Modèle de concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE 2011 — Mathématiques I
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — Grande École organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE) (2011), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE)
- Grade
- Élève — Grande École
- Spécialité
- Mathématiques I
- Année
- 2011
- Pages
- 9
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
ً - ن تلخعقتعمسون
5 | DUREE : 4 heures
NB: ١
| 1. N n’est fait usage d'aucun document; l'utilisation de foute calculatrice et de tout
matériel électronique est interdite.
2. Seule l'utilisation d’une règle graduée est autorisée.
._ 3. Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints.
١ 4. Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée en
complément du sujet. .
5. ïiue sera admis qu'une seule réponse par question.
6. Le barème suivant sera adopté: |
: Réponse correcte: +2.
Réponse fausse: 1
Pas de réponse: 0
| Il y a 20 questions totalement indépendantes.
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"Question 1: On joue à un jeu où la probabilité de gagner à une partic est de 1/4. Si le joueur gagne à une
: partie, 11 obtient un gain net de 600 DH, sinon il perd 300 DH (le gam du joueur à une partie est donc soit
+600 DH, soit -300 DH). Si Ie joueur joue à 10 parties de ce jeu, alors l'espérance de son gair total est :
- À)-1000 DA B)-750 DH C)+750 DA D) +000 DH . E) Autre réponse
Question 2: Une ume contisrt 3 boules blanches et 2 boules rouges. On extrait successivement et
evec remise 3 boules de l'urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules
rouges tirées.
Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule rouge : PCX > 1) ?
958 72 60 36 = .
A)— ; ل( ; د( ; D)—— ; E) Aute réponse
) 125 ) 125 125 225 ) æ
0 Question 3: Un jeu de hasard consiste d’abord à choisir, au hasard et de manière équiprobable, une 506 parmi
trois, désignées par À, B, et C; puis à sélectionner encore, au hasard et de manièrs équiprobable, dans la boite
choisie, un bon qui est soit gagnant dit de type (G\, soit perdant dit de type (P).
La boite A contient 2 bons gagnants et 8 bons perdants,
la boite B contient 3 bons gagnants et 7 bons perdants,
la boîte C contient 4 bons gagnants et 6 bons perdants.
Un joueur vient d’être déclaré gagnant et on ne connaît pas la boite qu'il a choisie:
| La probabilité qu’il aït choisi la boîte A est :
A) B) C) D |
_ = ) ب À E) Autre réponse
3 4 5 8
7 1 2 2
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.. © ام 0, sit<1 ١ | , *
ل( = 41611 ' a, ْ | |
fG) اليب SL À |
| t° Le
fest 16 densité de probabilité d'une variable aléatoire X dont l’éspérance et la variance ا
sont respectivement : |
دوع بد etVX)=- 4 | j
B) EGD= = + et V(X)== 4
C)ECD= - 2 حد وو À | )
4 64
D)EGJ==S evo == 5 ٍ
E) Autre réponse
Question 5: » étant un entier naturel supérieur ou égal à 27 on considère une urne contenant :
| - use boule portant le numéro 1 |
- deux boules portant le numéro 2 |
.- 7 boules portant le numéro د
On tire dix fois une boule avec remise dans cette urne, on note أ la variable aléatoire
représentant le nombre de fois où l’on a obtenu une boule numérotée #. L'espérance de Ÿ
est : :
A)10 n(n+1) |
20(n—1
10(n—1)
nee
20(n-—1). 0
D) 2-2 |
E) Autre réponse
Quëstion 6: Soi X une variable suivant une loi uniforme sur {—1, 0, +1}; On pose Y=X?,
Le coefficient de corréiation linéaire entre X et Y est égal à :
A)-0,5 B)0 . C)+0,5 D) (ظ 35 سل Autre réponse
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: Question 7: Un auditeur décide d’étudier l’ensemble des retours de marchandises défectucuses dans
une entreprise de vente de matériel informatique par correspondance. Les ventes se : répartissent.
ل ainsi (Les pourcentages s'entendent en nombre d'unités venduss). Sur عمد période d’un 20018, pour
1200 unités vendues, ل a été relevé les retours siivanés :
Imprimantes 20% À, |
Ecrans cathodiques 2
Ecrans plats 15% 8 |
Boîtiers 10% L |
nanas vs ب"
Unités centrales 4
| Divers 116% [12
| Total 100% |
Quelle est Ja probabilité qu’un retour quelconque soit une imprimante ?
‘ ? 1 ب . 5 e .
4)0,025 ; B)0,1503; © 0,125 ; D) 25 ; Æ) Autre réponse
Question 8: Chaque jour, une entreprise envoie un colis. Elle utilise les services des sociétés de
transport À ou B.
