج المباريات من موقع وظيفة إن نفو ë — صفحة 10 — شىء 1e) لا بكتب نسي (S ٠ + فى هذا الاطا مباراة الصول إلي مملك تخوين المفتخين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دورة قف 2022-الموضوع الصفعة : 10 علي الفادة ؛ اختبارات في ببداتوجية التنحص. التخصص ؛ الرياضيا Selon les directives pédagogiques, l'adoption de l'approche de résolution de problèmes se situe : A. dans toutes les phases de construction du savoir. B. seulement dans la phase introductrice à la construction du savoir. C. seulement durant la construction du savoir. D. seulement dans la phase d’investissement du savoir construit. Selon les directives pédagogiques, en adoptant l'approche de résolution de problèmes : A. les exercices peuvent remplacer les problèmes. B. les problèmes peuvent remplacer les exercices. C. les exercices (problèmes) ne peuvent pas remplacer les problèmes (exercices). D. les exercices ne sont pas indispensables. — صفحة 11 — Sd 101 لا بكتب إطابا (ي اسي La Ci فى هذا الاطا مباراة الدخول إلى مملك تخوين المفتخين التريويين للتعليم التاجوي التأميلي من الدرجة الأولي-دوزة حدم 2022-الموضوع الصفحة : 11 علي الرياضيا à الفادة ؛ اختبارات في بيدا توجية التنسس. التخصص Deuxième partie : 7 points L La partie entière d’un réel est une notion à laquelle le programme de mathématiques du secondaire qualifiant a fait allusion en première année du cycle de baccalauréat de la Section sciences mathématiques et en deuxième année de cycle pour les sections Sciences mathématiques et sciences expérimentales. RES — Donner la définition de la partie entière notée E(x) ou 9 d’un nombre réel x sous deux formulations : - En utilisant les quantificateurs. - Sans symboles mathématiques. Question: 28 (0,25 point) Dans quel chapitre la fonction de la partie entière est-elle introduite en première année sciences mathématiques ? La fonction de la partie entière peut-elle être considérée comme une fonction de référence en première année sciences mathématiques ? Justifier votre réponse. — صفحة 12 — à لا بكتب أ 2 سي ( ٠ Lu فى هذا الاطا باراة السحول إلى مملك تحوين المفتشين التريويين للتعليم الثادوي التأميلي من الدربة الأولى-دورة تدص 2022 -الموضوع الصفحة : 12 علي الرياضيا à الفاصة ؛ اختبارات في بيداقوجية التنسص. التخصص Dans quel chapitre la fonction de la partie entière est-elle introduite ou rappelée en deuxième année ? Préciser le but de cette introduction. uestion : 31 )0,25 point Selon les directives pédagogiques du programme de mathématiques de la première année du cycle de baccalauréat section sciences mathématiques, l’étude des fonctions du type : جرد E(/(x)) ou xt f(E(x)), avec f une fonction numérique, est hors programme. Quelle est à votre avis, la raison de cette exclusion du programme ? Question: 32 (0,75 point ) Donner, en justifiant votre réponse, trois contextes d’utilisation de la fonction de la partie entière en mathématiques. — صفحة 13 — شىء el لا بكتب يهب )5( سي | فى هذا الاإطا التريويين للتعليم النادوي التاميلي من الدوجة الأولي-دورة تدم 2022-الموضوع الصفحة : 13 علي call مبارلة الدحول إلي مملك تخوين الرياضيات à ؛ اختبارات في ببداقوجية التخصصس. التنصس dsl Question : 33 (0,5 point) D’après votre expérience, préciser deux difficultés repérées chez les élèves relativement à l’acquisition de la notion de la partie entière. nn nn nnnnsnuss ل - 7 | =. 