Modèle de concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE 2014 — Mathématiques II
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — Grande École organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE) (2014), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE)
- Grade
- Élève — Grande École
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2014
- Pages
- 7
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
Groupe ISCAE
COURS D'ACCES 4 LA GRANDE ECOLE
ANNEE 2014
MATHEMATIQUES 1
DUREE :3 heures
1.11 n’est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matérie
électronique est interdite.
2. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
3. Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints.
4. Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée en complément di
sujet.
5. Il ne sera admis qu'une seule réponse par question.
6. Le barème suivant sera adopté:
Réponse correcte: +2
Réponse fausse: -1
Pas de réponse: 0
117 a 20 questions totalement indépendantes.
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Question1: Soit X une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité f définie par:
ٍ fi x <0 |
fois لط où c est une constante (éventuellement à calculer).
LE SOL si 0
La variance de X est égale à:
1 1 2
A) — B) — C)1—— D)1 EVAutre réponse
2 27 7
Question 2: Soit & un réel non nul. On considère la suite (p,),,, définie par: VrelN*, p,= nn. La
n—1l)!
suite (p,),., définit une loi de probabilité pour à égal à: 0
A) 2e+l : B) 22-1: © In(e-2) ; D) In(d-e) ; E) Autre réponse
Question 3 : Soit / la fonction définie sur RxR par:
vé y)ER, f(x y)= الات :
01656016 un extremum :
A) local en A(1,0); Bjlocalen A(-1,0); C) global en A(-1,0); D) global en A(1,0):
E) Autre réponse
Question 4 : Pour toute matrice M de M, (R) , on note ‘A{ la transposée de M, et @ l'endomorphisme de
M, (R) qui à toute matrice M de Âf,(R) associe
o(M)=M+'M.
La dimecsion du sous-espace vectoriel 1m @ est égale à: |
A) 1 B}) 2 0803 D) 4 E) Autre réponse
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Question 5: Soit (m1; Oo) EeRx R° et X une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité ÿ
définie par:
P Si x< 0
[1 )«( < x—m), .
cexp(— LE SE از 0
où c est une constante qui dépend de m et © (éventuellement à calculer).
On désigne par © la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. |
L'espérance mathématique de X est ‘gelé à: |
2 oD(—) 2
A) | 71 B) m+ ب exp(— ب C)m+ ل Exp(—
D(—)V27 "+ à +
D) 7202 + —— E) Autre réponse
D(—)V27
Question 6 : Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire X, définie sur IR par :
0 si x<0
le 2 jé 0ج
L’espérance de X est :
A) ٍ : 8( ًَ : © Æ : D) Ÿr : E) Autre réponse
= 1 ٍ ne n'+n+l
Question 7 : On considère la série de terme général 4, = a ل
Cette série est convergente عل somme: |
e e 3e ,
À) 5 B) 6 1 = D) e E) Autre réponse
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‘Question 8 : Soit la fonction réelle de la variéble réelle x définie par f(x) = (x + 18 00
Un équivalent de f(x)—x quand x — +00 est:
1 * 4 _ À
ع ز(خر B) سات EC) ست D) — E) Autre réponse
x 2% 2x
Question 9 : Trois enfants A ,B,C jouent à la balle.
- Lorsque À a la balle, la probabilité pour qu'il la lance à B est : , la probabilité pour qu'il
la lance à C est 4" 5 :
- Lorsque B a la balle, la probabilité pour Qu'il la lance à A est 4° la probabilité pour qu'il
la lance à C est 4:
- C envoie toujours Ja balle à B ٠ :
Pour neN , ده désigne par À, (respectivement B; ,C;) l'événement : " A (respectivement B,C)
a la balle à l'issue du n°% lancer " .
Au départ la balle est lancée à l'un des trois joueurs : c'est par convention le lancer numéro 0 .
Donc on pose : a, = p(4),b, = p(B,),c, = p(C,) avec a, +b,+c, =1.
On pose, pourneN, À =|b |.
Il existé une matrice D € MW, (R) telle que:
VneN, À = D',X, , où :
fi 3 7. 1 |
— 0 1 0 — 0 0 = 1
4 4 4
1 3 1
À) D=|0 — 0 B) D=|— 0 1 €) D=|- 0 0
4 4 4
3 1 1 3 3
_ 0 — - 0 — — À
4 4 4 4 4 4
10( 17-0 à 0 E) Autre réponse
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Question 10 : Soit (4. À oi la suite réelle définie par 4, - 0 et u =]
et par (Vn جح N) وملا = U,, + 4,. La suite est strictement positive à partir du rang 1.
