Modèle de concours d'accès au Master MACS / Mathématiques et Applications — FST Fès — Université Sidi Mohamed Ben Abdellah 2016-2017 — Épreuve : Analyse, algèbre, probabilités-statistique

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Département de À fathématiques
Master M.A.- Test d'Analyse
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières :
1) Er, D LE.
‏وها‎ 1
Soit f: R? — R, la fonction définie par :
J(x.y) = ps à se ii (x.y) # (0,0),
Montrerque f n'admet pas de limite en (0,0).
Soit f: R? = R, la fonction définie par :
PR on a Ye. à
ft») ent ‏د‎ (x.y) # (0,0)
(0,0) = 0.
1) Montrer que f est continue en (0, 0).
: À (0.0) - L (0.0) -
2) Montrer que : ps (0,0) 8 )0,0( = 0,
3) Montrer que f est différentiable en (0,0).
4( Montrer que est de classe C! en (0,0).
On considère R° muni d'une norme usuelle notée ‏إزحا‎ (n > ٠
D Rappeler ln définition d'une boule ouverte et celle d'un ouvert au sens de la norme IH.
2) Montrer que toute boule ouverte est un ouvert.
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Concours d'accès en première année du cycle Master
MACS :
ا | ‎Epreuve d'Algèbre‏ و
‎ere Durée 7‏ |
‎Exercice 1 Soit G =< a > un groupe cyclique d'ordre n.‏
1. Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique.
2. Soit H # ) un sous-groupe de G et m le plus petit entier strictement
positif tel que a" € H (e étant l'élément neutre de de G).
Montrer que m divise n et que |H| = À .
3. Montrer que s: dE N est tel que ‏ل‎ divise n, alors G possède un unique
sous-groupe d'ordre d.
Application : Déterminer le sous-groupe de Z\104Z d'ordre 4,
Exercice 2 On considère les trois suites (x,)nen, (un)uen et (z,)en définies
par la donnée des premiers termes 26. ‏ولا‎ et 2 et par la relation de récurrence :
Tnt = - ‏م72‎ — Ya + 22,
Yn41 = - ‏و57‎ - Tÿn + 224
ns = -lixr, _ ‏ولا‎ + =
1. Ecrire ce système sous forme matricielle.
2. En déduire que pour entier n, les valeurs de Tns ‏ولا‎ ©) 2 en fonction
de 10. ct Zo.
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ب-بببللبلللبتلبببتٍٍاسل للك لكل لللشلص أ للللستللملتبلتبلسسلسلسشل ب
‎UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH E‏ يردي
‎FACULTE DES 55-1211655 ET TECHNIQUES‏ ]4 |
‎Concours Master MA le 15-7-2016.‏
‎Epreuve de Probabilité et Statistique‏
‎Durée : 45 mn‏
‎Exercice |‏
‎On dispose de 15 livres. Cinq ont était écrits par l'auteur A, cinq par l'auteur B ct 5 par‏
‎On se propose de les ranger sur une étagère. Combien y-a-il de dispositions‏ ل ‎l'auteur‏
‎possibles dans les conditions suivantes :‏
‎a) Les auteurs sont rangés par ordre alphabétique et les livres d'un même auteur du plus‏
‎ancien au plus récent‏
‎b) Les auteurs sont rangés par ordre nlphabétique et les livres d'un même auteur sont côte‏
‎à côte mais sans ordre prédéfini‏
‎Les auteurs sont placés sans ordre prédéfini, les livres d'un même auteur côte à côte‏ )€
‎mais sans ordre prédéfini,‏
‎d) Les 15 livres sont placés sans ordre prédéfini.‏
‎Exercice I] .‏
‎Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36, dont 18 sont rouges et 18 sont‏
‎noires, plus une case numérotée D, verte.‏
‎Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire, gagne deux fois su mise si la couleur misée‏
‎sort.‏
‎qui sort, il gagne 36 fois sa mise,‏ 36 ذا ‎Si ce joueur mise sur un numéro de‏
‎Toute mise sur le numéro 0 est interdite.‏
‎Le joueur mise au hasard a DIT sur une couleur. Soit X;, son gain.‏
‎a) Trouver la loi de X1, puis calculer ECX;)et V(X:).‏
‎Le joueur mise maintenant a 1011 au hasard sur l'un des numéros de 1à 36.‏ (ط
‎égale au gain du joueur. Calculer‏ در ‎lui de la variable aléatoire réelle‏ ما ‎Déterminer‏
‎E(Xaet VOX)‏
‎sur une‏ ناه 36 ‎DIT À miser, miscriez vous sur un numéro de | à‏ د ‎c) Si vous aviez‏
‎couleur rouge ou noire.‏
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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
D Faculté Des Sciences et Techniques de Fès f
lé | | me
Concours d'entrée aux filières Master
Mathématique et Application au Calcul Scientifique
Pour l'année universitaire 2016/2017
Topologie
Exercice (20 pts= 3434344343 +5)
Le but de cet exercice est de donner un csemple de partie A de 114 pour laquelle les
ensembles
= NS ON à ]
"1 AA A À À, ‏ار .م‎
sont deux à deux distincts
Suit À une partie d'un espace normé (E, ‏رز‎
‎٠١ Donner ‏ما‎ définition de l'adhérence 4 de À
2. Caractériser les points de l'intérieur À de A
3. Montrer que lorsque À n'est ni ouvert ni fermé A est différent que tous les autres
ensembles de (1)
4. On suppose que
dE esta point isolé de À (c'est ir dire qu'ilexiste r > 0 tel que Ha,r)N A = {a}).
Montrer que dans ce ‏كف‎ l'adhérence et l'intérieur de À sont différents
5, Soit un point isolé du complémentaire de A. Montrer que be A4\A et en particulier
que 47,1
= + 24 LL
6, Trouvertesparies ‏.اب‎ À À 4, 4.4 pour la partie
4 = |, MUR, ALXONR 10/4]
En déduire qu'elles sont deux à deux distinctes
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