La probabilité que la société A livre le colis avec retard est 0,1 : alors que la probabilité que la
| société B livre le colis avec retard est 0,2. Les retards successifs sont supposés indépendants, Pour
des raisons tarifaires, l’entreprise décide d'utiliser la société À dans 40% des cas, et la société B
1 dans 60% des ras. Un jour donné, le colis arrive ep rstord. La probabilité qu'il ait été livré per
50201616 À est :
12 ١
E) Autre réponse
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1 نا :029 5ف jette 2 fois de marière indépendante ci successivement un même éé numéroté. الل ae
| 6; Chaque face à la même probabilité d'apparition. RS ذاه لد د 3 8 Si :
On désigne par X; (respectivément X2) le résultat du 1° (respectivement 2°" lancer)... 0 7
On note X=Min(Xi, Xo) تا فاكلا اه - |
X est le plus petit des 2 résultats, tandis que Ÿ est le plus grand des 2 résultats (quand les
résultats des deux lancers sont les mêmes, X et Ÿ ont pour valeur ce résultat commun). En
déterminant l'expression de XY en fonction de X,et X2, en déduire que le coefficient de
corrélation linéaire entre X et Y est égal à :
A)-0,5 B) 0 0) 35 D) _35 E) Autre réponse :
73 73 |
( Duestion 10: Un pépiniériste dispose d’un stock de plants. Chacun des plants flcurit une fois par an.
Pour chaque plant, la première année, la probabilité de donner tine fleur rose est de met la
probabilité de donner une fleur blanche est de 2 Pour les années suivantes, pour tout entier naturel |
non nu] #, :
7 - Si l’année », le plant a donné unc fleur rose, alors il donnera une fleur rose l’année n+1 |
- Si l’année », le plant a donné une fleur blanche, alors il donnera l’année #+1 de façon à
équiprobable une fleur blanche ou une fleur rose.
On note Pa la probabilité de l'évènement R, « le plant donne une fleur rose ja n°°°
année ». Après avoir exprimé جبوع en fonction de Ph, puis Ph en fonction de #, calouler
E) Autre réponse |
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Question 11: Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. - |
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes X et Y telles que :
X suit une loi binomiale de paramètres n et p1 (notée B (n,pi)avecm e]0,11[).
Ÿ suit une loi binomiale de paramètres n et وم (notée B (n, p1havecp 2 0,1 ٠
__ On pose alors Z la variable aléatoire discrète définie par : Z=2n-X-Y
La probabilité de l'événement (Z = Zn-1) est alors égale à :
1 À) وتررم) (" B)((1-p})pY 0 “بوم و D) ((-p)(-)} E) Autre réponse
. هسعيشطم«م 12: Soit la matrice 4—| -1 O0 à |
١ = LE L 0 | 2 |
__ Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 , la matrice A' est égale à : ë
| 0 و د م à تل
١ 7 : 2 0 nl 0
مات :اعنم ة 0 ]5:| }€ 0 اله à €
Eu Eu ol los
| 2# 1 A إن hs
= (=) 0 -—— (2) 0 | 0 GC 0
| 2 اي 2 © | 2
0 لا ير
١٠ D}l =x © | 0 : E) Autre réponse
| A 2 à : ِ se
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Question 13: On considère Ja matrice À = ا 5 1 oo
Pour tout entier naturel n, il existe des réels a, et b, tels que : |
A7 = a,A2+1b, À avec
dns: = و20 + £ än
A) . LE |
ترا 2 = بوط -
dn+1 = Es د Ê An
buxs = 3 4
| 0 { Ans1 = Ds + 3 #n |
+ ; ba+1 = 2 an. À
D) An+1 = و + = än | * :
bars = = 4 L |
E) Autre réponse |
7 سرج
Question 14: Soit n un entier naturel, alors FR - 1) 0 ثَ
A)-] B;0 001 D) (—2)" E) Autre réponse
Question 15: Soit le système linéaire suivant :
| X+2y+52: = 0 ١ :
- J2x-y+5z=1 |
< وي À 01 m esf un paramètre réel
= +2y-2=17 |
Pour quelle valeur de m le système (5) admet une infinité de solutions ?
