Modèle de concours d'accès au Master MACS (Mathématiques et Applications au Calcul Scientifique) — FST Fès — Université Sidi Mohamed Ben Abdellah 2018 — Épreuve : Épreuves de mathématiques

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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année 2017/2018
Faculté des Sciences et Techn iques Fes
‏ال 4441 جا ال ا ا‎ IN) AP) JUL. LA
Examen Master Mathématiques et Applications aux Calculs Scientifiques
Epreuve d'Analyse
Exercice 1: Soit f l'application définie sur R? par :
1 f Tr. zYÿ° Tr A
‏ل‎ (x y ) = F3 ‏د‎ 3 AT Ty
Soit l'équation f(x.v) = 7. Montrer qu'elle définit implicitement au voisinage de (3.2) une
fonction y = (x) et calculer l'équation de la droite tangente y = y{x) en x = 3.
Exercice 2 (lemme de Gronwalle) : Suppososn qu'une fonction ‏ع‎ de classe C'!{7.R) où J est un
intervalle de R. vénifie:
rt) <'alt)rté)-+ 6)
où a et à sont des fonctions continues sur / dans R ct r{ly) = ry pour tout t6 € L.
Posons (to) = fe a(s)ds. Montrer que
tt) < z(to)exp(y(t.to)) + 1 (UE. s))b(s)a(s)ds
Exercice 3: Soit x un réel quelconque. soit ‏مو‎ : 4 — g,(8) la fonction définie sur R par la
relation
9r(8) = er 5
1- Démontrer qu'il existe une unique suite (UV, ),>0 d'applications réelles définies sur R. x — ‏هاما‎
‎telle que la relation ci dessous ait lieu :
9r(0) = Voix) + 2 >, UV, (x) cos(nô)
| 2 Préciser la nature de la convergence de la série.
| 3- Comparer le réel U,(r) à la valeur de l'intégrale f, e*°%'cos(nt\dt.
4- Démontrer que (U,(x))?:, est convergente {-preciser la nature de la convergence).
5- Calculer V(x) = SX (U,(x))?.
6- Pour quelles valeurs de l’entier n. ‏ونا‎ est elle paire on impaire?
7- Montrer que pour tout n. ‏ما‎ € CX(R). |
& Comparer ‏ونا‎ et ‏با‎ n > 1 respectivement aux fonctions L; et ‏ربوا‎ + 5 5
‏ا‎ 9- On pose ‏نا‎ = U,. montrer que ‏)ما‎ + y) = Diet (Elle () (facultatif)
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0 = ACTE" ‏ا‎ À 1 \ X à
‏جامعة سيدي محمد بن عبد الله جل كلية العلوم و التقنيات فاس‎
‏+ادنا7ه+‎ ١ ‏ا1اه00م]+‎ À +OI2X3+2 ‏ال‎ £ 5
Faculté des Sciences et Techniques de Fès GS | ‏موه كاه ابيب‎ M RE à
SL ‏بج بح بج جا لاجد بح بح حت جا‎ 1: Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
AR PNNSIS ‏ناتبح ا بي ل ل‎
Concours ‏تعد‎ en Première Année du Cycle Master
Sciences et Techniques
MACS
Epreuve d'Algèbre
Durée : 45 mn
Exercice 1 Soit À la matrice
2 © 3 3
al 4 4 4 À
1 -1 -1 -1
1 = 0 2 [
1. Montrer qu'il existe une matrice inversible P tcile que T = P°'AP où
1 4 1 1
: 0 1: 1 1
7": 0 1 ‏“أ‎
‎0 0 0 1
‏هج‎ 2. Soit B la matrice, B = T - Ja. Calculer B?, B* et B*. En déduire le
calcul de T pour n > 4.
3. En déduire le calcul de A" pour n > 4.
Exercice 2 Soit R, [X] l’espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur
ou égal à n (n > 1). Pour tous PQ ER, [X], on pose
B(P,Q) = L tP(H)Q'(t}dt et qa(P) = B(P, P).
)0)1( désigne la dérivée ‏متعم‎ de Q(L)).
1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? anti-
symétrique ?
2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle définie ?
Si ce n’est pas le cas, ‏عطقا‎ un vecteur isoirope non nul.
3. Calculer la matrice de q dans la base B;-= (1 Xi: X°).
4. Pourn = 2, déterminer la signature de q. La forme 9 est-elle positive ?
négative ?
5. Déterminer une base de R2[X] qui soit g-orthogonale.
13-07-2018
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0 م ب : | ‎v5‏ + ا التومقصضاج ‎D‏ + الماعان
‎Facuite des Sciences et Techniques de Fes PL Do e sans 5 Rue‏
‎Universite Sidi Mohamed Sen Abdeilah‏
13/07/2018
‎Concours d'entrée à la filière master MACS‏
‎Pour l’année universitaire 2018/2019‏
‎Exercice 1. (Spts = 3pts +2 pts)‏
‎On considère le (PL) suivant :‏
‎Min z=-50x-30y‏
‎10x+6y <45‏
‎(P)<4x +67 <36‏
‎2x+67<27‏
‎Enutilisant la méthode tabulaire du simplexe, montrer que le problème (P) admet deux‏ )1
‎solutions optimales ;‏
‎Donner trois solutions distinctes de (P).‏ )2 |
‎Exercice 2. (5pts = 3pts +2 pts) Appliquer la méthode des deux phases du simplexe pour résoudre‏
‎le problème suivant :‏
‎Max z=6x, +3x, +4x,‏
‎sujet à‏
‎p X+XÉELEX 0‏
‎+x, -2x, <20‏ و6 + ‎3x,‏ 7
‎X 24‏
‎XX 20‏
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جامعة سيدي محمد بن عيد الله صو ‎AUS‏ العلوم و التفئيات فاس
‎AEAUMHED‏ ات ‎À +0١1: 4 28 | roOneULt 0101 CGACC A‏ 11اه00+ ‎+oYLUol# ١‏
‎Faculté des Sciences et Techniques de Fès A Universite Sidi Mohamed Ben Abdellah‏
‎Concours : Master Mathématiques et Applications au Calcul Scientifique. 2017-2018.‏
‎Epreuve : Topologie et intégration‏
‎Durée : 1 heure‏
‎A) Exercice de topologie‏
‎Soit (E, d) un espace métrique et soient À et B deux parties non vides‏
‎fermées de E vérifiant d(A, B) + 0.‏
‎Pour tout u dans E on pose: f{u)= Pet —‏
‎d(u, A)+ d(u, B)‏
‎dans R telle que : f4=0 , fi8=1 et‏ ع ‎a) Démontrer que f est une fonction de‏
‎dans E, 0 < f{u) <1.‏ نا ‎pour tout‏
لمات < ‎b) Démontrer qu'ona vuve E:lftu) fo)‏
‎d(4, B)‏ ا :
‎B) Exercice d'intégration‏
‎On note M(X, B) l’ensemble des applications numériques sur X‏
‎B-mesurables. Soit M(X, B, 11) un espace mesuré et f e M(X, B)‏
‎a) Montrer que, si f est positive, pour toutt >0,ona‏
ال ال
( رام ‎de B telle que Jim‏ متمعصعك ”ل ‎b) Soit (A;)\>1 une suite décroissante‏
‎Montrer que si f est intégrable alors lim [ fdu - 0 et en particulier lim [ fau=0‏
‎À n—+0 7 an)‏
‎c) On suppose que f est positive et intégrable. Montrer que‏
‎i) Ve>0,35>0 V4eB y(4)<8 — | fau<e.‏
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