On pose (VreN} v لقت
lim(v )= |
3 13+45 Di |
À) +00 BE) نحن م_ح_ح'ت ب ب Lu E) Autre réponse
2 16 2
2 1 ب 5
Question 11 : La limite de la suite ىو(را) définie par: u, = est:
2e] 5
نهذ 1 : B) ——- ; C)2 ; D)+æ : E) Autre réponse
Question 12 : On note M, (CR) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
2 0 #1
Soit la matrice 4=| 0 1 0
=1 )0 2
On considère l'ensemble Æ des matrices T de M, (R) qui commutent avec A. |
E est un sous-espace vectoriel de M, (R) de dimension égale à:
A) 1 B) 3 00.5 Di 7 E) Autre réponse
Question 13 : On désigne par ® la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. L'intégrale
EXp(—x° +4x- 2)dx est égale à:
A) e"®D(2)Vr : B) e*V2x (D(2)- 5 : © ex )©)2(- 0. ; D) 27 D(2);
E) Autre réponse
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Question 14 : Soient X, ef ول deux variables aléatoires discrètes finies, indépendantes, et de même
loi de probabilité, avec:
: 1 1 - 1
Vieil.2}, pieds du (ES z 4 P (FX =2)= à
On pose: S=X +X, et P=AXX,
Le coefficient de corrélation linéaire de 5 et P est égel à :
À) 0 B) -1 0 3 _ D) 2 E) Autre réponse
: . ٍِ ñ Et a k : | ;
Question 15 : Pour ابرعم *, on pose: S,= 3 412-17 La suite (S,), بي converge vers :
À) e+1 : B) ; : © 8 : D)in2 : E) عن réponse
ب FT
4 —6 0
Question 16: On considère la matrice 4=| 3 5 0
| 3 6 5
Après avoir montré que À est diagonalisable, on aboutit à "ار pour # entier naturel non nul, égal à:
eu + 5 1“ 1 2 x 5" 5 ñ 2 27ب "5 + 27ب + 2 0. 5 5?
2(-1)-2" 2)-[("-27 0 2(-1) =2° 2-1)-2x2 0
27+57 -27+12x5" 5” 27 +7 275 5
E) Autre réponse
Question 17: On considère deux pièces truquées À et B ; À donne pile avec la probabilité a
(0<a<1) ,etB donne pile avec la probabilité b ) 0 > 5 > 1٠.
On choisit une pièce au hasard et on la lance: si on obtient pile, on relance la même pièce, sinon on
lance l'autre pièce. On poursuit ce processus k fois ) <٠
La limite de la probabilité de lancer la pièce A au °°° lancer lorsque £ tend vers l'infini est égale à:
b 1-b l-a a '
À) بست Fe ست 6 Em à D) —— E) Autreréponse
a+b a—-b+l 1-a+b a+b
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Question 18 On désigne par tr(M) la trace d'une matrice carrée à coef£cients réels M.
Soient À et B 6 Mr(R), des matrices vérifiant AB - BA = A |
Pourtoutp 611, tr(4) =
A) tr(A) B)tr(AB) C)0 D) (B) E) Autre réponse
Question 19 On considère [a matrice ٠
1-4 1 1 :
A = 3 —2—À -4 où À est un paramètre réel.
—2 1 3-1
et jf l’endomorphisme associé à À relativement à la base canonique de 1:
Les valeurs de À pour lesquelles la dimension de Ker f est égale à 1, sont:
A) Aef —1,1,3 } : ( اعون ; | يبب —3 Ë | + © ael-4,14 | ;
22 | 3 4
E) Autre réponse
Question 20 Soient ox, رق 6, À quatre nombres réels vérifiant les conditions:
0> : 0<B<—
0-> 5 : Max(0,In(25))<À
ct soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F définie par,
Bexp(at) زى + > 0
18 ج- ]0:1[ 1 |
Fe est la fonction suivante: F(f) = > — STE [ 0;1 [
tH Proba[X<t] 2
1-00 exp(-A#) ى <1
Proba]X<m]> 5
On appelle médiane de X, tout nombre réel m vérifiant la condition suivante: 1
2:08] < زد < 5
Alors l'ensemble des médianes de X est
A) Ë انول الول D)[0;1] هق Autre Réponse
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du concours d'accès à la grande école du Groupe ISCAE, année 2014. Durée : 3 heures, sans document ni calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes (probabilités, algèbre linéaire, analyse), une seule réponse par question ; barème : +2 si juste, −1 si faux, 0 sans réponse. Voici une correction proposée.