1 , + | ١ ١ | | ١ ٠ | LL COTON PET ES 11. Un enseignant de mathématiques a proposé 1 ‘exercice suivant à une classe de la première année du cycle de baccalauréat, section sciences mathématiques : 4 0 ': 1 Résoudre dans 18 l’équation suivante : | x + ar [2x] — صفحة 14 — لا بكتب أ شىء سي (s ٠ فى هذا الاطا علي 14 : ail مباراة الححول إلى مسلك تخوين المفتشين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدرجة الأولي-دوزة تحرص 2022 -الموضوع الفادة ؛ احتبارات في ببصاتوجية التنصص. التخصص ؛ الرياضيات Un élève de cette classe a répondu comme suit : On pose | x+ أ 1 8 1 1 P x 2 7 donc p 53+5> 2+1, d’où : 0-57 < 7+5 donc : 2p-1<2x<2p+1. Il s’ensuit : [2x]=2p -1 où [2x]=2p. Si[2x]=2p-1 alors Ê + ا =[2x]e p=2p-1 SI1<x+ 1 2 > 1 5> 9 Si[2x]=2p alors | + ٍٍ -]2«*[ جه p=2p > 05+ L >1 ب 6 5> 3 D'où l’ensemble de solutions عل l’équation est : JET 22 2 2 22 — صفحة 15 — شىء ef لا يكتب ١ با أي سني مار ِ 2022-الموضوع الضفمة : 15 علي mur عباراة الضحول إلي مسلك تخوين المفتحين التربويين للتعليم النانوي التأميلي من الدرجة الأولي-<دورة الرياضيات gmail الماحة ؛ اختباراج في ببداتوبية التنسس. L'enseignant a fait remarquer à l’élève que le nombre 4 n’est pas une solution de l’équation donnée. Question : 34 (1 point ) Repérer l’erreur commise par l’élève. Déterminer sa nature et son origine. Question: 35(0/7S point.) Apporter les corrections nécessaires à la réponse de l’élève. 8 À se as te < . . | اك 2 — صفحة 16 — اي سيء Re | "3 7 À Je: ِ 2-الموضوع الصفعة : 16 علي AL مباراة الدخول إلى مملك تخوين المفتشين التريويين للتعليم الثانوي التأميلي من الدربة الأولي-دورة ؛ اختبارات في بيدا قوجية التخصسس. التنصص ؛ الرياضيا salt Rédiger une Correction pour l'exercice donné. Question: 37, (0/75 point ) Détailler en des questions auxiliaires l’exercice donné par l’enseignant pour le proposer dans un devoir à la maison. | ااا تا ا ملا اا الما ااه RCE ا PER SES 8 وج م لوه ماج ماك مهمع مم ممه ملاو ااا لاا ام مق مم اه لا ةج ال ue نماذج المباريات من موقع و ظيفة إن ج المباريات من موقع وظيفة إنفو
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de pédagogie de la spécialité (mathématiques) du concours d'accès à la filière de formation des inspecteurs pédagogiques du secondaire qualifiant (1er grade) — Ministère de l'Éducation nationale, Centre national d'évaluation et des examens, session d'août 2022. Durée : 2 heures, coefficient 2. 37 items : une première partie de 26 QCM (0,5 point chacun, 13 points) et une deuxième partie de 11 questions ouvertes (7 points) sur la partie entière. Voici une correction proposée.
💡 La consigne précise que la référence des items Q7 à Q17 est constituée par les directives pédagogiques du programme de mathématiques du secondaire qualifiant (orientations et programmes de novembre 2007). Les réponses ci-dessous ont été vérifiées dans ce document : la plupart reprennent presque mot pour mot une phrase des « orientations pédagogiques » de chaque chapitre.
