Modèle de concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE 2014 — Mathématiques I

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ْ ISCAE 4. CONCOURS D’ACCES A LA GRANDE ECOLE
نالواملا ‏لتبارة و إنارة‎ el ‏اليد‎
‏ا له لان ا‎ ANNEE 4
MATHEMATIQUES 1
DUREE :3 heures |
1.11 n’est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite.
2. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
3. Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints.
4. Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée en
. complément du sujet. :
$, JÏlne sera admis qu'une seule réponse par question.
6. . Le barème suivant sera adopté:
__ Réponse correcte: #2
Réponse fausse: 1
Pas de réponse: 0
| 117 a 20 questions totalement indépendantes,
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Question 1: Pour tout réel y supérieur ou égal à 1 et pour tout entier # supérieur ou égal à 2, on pose :
‏)و1 ا‎
FO) = [ar
La limite de Æ(y) quand y tend vers +c est égale à:
1 2 n2
À) ‏تنما‎ -1( : BB) 5 © = : D) ‏كص‎ ; E) Aïterésonse
( In(r° —1) ) m1 ) PET ) ) Ip ) 0
Question 2: Pour 72 6 ‏ملا[‎ on désigne par S la somme des (n + 1) premiers nombres entiers naturels
impairs. Pour tout #, S =
A)r B)(# +1) Cy(n+2) ‏م‎ D)2 E) Autre réponse
Question 3: Soit X une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie par:
| ff (x)=0 si x<0
J G)=xe ? si x>0
On pose F = ٍِ x |
L’espérance de la variable aléatoire ‏لا‎ est égale à
e? e—1 2
A) — ; B)— ; C)1 ; D) — ; E) Autre réponse
2 2 | 3
Question 4: Une une contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et avec
remise n de ces boules dans l’une, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux évènements suivants :
À : « On obtient des boules des deux couleurs » :
B : « On obtient au plus une boule blanche »
Les évènements À et B sont indépendants si et seulement si :
A) 27 en BB) 2# - ‏[+و‎ C) 27-1 = n+] D) 2# = n E) Autre réponse
1 2 4
Question 5: Soitla matrice A=|1 3 9 |etsoit A la matriceinverse de A.
‏ل‎ + 16 0
| Le deuxième vecteur-colonne de Ja matrice inverèe A’! est noté C:. On a alors :
ps 41 8 f 3 0
4( ‏ك و‎ | 6 | DC;=| 6 ‏م | = ونا(‎ D) C, = | _ : E) Autre réponse
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Questivn 6: Soient 2 dés A et B à 6 faces équiprobables. Le dé À à pour faces 2: 6:2:6:2:2 ctle 8
32 ‏تناو‎ 1866515: 1:55:15
Deux joueurs 11 et J2 s’affrontent et lancent chacun un dé. Le gagnant est celui dont le dé montre Ja face
qui comporte le chiffre le plus grand.
5111 joue avec le dé À, et J2 avec le dé B, alors 11 a une probabilité de gagner égale à :
A) L . B) À y 01] ‏د‎ D) 2 à E) Autre réponse
3 > 2 : > 3 2 P
Question 7: Soit / la fonction réelle polynomiale définie par FCx) = 6x" +5x° --383« +5x+6.0On
nofe x\(respectivement x) la plus petite (respectivement plus grande) solution réelle de l'équation
f(x) =0 , dors x +x =
A) -3 B) -2 00-1 D) 0 E) Autre réponse
Indication: On pourra songer à effectuer le changement de variable 7 = X + — et on pourra utiliser le calcul
suivant: 35° -- 5
Question 8: On pose pour tout 216777 : 5, = Fa ‏هد كنا‎
‏0حط‎ : ,
ins =
2 2.1
A) ‏7م58‎ ; B) J 5 € 3 D) +o : E) Autre réponse
Question 9: Une urne U, contient 3 boules rouges et 5 vertes
Une ume ‏ونا‎ contient n boules rouges, 3 vertes et 2 blanches
On tire au hasard une boule de U1, puis on la jette dans U2. On tire ensuite au hasard deux boules de U2.
Si on tire deux boules rouges de U2, on gagne 50 dirhams Lomme
Si on tire deux boules vertes de U2, on gagne 20 dirhams |
Si on tire deux boules blanches de U2, on gagne 10 dirhams
Si on tire deux boules de couleurs différentes de U2, on perd 20 dirhams
Soit X la variable aléatoire « gain en dirhams à l’issue d’une telle épreuve »
L’espérance de X est
5(4n?-19n-12) 5(4n?-14n-12) 5(4n?-17n-12) S(3n?—-19n—12) ‏ا‎ |
À) 4(n+5)(n+6) B) 4(n+5)(n+6) 0 4(n+5)(n+6) D) 4(n+5)(n+6) E) Autre FERRER
Question 10: La durée de fonctionnement moyenne d’un téléviseur d’une référence donnée avant sa
première pänne est de 10 ans. On suppose que la variable aléatoire 1 définissant la durée de vie de ce
téléviseur (temps écoulé entre sa mise en service et sa première panne) a pour densité de probabilité la
fonction f définie sur IR par :
[1 ‏سوس‎
‎| ge 0 sé ‏0<ع‎
‎Ju) - + 0
| 0 sin on
La probabilité que le téléviseur n'ait pas de panne pendant 12 ans, sachant qu’il n°en a pas pendant 4 ans est:
A) ِ : 8( : : ©( ٍ : D) 0 ; E) Autre réponse
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Question 11: Pour tout enficr naturel n, on note:
I=fe"(-xd et J,=fxe*(-x)d
Pour tout n de N. on a:
I 1 1
AE ‏-1)---جح‎ 2 ( B) ‏ل‎ =——(2-3J.) GC} &, em )3 4 (
" n+1 n+l _ n+i |
/0( 7 ‏د4-5 )اسح‎ 5 E) Autre réponse
7241
Question 12: Soit f la fonction réelle ‏عل‎ la variable réelle x définie sur D) — ] 0; 1 ‏رأ‎ ÎL +0o| par
7 dE Le.
