Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Zemmour-Zaër 2014 — Épreuve : Algèbre et géométrie

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المملكة المغربية
وزارة التربية ‎are)‏
‏المركز الجهوي لمهن التربية والتكوين
جهة ‎AL‏ ملا زمورزعير
‎Concours‏
‎d'accès au cycle de‏
‎préparation à l'agrégation de‏
‎Mathématiques‏
‎Session Février 2014‏
‎Durée 4 heures‏
‎Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.‏
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014 ‏مر‎
‎Important
‎L'épreuve est constituée de trois exercices et d'un problème. Le candidat est libre
de traiter Le sujet dans l'ordre qui lui convient à condition de bien mentionner les
références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des trois exercices et La seconde contenant celle
du problème. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et Le nombre d'intercalaires utilisés.
ILsera tenu compte dans l'appréciation des copies de ‏قا‎ rigueur de votre raisonnement,
de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si Le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il Le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il croit
nécessaires ou pas.
Les calculatrices et les documents sont interdits lors de cette épreuve.
Dans le plan affine euclidien habituel, confondu avec R? et rapporté au repère orthonormé )0: y),
on considère les points A(1,0) et B(0, 1). Les points Mo(xo, yo) et M1(x1, y1) sont donnés.
‏ف‎ - Les droites (P5 Mo) et (Ox) sont parallèles
On construit le point PQ par les conditions : Eco) ‏مدنا‎ P
- Po € (AB)
; ; gs - Les droites (P et (M1B) sont parallèles
On construit le point ‏م‎ par les conditions : (Po Qc) et (M1B) P
- Qo € (AM)
Soit le point M (x, y2) tel que le quadrilatère (Mo Po Qo M) soit un parallélogramme. On pose :
M = Mo * Mi
1. Faire uneillustration graphique de construction du point M.
‏و00 ولد‎ +7
2. Démontrer que Es
‏در‎ - 1
3. Démontrer que la loi + est associative et admet un élément neutre qu’on 016015618
EE ةت_لنلا ‏للبببستشتسسسشسشش‎
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ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
‏فق 0ل|»© -/ <اخن7-هججوتا7->77->-“->7>7”7+7ك->>|7اللنٌ|إو79(ز٠وووح.9تٌٍزا تاعفد :ات سا‎
4. Démontrer que si yo À 0 alors le point Mo admet un inverse.
5. On définit une suite de points (Mh)nen par la donnée de Mo, Mi et de la relation de récurrence
valable pour tout entier n > 2:
My = ‏وملا‎ * My
Déterminer y, en fonction de n, yo et de y1.
Exercice 2
On considère la matrice réelle carrée d'ordre 3 :
1 2 —3
A=| 2 4 -6
4 8 —12
et soit f l'endomorphisme de .#3,1(R) canoniquement associé à A.
1. (a) Calculer le rang de f.
(b) En déduire, sans aucun calcul de déterminant, le polynôme caractéristique de f défini par :
VAER x(4) = det(f - Àe)
où e désigne l'application identité de .#3 1 (R).
(c) f est-il diagonalisable ?
2. (a) Déterminer deux vecteurs-colonnes U et V linéairement indépendants de ker f et dont la
première composante est 1.
(b) Déterminer un vecteur-colonne W de ker(f +7e) dont la première composante est 1.
(c) Justifier que : ker f et ker(f + 7e) sont supplémentaires dans .#43,1 (R).
3. Soit P la matrice dont les colonnes sont U, V et W.
(a) Justifier que P est inversible.
(b) Justifier, sans calcul, que 7 ‏طبرا‎ est la matrice diagonale D = diag(0,0,-7)
(c) Calculer ‏7ط‎ et déduire l’expression explicite de A”, pour tout ne ‏ل‎
‎4. Soient (u,)n EN, (Vy)n EN et (Wy)n EN, trois suites réelles définies par :
Un+1 = Un +2Un - 31
Un+1 = 2Un + 4Vn - 6
Wn+1 = 417 + 81 TE 1210
Déterminer, pour chaque n EN, ‏ورا رملا‎ et w, en fonction de n et de wo, vo et wo.