💡 Sur la copie numérisée, certaines lettres sont entourées à la main (questions 11, 16 et 19) : ce sont des marques d'un ancien candidat, pas un corrigé — celle de la question 19 est d'ailleurs fausse.
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | C | D | C | C | B | C | E | C | B | D |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Réponse | A | C | C | E | B | B | E | C | E | E |
Question 1 — Réponse C
∫0+∞ e−x²/2 dx = √(2π)/2, donc c = √(2/π) (loi « demi-normale »).
E(X) = c∫0+∞ x e−x²/2 dx = c = √(2/π). E(X²) = c∫0+∞ x² e−x²/2 dx = c × √(2π)/2 = 1 (par parties). V(X) = 1 − 2/π.
Question 2 — Réponse D
Il faut pn ≥ 0 (vrai) et Σn≥1 pn = 1. Avec k = n − 1 : Σ (1 + αk)/(4k!) = (e + eα)/4 = 1, soit eα = 4 − e, α = ln(4 − e) (non nul car 4 − e ≠ 1).
Question 3 — Réponse C
∂f/∂x = ex(y²+1)[1 + x(y² + 1)] ; ∂f/∂y = 2x²y ex(y²+1). Le seul point critique est A(−1 ; 0) (x = 0 annulerait ∂f/∂y mais pas ∂f/∂x).
Pour y fixé, posons k = y² + 1 ≥ 1 : x ↦ x ekx atteint son minimum −1/(ek) en x = −1/k. Ce minimum est le plus petit pour k = 1 : f(x, y) ≥ −1/e = f(−1 ; 0) pour tout (x, y). C'est un minimum global (donc aussi local, mais C est la réponse la plus précise).
Question 4 — Réponse C
φ(M) = M + tM est symétrique, et toute matrice symétrique S vérifie S = φ(S/2). Im φ est donc l'espace des matrices symétriques d'ordre 2, de dimension 3 (base E11, E22, E12 + E21).
Question 5 — Réponse B
Avec u = (x − m)/σ : ∫0+∞ e−(x−m)²/(2σ²) dx = σ√(2π) Φ(m/σ), d'où c = 1/(σ√(2π)Φ(m/σ)).
E(X) − m = c∫0+∞ (x − m)e−(x−m)²/(2σ²) dx = c σ² e−m²/(2σ²). Donc E(X) = m + σ e−m²/(2σ²) / (Φ(m/σ)√(2π)).
Question 6 — Réponse C
X est positive, donc E(X) = ∫0+∞ (1 − F(x)) dx = ∫0+∞ e−x²/2 dx = √(2π)/2 = √(π/2).
Question 7 — Réponse E (4e)
n² + n + 1 = n(n − 1) + 2n + 1. Σn≥0 n(n − 1)/n! = e, Σ 2n/n! = 2e, Σ 1/n! = e. La somme vaut 4e (ou 4e − 1 si la série commence à n = 1) : aucune des réponses A à D.
Question 8 — Réponse C
e−1/x = 1 − 1/x + 1/(2x²) + o(1/x²). Alors (x + 1)e−1/x = x − 1 + 1/(2x) + 1 − 1/x + o(1/x) = x − 1/(2x) + o(1/x). Donc f(x) − x ~ −1/(2x).
Question 9 — Réponse B
Formule des probabilités totales : an+1 = (3/4)bn ; bn+1 = (3/4)an + cn ; cn+1 = (1/4)an + (1/4)bn. D'où Xn+1 = D Xn avec D = ( 0 3/4 0 ; 3/4 0 1 ; 1/4 1/4 0 ), et Xn = DnX0.
Question 10 — Réponse D
La relation (un+2 = un+1 + un, l'indice est mal imprimé) est celle de Fibonacci. Équation caractéristique r² = r + 1, racines φ = (1 + √5)/2 et φ' = (1 − √5)/2 avec |φ'| < 1 : un = (φn − φ'n)/√5 et vn → (1 + √5)/2.
Question 11 — Réponse A
ln(n + 1) − ln n = ln(1 + 1/n) ~ 1/n, donc le numérateur est équivalent à n et le dénominateur à n : un → 1.
