Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2019 — filière ECT — Mathématiques

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Épreuve de Mathématiques - Session 2019 — Filière ECT Concours National (CNAEM)
‏للا‎ OX XX X x
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à
la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce
qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Remarques générales:
L'épreuve se compose de quatre exercices indépendants.
EXERCICE 1
—1 0 0 1 0 0 1 0 0
On considère les matrices suivantes : À — —+ L 0 ‏د ا‎ 1 À 0 ‏ب ().ا‎ 1 )0 |,
—2 —1 2 1 1 1 0 -1 1
—1 0 0 1 0 0 0 0 0
D = 0 1 0 73 0 1 0 ١07 | 0 0 0 |.
0 0 2 0 0 1 0 0 0
Partie 1
Puissances de la matrice À
1. a) Vérifier que PQ = 1.
b) En déduire que P est une matrice inversible et calculer 1-1 sa matrice inverse.
c) Vérifier que AP = PD.
d) En déduire que À est une matrice diagonalisable.
1 0 0
2. Soient les vecteurs suivants u — 1 1 ‏ال‎ 1 et w = 0 ٠
1 1 1
Montrer que u, v et w sont des vecteurs propres de la matrice À dont on précisera pour chacun sa valeur
propre correspondante.
3. a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, A" = PD"PTY.
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, D" en fonction de n.
c) En déduire pour tout entier naturel n, l'expression de A” en fonction de n, sous forme d’un tableau.
4. On pose pour tout entier naturel n, ‏ونا‎ = bn |-avec (as)n>0; (bn)n>0 ‏آ©‎ (Cn}n>0 Sont des suites réelles.
On définit la suite ‏وحوملمنا)‎ de la façon suivante, pour tout entier naturel n, U,11 = AU, et Uo = 1 :
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, U, — ‏.وناك‎
‎b) Déterminer, pour tout entier naturel n, a, , b, et ‏بت‎ en fonction de n. (On utilisera l’expression de
A" obtenue dans la Partie 1, question 3. c)).
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c) En utilisant le fait que, pour tout entier naturel n, ‏يبنا‎ — AU, et Uo = 1 , recopier et
compléter le programme Scilab suivant afin qu'il affiche ‏بمنا‎ l’entier n étant donné par l'utilisateur.
end
Partie 2
Résolution de l’équation M° = A
On propose dans cette partie de résoudre l'équation suivante (E) : M — À, d’inconnue M, matrice carrée
d’ordre trois à coefficients réels.
Soit M une matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels quelconque, on pose N = P-1MP.
1. Montrer que M = À si, et seulement si, N° = D.
2. Montrer que, si N° = D alors ND = DN.
3. En déduire que, si N° = D, alors N est une matrice diagonale.
4. Déterminer la matrice diagonale N telle que N° = D.
5. En déduire la solution de l’équation matricielle ) ٠
EXERCICE 2
: : se à 1 ‏ا‎ 0 sit > 1
Soit f la fonction définie sur R à valeurs réelles telle que, f (t) — A SA ”
1. a) Calculer, pour tout réel x supérieur ou égal à 1, ‏زا‎ er DE
b) En déduire la valeur de Ke ‏لامع‎
‎2. Montrer que f est une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on note X la variable aléatoire admettant f comme densité.
| : _ 0 8177-1
3. Montrer que la fonction de répartition Fx de X est donnée par : Fx(x) — v— | 1
le ED ‏د سرامم‎ 1
4. Déterminer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X.(On pourra utiliser une integration par parties)
5. a) Montrer que E(X?) ‏ح‎ 1 + 2E(X), avec E(X?) l'espérance de la variable aléatoire X?.
b) En déduire la variance V(X) de la variable aléatoire X.
6. On note Ÿ la variable aléatoire définie par : Y = X — 1.
a) Déterminer l’espérance E(Y ) de la variable aléatoire ‏ال‎
‎b) Déterminer la variance V (Y) de la variable aléatoire Y.
c) Déterminer la fonction de répartition Fy de la variable aléatoire ‏لآ‎
‎7. On considère, pour tout entier naturel non nul n, la fonction définie sur R à valeurs réelles telle que,
0 sit < À
fn (t) { ‏الماع‎ sit > J
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, f, est une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on note pour tout entier naturel non nul n, X,, la variable aléatoire admettant
În comme densité, et pour tout entier naturel non nul n, on note ‏وا‎ la variable aléatoire définie par
Fr = sa 7 1 ٠
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b) i) Déterminer la fonction de répartition Fx, de X,.
ii) En déduire la fonction de répartition F%,, de Y,.
c) Déterminer pour tout entier naturel non nul n, l'espérance E(X,) de X,.
d) En déduire pour tout entier naturel non nul n, l'espérance E(Y,) de Y,.
e) Déterminer pour tout entier naturel non nul ‏بد‎ 12 > An 2 ) :
f) Écrire un programme en Scilab qui détermine et affiche le plus petit entier naturel non nul n, tel que
‏مذ قاط‎ Aus à) SI,
EXERCICE 3
On dispose d’un dé cubique classique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et d’une pièce de monnaie
truquée telle que la probabilité d’avoir Face est égale deux fois la probabilité d’avoir Pile. On lance le dé une
seule fois et on observe son résultat.