EE اتتسسسسسسل7س‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014 ‏حر‎
‎Exercice 3
Dans cet exercice 11 est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose ‏مط‎ =R,[X] l’espace vectoriel
réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Pour tout (P Q) € E?, on pose :
@1Q= | ‏09م‎ dx
et pour tout 0> ‏ع1‎ > n, on pose Ly = ((X? - ‏مل رز‎ dérivée ‏“تام‎ du polynôme (X? - 1)°).
1. Montrer que (.|.) définit un produit scalaire sur ‏.رط‎ On notera ||.|| la norme euclidienne associée.
2. (a) Montrer que, pour tout ke {0,..., n}, deg Lx = k et déterminer son coefficient dominant ‏ار‎
‎(b) Soit pe {1,..., n}. Montrer que, pour tout 0 > k > p, (XF | Lp) = 0. (On pourra penser à effectuer
des intégrations par parties)
(c) Déduire que (Lo, ‏...مدا‎ La) est une base orthogonale de E.
3. (a) Soitpe {0,...,n}. En admettant que :
x /2 22P l 2
| ‏ل##ثرويمم)‎ dx = 2 PV
0 (2p +1)!
calculer (XP | L,). En déduire la valeur de | L, ||.
(b) Déduire des scalaires 20, A1,.…, À, tels que (Po, P1,..., Ph) Soit une base orthonormale de E et
(XF ]Py) > 0 où, Px = AgLy, pourtout0<k<n.
4. (a) Déterminer la projection orthogonale Q du polynôme X2 sur le sous-espace vectoriel E2.
(b) Justifier que :
|X2-Q{] =inf{| x? - ‏لم)‎ + b)|; (a,b) eR?}
(c) Calculer inf 1 (+at+b) dt.
4,062 ‏1-ل‎
‎Problème
‎Dans tout le problème © désigne le corps des nombres complexes. Pour (n, p) € N*?, on note :
٠ Mn,p(©) le C-espace vectoriel des matrices à n lignes, ‏م‎ colonnes et à coefficients dans C.
٠ Mn(C) la C-algèbre des matrices carrées d'ordre n et à coefficients dans C.
Si E et F sont des C-espace vectoriels, alors on note :
٠ P(E,F) le C-espace vectoriel des applications linéaires de E dans F
+ PE) la C-algèbre des endomorphismes de E. Lendomorphisme nul de E sera noté 0 et l’endo-
morphisme unité sera noté idg. On rappelle aussi que :
٠ Lorsque E et F sont des C-espace vectoriels de dimensions finies non nulles ‏م‎ et n respectivement,
et si 2 est une base de E et € est une base de F, alors pour tout f € Z(E,F) matzg(f) désigne la
EE ‏للللسلسسمسن تتا‎ سسسسسسبسلب‎
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ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
———— ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE ‏ح‎
‎matrice de f relativement aux bases et €. On définit ainsi un isomorphisme d'espaces vectoriels
de Z(E,F) sur Æn,p(©).
٠ Dans le cas où u € (E), E étant un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle n, matæ,æ(u)
est notée matz(u). L'application 71472 définit un isomorphisme d’algèbres de Z(E) dans .#Æn(©).
٠ L'application, qui à tout À e € associe det(u—Aid£), est un polynôme en À de degré n dit polynôme
caractéristique de u et noté Yu.
٠ Pour tout polynôme P = ‏“ره زج‎ > C[X], l'endomorphisme de E : ÿ ak u est noté P(u) dit
k=0 k=0
polynôme en u associé à P {P(u); P e CIX]} est une sous-algèbre commutative de Z(E) dite
algèbre des polynômes en u notée C[u].
٠ L'ensemble des polynômes P e C[X] vérifiant P(u) = 0% est un idéal non nul de C[X]. Son unique
générateur unitaire s'appelle le polynôme minimal de u et sera noté x.
٠ Le long de ce problème une matrice carrée de .#,(C) sera confondue avec l’'endomorphisme de
AMni(©) qui lui est canoniquement associé.