Question 12 — Réponse C
A est symétrique ; ses valeurs propres sont 1 (vecteurs (0,1,0) et (1,0,1)) et 3 (vecteur (1,0,−1)) : 1 est double, 3 simple. Dans une base de vecteurs propres, T commute avec A si et seulement si T laisse stables les sous-espaces propres : T est diagonale par blocs (2 × 2 et 1 × 1). dim E = 2² + 1² = 5.
Question 13 — Réponse C
−x² + 4x − 2 = 2 − (x − 2)². Avec u = x − 2 puis u = v/√2 :
I = e²∫−√20 e−u² du = (e²/√2)∫−20 e−v²/2 dv = (e²/√2)√(2π)(Φ(0) − Φ(−2)) = e²√π(Φ(2) − 1/2).
Question 14 — Réponse E
E(Xi) = 4/3, E(Xi²) = 7/3, V(Xi) = 5/9.
- V(S) = 2 × 5/9 = 10/9.
- E(P) = 16/9, E(P²) = (7/3)² = 49/9, V(P) = 49/9 − 256/81 = 185/81.
- Cov(S, P) = E(X1²X2) + E(X1X2²) − E(S)E(P) = 2 × (7/3)(4/3) − (8/3)(16/9) = 56/9 − 128/27 = 40/27.
ρ = (40/27)/√((10/9)(185/81)) = 4√74/37 ≈ 0,93 : aucune des valeurs proposées.
Question 15 — Réponse B
k/(4k² − 1) = (1/4)[1/(2k − 1) + 1/(2k + 1)]. Avec les séries alternées connues Σk≥1(−1)k+1/(2k − 1) = π/4 et Σk≥1(−1)k+1/(2k + 1) = 1 − π/4 :
lim Sn = (1/4)(π/4 + 1 − π/4) = 1/4.
Question 16 — Réponse B
Polynôme caractéristique : (5 − λ)[(−4 − λ)(5 − λ) + 18] = (5 − λ)(λ² − λ − 2) = (5 − λ)(λ − 2)(λ + 1). Trois valeurs propres distinctes −1, 2, 5 : A est diagonalisable et An = (−1)nM1 + 2nM2 + 5nM3.
On vérifie la proposition B sur n = 1 : elle redonne A = ( −4 −6 0 ; 3 5 0 ; 3 6 5 ) ; et sur n = 2 : ( −2 −6 0 ; 3 7 0 ; 21 42 25 ) = A². Les autres propositions échouent dès n = 1 (par exemple A donne −2 au lieu de −4 en haut à gauche).
Question 17 — Réponse E
Soit pk la probabilité de lancer A au k-ième lancer. On relance A après un pile de A, ou on passe à A après un face de B : pk+1 = a pk + (1 − b)(1 − pk). Suite arithmético-géométrique de raison a + b − 1, avec |a + b − 1| < 1 : elle converge vers le point fixe ℓ = (1 − b)/(2 − a − b), qui ne figure pas parmi A à D.
Question 18 — Réponse C
Par récurrence, ApB − BAp = pAp (Ap+1B − BAp+1 = A(ApB − BAp) + (AB − BA)Ap = pAp+1 + Ap+1). En prenant la trace : p·tr(Ap) = tr(ApB) − tr(BAp) = 0, donc tr(Ap) = 0.
Question 19 — Réponse E
dim Ker f = 1 ⇔ rang A = 2 ⇔ det A = 0 et A ≠ 0 de rang 2. Le calcul donne det A = −λ(λ − 2)(λ + 2), et pour λ ∈ {−2 ; 0 ; 2} la matrice est de rang 2. Les valeurs cherchées sont λ ∈ {−2 ; 0 ; 2} : aucune des propositions.
Question 20 — Réponse E ([0 ; 1])
- P(X ≤ m) ≥ 1/2 ⇔ F(m) ≥ 1/2. Pour t < 0, F(t) = βeαt < β < 1/2 ; pour t ≥ 0, F(t) ≥ 1/2. Donc m ≥ 0.
- P(X ≥ m) = 1 − F(m−) ≥ 1/2 ⇔ F(m−) ≤ 1/2. Pour m ≤ 1, F(m−) ≤ 1/2 (F(1−) = 1/2). Pour m > 1, F(m−) ≥ F(1) = 1 − δe−λ > 1/2, car λ > ln(2δ) donne δe−λ < 1/2.
L'ensemble des médianes est [0 ; 1], intervalle fermé qui ne correspond à aucune des propositions B, C, D.
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