207 جح 1و( 7ج دوم (2 ; 1ج - 6 D} ms 5 ; Æ) Autre réronse
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- Question 16: Soit une fonction polynomiale réelle vérifiant fx كك 1) — JC) peur fout |
réel X et f (2) = 6, alors 7 (—) est égal à ل
| 413 po C) 6 D} _13 E) Autre réponse
| Question 17: Soit f, la fonction définie pour tout réel x et tout entier naturel و par :
£ (x) 0 1+7
Pour tout entier naturel n, on pose : Uy — 7 3 (x) dx
L Après avoir étudié la convergence-de U, st exprimé منا) —U,.1) en fonction قل », déduire si : |
7 La suite u, est divergente
| رع La suite u, converge vers 1 :
9 7 La suite ملا converge verse”
: D) la suite u, converge vers Ü | ١
: E) Avtre réponse
Question 18: Soit a un nombre réel et هنا entier naturel non nul et soit f la fonction définie sur
l'intervalle [0 : + > ] desk par ١
ال ا |
TT 5 x 5-0
[4 fix=0
La condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en 0 est :
Aja=—1] B)a=Q Cha=n+ti Dan LE) Autre réponse
6 نماذج المباريات من موقع وظيفة إن
wadifa-info.com ج المباريات من موقع وظيفة إنفو
Question 19: Soient a, bet c trois nombres réels vérifiant la condition :
a+bx+ ms 0, pourtoutx2>]1 -
On considère la fonction : ٠ |
f:Î=[1,R{ الج + |
æ 5 | In x -
| a+bx + عم
où In désigne le logarithme népérien. |
On suppose que : F(2)= 2 : 13 He s f(4)= Et
8 15 24
On en déduit alors que le cocffcient :
A) b=0 B) ركنا C) b=2 D) b=3 E) Autre réponse |
L F- =D |
Question 20: Soit la suite (2, ) بن définie par : k i= 2H + pour tout n Ee IN
88 u,+4 7
0 , | به [1 | ,
La suïte (v,),.n définie par v, = . est une suite géométrique de raison q.
Quelle est la valeur de q ? |
3 1 1 ١
À) q = : B) g= 2; دو زه à : Dos 5 ; Æ) g= Autre réponse.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE, année 2011. Durée : 4 heures, sans calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes, une seule réponse par question, barème +2 / −1 / 0. Voici une correction proposée, avec le calcul pour chaque question.
💡 Stratégie : avec −1 par réponse fausse, ne cochez au hasard que si vous avez éliminé au moins deux propositions. Ici, plusieurs bonnes réponses sont « E) Autre réponse » : ne la fuyez pas si votre calcul est sûr.
Question 1 — Réponse B (−750 DH)
Gain d'une partie : E = 600 × 1/4 + (−300) × 3/4 = 150 − 225 = −75 DH. Par linéarité de l'espérance, sur 10 parties : 10 × (−75) = −750 DH.
Question 2 — Réponse A (98/125)
Tirages avec remise : X suit B(3 ; 2/5). P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (3/5)3 = 1 − 27/125 = 98/125.
Question 3 — Réponse E (2/9)
P(G) = 1/3 × (2/10 + 3/10 + 4/10) = 1/3 × 9/10 = 3/10.
Bayes : P(A | G) = P(A ∩ G) / P(G) = (1/3 × 2/10) / (3/10) = (2/30)/(9/30) = 2/9, qui n'est pas proposé.
Question 4 — Réponse C (E = 16/9, V = 68/81)
On utilise, pour a > 1 : ∫1+∞ ln t / ta dt = 1/(a−1)2 (intégration par parties).
- Vérification densité : 16 × 1/42 = 1.
- E(X) = 16 ∫ ln t / t4 dt = 16/32 = 16/9.
- E(X2) = 16 ∫ ln t / t3 dt = 16/22 = 4.
- V(X) = 4 − (16/9)2 = 324/81 − 256/81 = 68/81.
Question 5 — Réponse E (E(Y) = 20/(n+1))
Nombre total de boules : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. Probabilité de tirer une boule n° n : p = n / [n(n+1)/2] = 2/(n+1).
Y suit B(10 ; p), donc E(Y) = 10p = 20/(n+1). Aucune des propositions A–D ne correspond (la D est 20(n−1)/(n+1)).
Question 6 — Réponse B (0)
E(X) = 0 et E(X3) = (−1 + 0 + 1)/3 = 0, donc Cov(X, Y) = E(X3) − E(X)E(X2) = 0 : coefficient de corrélation nul (alors que Y dépend de X : corrélation nulle ≠ indépendance).
Question 7 — Réponse C (0,125)
Parmi les 32 retours, 4 sont des imprimantes : P = 4/32 = 0,125. Les pourcentages de ventes ne servent pas ici : la question porte sur les retours.
Question 8 — Réponse E (1/4)
P(R) = 0,4 × 0,1 + 0,6 × 0,2 = 0,04 + 0,12 = 0,16.
P(A | R) = 0,04 / 0,16 = 1/4, non proposé.
Question 9 — Réponse C (+35/73)
On a XY = X1X2 (le produit du min et du max est le produit des deux résultats) et X + Y = X1 + X2.
- E(XY) = E(X1)E(X2) = (7/2)2 = 49/4.