L'objectif de la première partie est de montrer que deux endomorphismes, même sur des espaces
vectoriels différents, ont des propriétés algébriques similaires dès qu’ils sont représentés dans une
base par une même matrice. Dans la deuxième partie, on définit et on caractérise les endomor-
phismes dits cycliques.
I- Endomorphismes similaires
Dans cette partie E et F sont deux C espaces vectoriels de même dimension finie n € N°. Soient
feZ(E)etge ‏.مالي‎
‎Définition 1 : On dit que f et ‏ع‎ sont similaires s’il existe un isomorphisme ‏بر‎ de E dans F vérifiant :
g=uofou!.Onnote alors f - ‏ع‎
‎1. Montrer que l’on définit ainsi une relation d'équivalence sur l’ensemble de tous les endomor-
phismes d'espaces vectoriels de dimension n sur €.
2. Montrer que si f - ‏ع‎ alors étant donnée une base Z de E, il existe une base € de F telle que :
matæ(f) = 11416 )8(. )[ et ‏ع‎ sont représentées par une même matrice)
3. Inversement, montrer que s’il existe une base Z de E et une base € de F telle que
matæ(f) = mat4(g) alors f et ‏ع‎ sont similaires.
4. Soit f e Z(E) et À une matrice carrée d'ordre n. Justifier la caractérisation suivante :
f et À sont similaires si, et seulement si, il existe une base 88 de E telle que A = matz(f)
5. Caractériser deux matrices carrées similaires.
6. Déduire que deux endomorphismes similaires ont le même polynôme caractéristique et le
même polynôme minimal.
7. On suppose que f - ‏.ع‎ Soit À une valeur propre de f. Montrer que À est une valeur propre
de g et que les deux sous espaces propres de f et de g associés à la valeur propre À ont la même
dimension.
8. Montrer que si f - ‏ع‎ alors: f est diagonalisable si, et seulement si, ‏ع‎ l’est.
EE ‏لسسسبسنسسسين سستميسسسسس تتا‎
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CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
—— CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — FÉVRIER 2014
11- Endomorphismes cycliques
Dans cette partie, on fixe un C-espace vectoriel E de dimension finie n 6 N°, son vecteur nul est
noté 0g. Soit ue P(E) ; pour tout x e E on note:
٠ Ex, l'ensemble des polynômes en u évalués en x:
‏يرط‎ = {P(u)(x); © 6 C[X1}
٠ ‏لل‎ l'ensemble des polynômes de C[X] annulant ‏بت‎ en x:
Lu = {PEC[X]; P(u)(x) = Or}
9. Justifier l'existence d’un unique polynôme unitaire noté x;,, dit polynôme minimal de u en x
vérifiant la propriété suivante :
VPEC[X], P(u)(x) - ‏م0‎ = ru divise P
10. Montrer que: 7,1 divise 74.
11. Montrer que si x n’est pas nul alors degryu > 1.
12. Montrer que ‏رطا‎ est un sous espace vectoriel de E, stable par u et de dimension deg(xr,.u).
Dans la suite, on admet le résultat suivant :
Théorème : Il existe un vecteur ‏عد‎ E vérifiant : 7 = Tu
Définition 2 : u est dit cyclique s’il existe un vecteur x de E tel que (x, u(x), …, u""!(x)) soit une base
de E; en d’autrestermes:IxeE, E=Eru.
Définition 3 : À tout polynôme unitaire P de degré n:, P = X"+ an-1X"7}+..+ ‏رمه‎ on associe la
matrice notée Cp dite matrice compagnon de P définie par :
‏ن ادم‎ % à À
: **, **. 0 —An-2
0 +. 0 1 -a1
13. Montrer que Yc, = )-
14. En déduire que, si P et Q sont deux polynômes unitaires de degré n, alors:
Cp-CosP=Q
15. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) uest cyclique
(C) Tu = )-1( "Yu
16. Montrer si u est cyclique alors u est similaire à C;...
17. Inversement : Montrer que s’il existe un polynôme unitaire P de degré n tel que u soit similaire
à CP alors u est cyclique et x, = P
EE ‏للستت‎
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