Première partie — QCM (13 points)
| Q | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1 | C — dévolution | Chez Brousseau, la dévolution est l'acte par lequel l'enseignant fait accepter à l'élève la responsabilité d'une situation d'apprentissage et accepte lui-même les conséquences de ce transfert. |
| 2 | B — une situation didactique | Définition de Brousseau : ensemble de rapports établis entre un ou des élèves, un milieu et un système éducatif (l'enseignant) afin de faire approprier un savoir. |
| 3 | D — d'institutionnalisation | C'est la phase où l'enseignant fixe conventionnellement et explicitement le statut de savoir d'une connaissance construite en action, formulation et validation. |
| 4 | B — variables didactiques | En faisant varier une variable didactique (taille des nombres, type de figure…), on change les procédures efficaces : c'est ainsi qu'on délimite le domaine d'efficacité de chacune. |
| 5 | D — instrumentalisation | Selon Duval, un registre sémiotique suppose la formation d'une représentation identifiable, le traitement (transformation interne au registre) et la conversion (vers un autre registre). L'instrumentalisation relève de l'approche instrumentale (outils), pas des registres. |
| 6 | B — Gaston Bachelard | La formation de l'esprit scientifique (1938) ; Brousseau l'a ensuite importé en didactique des mathématiques. |
| 7 | B — directives pédagogiques | Le manuel n'est qu'une interprétation des programmes et des orientations « sans pouvoir s'y substituer » ; les cadres de référence servent à construire les épreuves d'examen, pas à préparer une leçon. |
| 8 | A | Orientations de 1re année (sciences expérimentales et technologies) : la limite est une notion nouvelle qui « ne constitue pas un but en soi » ; elle sert surtout à étudier le comportement d'une fonction aux bornes ; toute étude théorique est hors programme. |
| 9 | C — projection orthogonale | Programme du tronc commun : le produit scalaire et ses propriétés sont présentés à partir de la projection orthogonale. |
| 10 | C | Orientations : toutes les fonctions de référence du programme, et les fonctions qui s'en déduisent, sont continues sur leur ensemble de définition, donc la notion de continuité est hors programme à ce niveau. |
| 11 | D | Tronc commun : éviter toute construction théorique de la notion de polynôme ; on la présente en signalant ses éléments caractéristiques (terme, degré, coefficient) à travers des exemples simples. |
| 12 | D | Tronc commun : c'est à partir de l'étude de solides usuels et de certaines sections planes que les élèves dégagent les positions relatives (parallélisme, intersection, orthogonalité). |
| 13 | C — admettre | Orientations du tronc commun : toutes les formules d'aires et de volumes sont admises à ce niveau. |
| 14 | B — par limite | 2e année (sciences expérimentales, technologies) : la continuité est introduite à partir de la notion de limite. |
| 15 | A (réponse probable) | Les orientations demandent d'utiliser ces équations en physique et ailleurs « sans que cette utilisation soit une capacité attendue soumise à l'évaluation » ; la colonne des capacités attendues ne mentionne que la résolution. La formulation la plus fidèle est A ; C (« capacité à ne pas évaluer ») supposerait que ce soit une capacité du programme. |
| 16 | A — hors programme | La simulation sert à constater la stabilisation de la fréquence pour faire admettre la probabilité ; « toute justification théorique de ce résultat est hors programme ». |
| 17 | A — jumelage | Orientations de 1re année : le programme « conjugue » (يزاوج) les études qualitatives (variations, dessins) et les études quantitatives (majorations, extremums, approximations). |
| 18 | D | Intégrer l'outil numérique suppose un scénario pédagogique : quand, pourquoi et comment l'outil intervient, rôle de l'élève et de l'enseignant. Il ne dispense pas de la préparation et ne dicte pas le cours. |
| 19 | C — approche fréquentiste | La probabilité est introduite par la stabilisation de la fréquence observée lors de nombreuses répétitions simulées (voir Q16). |
| 20 | B | Dans la typologie de l'alternance des langues (macro-, méso-, micro-alternance), la méso-alternance est une alternance séquentielle programmée à l'avance dans la leçon ; la micro-alternance correspond aux passages courts non programmés (C). |
| 21 | D (réponse probable) | Donner une situation déjà partiellement modélisée allège la phase la plus longue (la mathématisation) et réduit le temps consacré à la situation, au prix d'une modélisation moins complète par l'élève. |
| 22 | C (réponse probable) | Les programmes précisent, chapitre par chapitre, ce qui est démontré et ce qui est admis (« toutes les formules sont admises », « on admet toutes les propriétés »…) : la démonstration des théorèmes du cours est encadrée officiellement. |
| 23 | D | La démarche d'investigation est possible pour certains objets d'étude seulement : elle n'est ni toujours possible ni toujours demandée. |
| 24 | B | Orientations générales : parmi les objectifs de la résolution de problèmes, « adopter des attitudes positives (conscience de ses capacités, respect du point de vue des autres…) ». |
| 25 | A | L'enseignant doit adopter l'approche de résolution de problèmes dans les différentes phases de construction du savoir : avant (introduction), pendant (suivi) et après (réinvestissement). |
| 26 | C | Orientations : les exercices ne peuvent pas remplacer les problèmes et les problèmes ne peuvent pas remplacer les exercices. |
Deuxième partie (7 points)
I. La partie entière
Q27 (1 pt) — Définition
- Avec quantificateurs : pour tout x ∈ ℝ, E(x) est l'unique entier n tel que n ≤ x < n + 1 : ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℤ : E(x) = n ⇔ n ≤ x < n + 1.