FA = Il [re . Alors f est dérivable sur D, et pour tout x € 2) sa dérivée f”(x) est:
-Inf
x x—1 x° — 1 x
A) ‏مب‎ = Es = E) Autre réponse
In x In x In x In x
Question 13: Une entreprise produit des objets sur deux chaînes de montage C1 et C> qui fonctionnent
indépendamment l'une de l'autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.
La chaîne ‏إن‎ produit 60 % des objets et la chaîne ‏ون‎ produit 40 % des objets. La probabilité qu'un objet
construit par la chaîne C; soit défectueux est 0,1 alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la
chaîne ‏ون‎ soit défectueux est 0,2. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que
cet objet est défectueux. La probabilité de l'événement " l'objet provient de la chaîne 0: " est égale à:
2 1 se 3
A) 3 B) a 0 17 D) 8 E) Autre réponse
Question 14: Des enfants s'entrainent à réussir des paniers de basket. Pour chacun d'eux, indépendamment
les uns des autres et des essais successifs, la probabilité de réussite d'un panier est p ( PE 10; i[ )
Harmza est l'un de ces enfants; soit W le nombre d'essais que va faire Harnza.
La condition nécessaire et suffisante pour que la probabilité qu'il réussisse au moins un panier soit
supérieure où égale à l-a( ‏ك6 أن‎ 10; ] [ h ést
… Hi .. N(-a na 1111 =
AN>— BN> AC) ONE——— D N> ‏انا‎ - 2 E) Autre Réponse
In p In p In(1-— p) In &
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Question 15: La nuit dans la savane, un lion se rend à la rivière pour boire et y reste un quart d'heure. Après
de 2ombreuses observations, on estime que l'instant T d'arrivée du lion se situe entre 0 heure ct 2 heures.
On admet que T, exprimée en heures, est une variable aléatoire dont une densité de probabilité est la
fonction f définie par:
0 si 14[0;2]
FC) = | où ‏ع‎ est une constante (éventuellement à calculer).
ct(2-#) si te[0;2]
Un observateur se présente à la rivière à (heure 30minutes et y reste un quart d'heure. La probabilité qu'il
aperçoive le lion est:
33 35 1 45
À == ‏نب نر 10 ووس ا‎ E) Autre réponse
128 128 4 125
Question 16: Soient feet g les fonctions numériques de la variable réeile définies sur R par :
1 ‏ببستت‎
‏بست وار‎ et ‏)01و‎ vx +1)
Pour tout réel à strictement positif, on note A( À ) l'aire ) exprimée en unité d'aire ) du domaine constitué
par l'ensemble des points M (x, y ) tels que :
2 > * > 237 ‏ىه‎ 0 > 7 SG
Après avoir calculé la dérivée g'(x), on déduit que la limite de 4) À ) lorsque À tend vers + ‏مه‎ est égale à:
1 In 3 ,
A) 3 B) 2 0 2 D) D. E) Autre réponse
Question 17: Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1 ] .
On pose Y = X°
On considère le réel ae[ 0,1] tel que P(Y<a) =P(F+a).
a est égal à:
V2 1 1 1
A) = : B) - : * €) 5 D) 5 : E) Auire réponse
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Question 18: On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées À, B
‎À l'instant O, la puce est en À
Pour tout entier naturel n :
- 51 à l'instant n la puce est en À, alors à l’instant (n+1), elle est soit en B avec une probabilité égale à - ‘
soit en C avec une probabilité égale à 0
- Si à l'instant n La puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est soit en C soit en À de façon équiprobable.
- Si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note A, (respectivement B,, C,) l'évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en
On note à, (respectivement b,, c,) la probabilité de l’évènement A,, (respectivement ‏يوق‎ C;).
Alors lim, Cn =
A)0 B)1 2 D} % E) Autre réponse
| 0 1 3
Question 19: On considère la matrice carrée d'ordre3: ‏احم‎ 0 1 3
| 0 0 4
Soit X e Ma1( 12( un vecteur-colonne de R°.
On définit la matrice P avec 165 propriétés suivantes:
- Les termes diagonaux de P sont tous épaux à 1.
- La première colonne de P est une solution non nulle de AX=0
- La deuxième colonne de P est une solution non nulle de AX -X
- La troisième colonne de P est une solution non nulle de AX = 4X
On vérifie que P est inversible. La matrice inverse P'! est alors égale à:
=) -1 07 f1 1 0) 1 ‏ل 0 1م‎ fi -1 0
À) | 0 1 -1 | B) | QG 1 = | 000 1 21) © | 0 1 -1
[0 0 1, 0 0 1 ‏مي‎ 0 1 ] à 0 =i)
E) Autre réponse
Question 20: On désigne par À un réel strictement positif et on considère la fonction f, définie sur IR, par :
VEXR, fx) =Axle ‏تحن‎
‎La fonction f peut être considérée comme densité d’une variable aléatoire X si À est égal à :
À) 1 B) C) in 2 D) %# E) Autre réponse
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