Modèle de concours d'accès au Master Master Sciences et Techniques (mathématiques) — FST Fès — Université Sidi Mohamed Ben Abdellah 2017-2018 — Épreuve : Analyse, algèbre, topologie

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Concours d'Accés au Cycle ‏عمأعمكة‎ Schences et Techniques
à ln FST de Fès 2
PAS Epreuve d'Analyse 57
‏مسلا‎ Durée 1h
Esercion ١ On se gropase d ‘obtener de développement en série ‏خط‎ dr la
Joe ‏صما‎ tangente Pour : € | ‏ب‎ 3° 3 / un pose fis) ‏نا‎
‎1 Pin remarguant que /' e 1 + f?, montrer qu'il este une suite (ll
de pulynèmes & cceffoirnts dans N telle que [= ‏د‎ f pour tout
n€cN
# En utilisant La formule de Tuylor avec rente infégrul. montre qur lu
rene de MacLaunn de f a un rayon de conrergence FR aupéreur ne
» ‏ل لدي‎ ٍِ
Ÿ On note ‏من‎ Les coefheoents du développement précédent » ‏و‎ ls ‏ا‎
‎de da série entière Dur
Montrer que, pour tout entier n > 1
(n + 1ja,,1 = ‏الا‎
En dédurre que, pour tout x € | 57 | |, fx) = g{s), et que A = 3:
4. Calculer ‏...رموه‎ +
Exercice 2 Soit / : 22 — R une application ‏كل‎ classe ‏اج‎
‎٠ On définit pour (x.y) € R? fixé, ‏و‎ : R — Bit = glt) = J{tr.ty)
Montrer que ‏و‎ est dérivable sur R, et calculer se dénrée.
2. On suppose désormais que f[{tr,ty) =tfixz.y) pour tous r,y.t ER.
١( Montrer que pour tousr,ytER,ona
z,y)= (tr, ty)x + (tx, ly)y
Jay) = Gta ‏عزو‎ + DE 1)
ll) En déduire qu'il existe des réels a et 8 que l'on déterminera tels
que, pour tous (r,y) € R?, on a
[{z,y) = ‏عه‎ + 8y |
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Epreuve d'Algèbre (1l:)°
Exwrcice 1 Sest
où a, b,e € © sont fruns ‏وض‎ D de l'unité deux à deux dutinctes et
D ‏صمتسلل‎ que À est diagunalisatile
2 Montrer que A° = /,
Exercice 2 Soit [ une forme ‏لد دبال‎ rymétrique sur R' et q va forme
guodrotique ‏ييه‎ définve peur + = (2:.33.73) € R° par
‏د نت دا ماد سانا‎ — 2118
7, Ecrure la matrice À de ‏بن‎ velativement à La base canonique Ho de À.
2 Donner une réduction de Gauss de ‏و‎ Dédurre la signature dr ‏و‎
‎Exercice 3 Soient À un anneau, J un idéal de A et R = A x J l'ensemble
des couples (a,e) muni de l'oddition composante par composante et de la
multiplication définie par :
(a,e){b, f) = (ob.af + be)
On vérifie que R est un anneau, dit l'anneau extension tnwiale, où simple-
ment extension ‏ولمع‎ de À par J
Soit R:= A x ‏ل‎ l'estennion ‏لعجيف‎ de À par un idéal J.
1. Montrer qu'un élément (a,e) € R est ‏اكت لد‎ dans À s1 et seulement
410 est snversible dans À
2. Montrer qu'un idéal premier Q de R est sous la forme Q = P x J, où
Fest un idéal premier de À
3. Montrer que R est Noethénien mn et seulement si À ext Nocthénien
(Indication : Un anneau est Northénen net seulement si tout idéal
premier est de type fini)
4. Construire un anneau Nocthérien non intègre.
5. Sous qu'elle condition 0 x J est un ‏لال‎ premmer de R.
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PTS COULEUR COLLE
ARRET ENT LATE Le
‏لقره + 4 ا يمع رحد ما‎ en ‏الت الى 27م‎
‎Concouss Mtastee AMaïhioatlapes et ‏تلز زر‎ anses # + ‏الب مني‎ “ét AAA 0164 7
tonne ‏اش دنا عاد لقانت مع نك‎
‏وي‎ 1 heurté
‏لذ‎ _Exeniee de ‏»الميتا ردت‎
Soit E un )16 ‏مودو‎ vocal mue. ‏ابر‎ on ‏املعو‎ Les ‏خاض اناه‎ ee
‏الل‎
‎ٍِ 1) Montrer que La ‏5د بعل بيب اين نك‎ EST ‏امنغطيتث‎
‎21 Montrer que 1") ‏تبن بصن يصمص‎ nemntne ‏بطل‎ d'euventt Est ‏1خ صلا‎
3) Donner un cxemple ‏عد عاص أ‎ tro t l'envers QUI 1 est pas un ouvert.
dj) Déduire de Diet de 2١ que Paitensechion que luonque dé fermés est un ferme.
et que la réumon d'un nombre fini de fermés est un fermé.
B) Exercice d'intégration
Soit (2, 77 ‏دنا‎ espace mesurable et, ‏م‎ une suite d'applications
mesurables,
Montrer que
1) sup. inf £.lims, et ‏رسلا‎ sont mesurables.
2) S#°=limf. fest mesurable.
3) lue (2/ lim f,(w) existe dans À | est mesurable.
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