- Sans symboles : la partie entière d'un réel est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à ce réel.
Q28 (0,25 pt)
Dans le chapitre « Généralités sur les fonctions numériques (rappels et compléments) » : le programme y ajoute la représentation graphique de x ↦ E(x), à côté de x ↦ √(x + a) et x ↦ ax³.
Q29 (0,5 pt) — Fonction de référence ?
Réponse probable : oui, au sens du programme. Les orientations demandent de construire les courbes des fonctions de référence déjà étudiées « en plus des fonctions x ↦ √(x + a), x ↦ ax³ et x ↦ E(x) », puis celles de la forme f + λ. La partie entière entre donc dans le répertoire des fonctions dont l'élève doit connaître la courbe et à partir desquelles il en construit d'autres. Nuance attendue : elle reste une fonction « complémentaire », puisque les composées avec E sont exclues (voir Q31).
Q30 (0,5 pt)
En 2e année (sciences mathématiques), dans le chapitre « Limites et continuité », partie continuité : les orientations en font l'occasion de rappeler la fonction partie entière (en sciences expérimentales, de l'introduire) comme exemple de fonction discontinue en une infinité de points (en chaque entier).
Q31 (0,25 pt)
Étudier x ↦ E(f(x)) ou x ↦ f(E(x)) exige un découpage en une infinité d'intervalles et des techniques de discontinuité (limites à gauche et à droite) que l'élève de 1re année ne possède pas encore : la continuité n'est pas au programme de ce niveau. L'effort serait technique, sans apport pour l'objectif du chapitre (lecture et construction de courbes).
Q32 (0,75 pt) — Trois contextes d'utilisation
- Arithmétique : quotient de la division euclidienne de a par b > 0 : q = E(a / b) ; nombre de multiples de d entre 1 et n : E(n / d).
- Approximation et suites : E(10ⁿx) / 10ⁿ est l'approximation décimale par défaut de x à 10⁻ⁿ près ; l'encadrement nx − 1 < E(nx) ≤ nx donne lim E(nx) / n = x.
- Analyse : exemple type de fonction en escalier, discontinue en chaque entier (limites à gauche et à droite différentes), ou calcul d'intégrales de fonctions en escalier.
- Autre contexte possible : l'algorithmique (extraction des chiffres d'un entier, tests de divisibilité).
Q33 (0,5 pt) — Deux difficultés fréquentes
- Nombres négatifs : confusion avec la troncature (« on enlève la partie décimale ») : l'élève écrit E(−2,3) = −2 au lieu de −3.
- Linéarité abusive : E(a + b) = E(a) + E(b) ou E(2x) = 2E(x), faux en général (E(0,6 + 0,6) = 1 ≠ 0).
- Aussi : oubli de l'inégalité stricte n ≤ x < n + 1, et lecture erronée des extrémités ouvertes/fermées sur la courbe en escalier.