- Loi du min : P(X ≥ k) = ((7−k)/6)2, d'où E(X) = (1+4+9+16+25+36)/36 = 91/36, et E(Y) = 7 − 91/36 = 161/36.
- Cov(X,Y) = 49/4 − (91 × 161)/1296 = 15876/1296 − 14651/1296 = 1225/1296.
- V(X) = V(Y) = 2555/1296 (calcul analogue avec E(X2) = 301/36).
- ρ = 1225/2555 = 35/73.
Question 10 — Réponse D (1)
Formule des probabilités totales : pn+1 = 1 × pn + 1/2 × (1 − pn) = pn/2 + 1/2.
Point fixe ℓ = 1 ; pn − 1 = (p1 − 1)(1/2)n−1 = −(1/4)(1/2)n−1, donc pn = 1 − (1/2)n+1 → 1.
Question 11 — Réponse E
Z = 2n − 1 ⇔ X + Y = 1 ⇔ (X = 1 et Y = 0) ou (X = 0 et Y = 1). Par indépendance :
P = n p1(1−p1)n−1(1−p2)n + n p2(1−p2)n−1(1−p1)n,
expression qui ne figure pas parmi A–D (qui correspondent à des événements du type X = n et Y = n).
Question 12 — Réponse E (matrice nulle)
Avec la matrice telle qu'imprimée, le calcul donne :
A2 = [[−1/4, −√3/4, 1/2], [−√3/4, −3/4, √3/2], [−1/2, −√3/2, 1]] et A3 = A2·A = 0.
A est nilpotente : pour tout n ≥ 3, An = 0 (matrice nulle), ce qu'aucune proposition A–D ne donne.
Question 13 — an+1 = bn + an/2 et bn+1 = an/2 (réponse B, identique à D sur le sujet)
Polynôme caractéristique : χ(λ) = λ3 − λ2/2 − λ/2. Par Cayley-Hamilton, A3 = A2/2 + A/2.
An+1 = anA3 + bnA2 = (an/2 + bn)A2 + (an/2)A.
Donc an+1 = bn + an/2 et bn+1 = an/2 : c'est le système B. Sur la copie numérisée, les propositions B et D sont imprimées à l'identique ; l'une des deux comportait sans doute une autre relation dans l'original. Réponse probable : B.
Question 14 — Réponse B (0)
Binôme de Newton : Σ (−1)k Cnk = (1 − 1)n = 0 pour n ≥ 1 (pour n = 0 la somme vaut 1 ; le sujet vise le cas général n ≥ 1).
Question 15 — Réponse C (m = −4/5)
Les trois premières équations sont de rang 2 (L2 = L1 + L3 au niveau des coefficients : (1,2,5) + (1,−3,0) = (2,−1,5), et seconds membres 0 + 1 = 1 : compatibles). Solutions : x = 2/5 − 3z, y = −1/5 − z, z libre.
Dans la 4ᵉ équation : −x + 2y − z = −2/5 + 3z − 2/5 − 2z − z = −4/5, indépendamment de z.
Infinité de solutions ⇔ m = −4/5 (sinon aucune solution).
Question 16 — Réponse C (6)
Un polynôme 1-périodique est constant : g(x) = f(x) − f(0) s'annule en tous les entiers, il a une infinité de racines, donc g = 0. Ainsi f ≡ 6 et f(5/2) = 6.
Question 17 — Réponse D (un → 0)
un + un+1 = ∫01 e−nx(1 + e−x)/(1 + e−x) dx = (1 − e−n)/n pour n ≥ 1.
De plus 0 ≤ un ≤ ∫01 e−nx dx = (1 − e−n)/n → 0. La suite (décroissante, positive) converge vers 0.
Question 18 — Réponse E (a = n)
Pour x → 0⁺ : (1 + x)−n = 1 − nx + o(x), donc [1 − (1+x)−n]/x → n (c'est aussi la dérivée en 0 de x ↦ −(1+x)−n). f est continue en 0 si et seulement si a = n, valeur non proposée.
Question 19 — Réponse C (b = 2)
Les données donnent a + 2b + 4c = 8, a + 3b + 9c = 15, a + 4b + 16c = 24.
Différences : b + 5c = 7 et b + 7c = 9 ⇒ c = 1, b = 2, puis a = 0. Contrôle : x2 + 2x > 0 pour x ≥ 1, la condition est respectée.
Question 20 — Réponse D (q = 1/5)
un+1 − 1 = (un − 1)/(un + 4) et un+1 + 3 = (5un + 15)/(un + 4).
Donc vn+1 = (un − 1)/(5(un + 3)) = vn/5 : q = 1/5 (avec v0 = −1/3).
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rép. | B | A | E | C | E | B | C | E | C | D |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Rép. | E | E | B | B | C | C | D | E | C | D |
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