Modèle de concours d'accès — 1re année du cycle ingénieur (SET, CMI, Mécatronique) — Faculté des Sciences et Techniques de Fès — Université Sidi Mohamed Ben Abdellah — session 2011-2012 — Épreuve : algèbre

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Concours d’accès en première année du cycle ingénieur
Ingénierie en CM-SET-Mécantronique £
3 Epreuve d’Algèbre pe
RAP. Durée : 1h30 1]
و م د بم جا
‎Problème‏
On désigne par M3(R) l’ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coéfficients
dans R et par M, 1(R) l'ensemble des matrices à coéfficients d
ans R à n lignes
et 1 colonne.
Pour une matrice À de l’espace vectoriel M3(R), on note
C(A) = {M € Ma(R) tel que AM = MA}
1. 0,5 point :
Démontrer que pour À € M;(R), C(A) est un sous-espace vectoriel de
MR).
1 4 -2
2. Soit u l’endomorphisme de IR? et À = 0 6 -3 | la matrice
-1 4 0
associée à u dans la base canonique de 13.
(a) 2 points :
Calculer la polynôme caractéristique de À et les sous-espaces propres
associés à À.
(b) 1 point :
Montrer que R° = ker(u — 21dgs)? @ ker(u — 31des) (Id désigne
l’apphcation identité de RS).
(c) 0,5 point :
Montrer que ker(u — 21dps)? est stable par u.
(d) 1 point :
Soit v l’endomorphisme de ker(u—21dps)? induit par u sur ker(u—
v : ker(u — 27dps)? ‏ب‎ ker(u — 21dps ?
2 ‏ب‎ u(x)
Déterminer une base de ker(u — 21dps}? relativement à laquelle la
0 21
matrice de v est ( 0 2 )
(e) 2 points :
م © ‎S‏
‏نه به هه
© » تح
<<
En déduire que À est semblable à T = |
2012
FST-FEZ DM 2011-1

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Ingénierie en CM-SET-Mécantronique
3 Epreuve d’Algèbre re
‏م‎ Durée : 1h30 | ‏ا‎
Pour cela, on donnera une matrice inversible P de MAR) telle que
T = PT'AP.
3. 2 points :
Déterminer C(T) de la matrice T. Déterminer sa dimension.
4. 2 points :
Démontrer que l'application M ‏بج‎ P-!MP est un endomorphisme
bijectif d'espaces vectoriels de M3(R).
Que peut-on dire de la dimension ‏عل‎ 27
5. (a) 1 point :
Existe-t-il un polynôme annulateur de À de degré inférieur ou égal
à 27
(b) 2 points :
Démontrer que alors que C(A) = vect {13, A, A?}.
(c) 2 points :
En déduire que C(A) est l’ensemble des polynômes en À.
Ce résultat reste-t-il vrai pour une matrice À 6 7
6. 2 points :
Pour un entier non nul, on désigne par :
Sa l'ensemble des matrices symétriques de M3(R),
- 8} l’ensemble des matrices symétriques positives de MR).
On admet que si ‏بره‎ 22... 2, sont n réels positifs, alors on a :
On rappelle qu'une matrice S appartient à S+, si S appartient à S,
et si, pour toute matrice X € M,a(R), on a ‘XSX > 0.
Montrer qu'une matrice ‏ى‎ de 8, est une élément de Sit si et seulement
si toutes les valeurs propres de ‏ي‎ sont positives.
7. 2 points :
Soit S € 5. Démontrer que
1
V/det(S) < -trace(S)
11
151-07 DM 2011-2012