II. L'exercice : résoudre dans ℝ l'équation E(x + 1/2) = E(2x)
Q34 (1 pt) — Erreur de l'élève
Repérage : dans chaque cas, l'élève utilise l'hypothèse du cas (E(2x) = 2p − 1 ou E(2x) = 2p) pour trouver p, mais il ne réintègre pas cette hypothèse dans l'ensemble des solutions. Il garde tout l'intervalle donné par E(x + 1/2) = p, sans l'intersecter avec la condition du cas. Par exemple, pour p = 0, il retient −1/2 ≤ x < 1/2 alors que E(2x) = 0 exige 0 ≤ x < 1/2. Vérification : x = −1/2 donne E(0) = 0 et E(−1) = −1.
Nature : erreur de raisonnement logique (usage abusif du symbole ⇔ : on passe d'une implication à une équivalence en perdant une condition), dans un raisonnement par disjonction des cas.
Origine : mauvaise maîtrise du raisonnement par cas (une hypothèse de cas est aussi une contrainte sur x) ; habitude des enchaînements automatiques d'équivalences ; absence de vérification finale des solutions.
Q35 (0,75 pt) — Correction de la réponse de l'élève
Avec p = E(x + 1/2), on a p − 1/2 ≤ x < p + 1/2, donc 2p − 1 ≤ 2x < 2p + 1. Il faut traduire chaque cas en condition sur x :
- E(2x) = 2p − 1 ⇔ 2p − 1 ≤ 2x < 2p ⇔ p − 1/2 ≤ x < p. L'équation impose p = 2p − 1, soit p = 1, donc 1/2 ≤ x < 1 (et non 1/2 ≤ x < 3/2).
- E(2x) = 2p ⇔ 2p ≤ 2x < 2p + 1 ⇔ p ≤ x < p + 1/2. L'équation impose p = 0, donc 0 ≤ x < 1/2 (et non −1/2 ≤ x < 1/2).
D'où S = [0 ; 1/2[ ∪ [1/2 ; 1[ = [0 ; 1[.
Q36 (0,75 pt) — Correction rédigée
Étape 1 — une identité utile. Montrons que, pour tout réel x, E(2x) = E(x) + E(x + 1/2). Posons n = E(x), donc n ≤ x < n + 1.
- Si n ≤ x < n + 1/2 : 2n ≤ 2x < 2n + 1, donc E(2x) = 2n ; et n + 1/2 ≤ x + 1/2 < n + 1, donc E(x + 1/2) = n. Alors E(x) + E(x + 1/2) = 2n = E(2x).
- Si n + 1/2 ≤ x < n + 1 : 2n + 1 ≤ 2x < 2n + 2, donc E(2x) = 2n + 1 ; et n + 1 ≤ x + 1/2 < n + 3/2, donc E(x + 1/2) = n + 1. Alors E(x) + E(x + 1/2) = 2n + 1 = E(2x).
Étape 2 — résolution. L'équation E(x + 1/2) = E(2x) s'écrit E(x + 1/2) = E(x) + E(x + 1/2), soit E(x) = 0, soit 0 ≤ x < 1.
Conclusion : S = [0 ; 1[. Vérification : x = 0,9 donne E(1,4) = 1 et E(1,8) = 1 ; x = 1 donne E(1,5) = 1 et E(2) = 2 (1 n'est pas solution) ; x = −1/2 n'est pas solution.
Q37 (0,75 pt) — Questions auxiliaires pour un devoir à la maison
- Soit x un réel et n = E(x). Montrer que n ≤ x < n + 1/2 ou n + 1/2 ≤ x < n + 1.
- Dans le premier cas, calculer E(2x) et E(x + 1/2) en fonction de n. Même question dans le second cas.
- En déduire que, pour tout réel x : E(2x) = E(x) + E(x + 1/2).
- Montrer que l'équation E(x + 1/2) = E(2x) équivaut à E(x) = 0.
- Résoudre alors l'équation dans ℝ et vérifier le résultat avec deux valeurs de x.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (16 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens. Il concerne le grade : Epreuve de pedagogie de la specialite - Mathematiques.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : دورة غشت 2022. Les questions sont proposées en arabe et en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Concours de l'enseignement ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Organisme : Ministere de l'Education nationale - Centre national d'evaluation et des examens · Session août 2022 — Copie issue de : sujets des sessions précédentes des concours de recrutement — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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