Si le résultat du dé est 1, on lance la pièce une seule fois, sinon, on lance la pièce deux fois indépendamment.
On note X la variable aléatoire égale au résultat du dé. On note ‏لآ‎ la variable aléatoire égale au nombre de
Faces apparues.
1. a) Justifier que X suit une loi uniforme que l’on précisera.
b) Déterminer l’espérance E(X) et la variance V(X) de X.
2. a) Montrer que P{x=1,(Y = 0) = À.
b) Montrer que pour k € {2,3,4,5,6}, P(x=x)(Y = 0) — à .
c) En déduire la valeur de P(Y = 0).
€ / _ ‏ل‎ _ 10
3. Montrer que P(Y = 2) ‏ح‎ -;.
4. Déterminer la valeur de P(Y ‏ح‎ 1٠
5. Déterminer l’espérance E(Y) et la variance V (Y) de ‏الآ‎
‎6. a) Donner, sous la forme d’un tableau à double entrée, la loi du couple (X, Y).
b) Est ce que les deux variables X et Y sont indépendantes? justifier votre réponse.
c) Calculer la covariance Cov(X, Y) de X et Y.
d) Déterminer le coefficient de corrélation p(X, Y ) entre les deux variables aléatoires X et Y.
EXERCICE 4
Une entreprise produit en grande quantité des crayons. Lors de la fabrication, le responsable de l’entreprise
considère que certains crayons ne sont pas commercialisables car ils présentent des défauts. Cette entreprise
dispose de deux machines de fabrications :
La machine 71 , lente, pour laquelle la probabilité qu’un crayon soit commercialisable est égale à 0,99.
La machine M, rapide, pour laquelle la probabilité qu’un crayon soit commercialisable est égale à 0,96.
À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard un crayon et on note les événements suivants :
C : "le crayon est commercialisable".
On note a la probabilité qu’un crayon provienne de M, et on note P(C') la probabilité de l'événement C!.
1. Montrer que P(C) = 0,03a + 0,96.
2. À la fin de la production, on constate que 97% des crayons sont commercialisables.
Prouver que la probabilité pour que le crayon provienne de la machine 2 est égale à deux fois la probabilité
pour que le crayon provienne de la machine M.
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3. On prélève, successivement, indépendamment et avec remise, dix crayons qui sont dans le stock de
l’entreprise pour être commercialisés. Dans cette question, on prend P(C) = 0,97. On appelle X la
variable aléatoire associée aux nombre de crayons commercialisables dans ce prélèvement. On donne
0,97° = 0,760.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
b) Déterminer la probabilité pour qu'il y ait, dans ce prélèvement, que des crayons commercialisables.
c) Déterminer la probabilité pour qu’il y ait, dans ce prélèvement, au plus un crayon non commercial-
isables.
d) Écrire un programme Scilab, en utilisant la fonction grand, qui simule la variable aléatoire X et qui
renvoie une matrice à une ligne et n colonnes, n étant entré par l'utilisateur.
4. Le responsable de l’entreprise décide d’augmenter le nombre des crayons commercialisables pour qu’il
atteigne 0,99 en achetant une nouvelle machine M3. On note b la probabilité qu’un crayon provienne de
la machine M3, b est un nombre réel tel que 0 > b > 1.
a) Déterminer, Pu,(C) la probabilité qu’un crayon soit commercialisable sachant qu’il provient de M3,
en fonction de a et b.
b) Montrer que Pu,(C) > 0,999 si, et seulement si, 0 > a + . b< 1.
c) On suppose dans cette question que Pw,(C) = 0,999. On note Y la variable aléatoire qui est égale
au nombre des tirages nécessaires, seulement parmi les crayons provenant de M3, pour obtenir le
premier crayon non commercialisable. On suppose que tous les tirages sont indépendants.
i) Vérifier que ‏لآ‎ suit la loi géométrique de paramètre ‏م‎ à préciser.
ii) Déterminer pour tout entier naturel non nul k, P(Y =k).
ii) Déterminer l'espérance E(Y) et la variance V(Y) de la variable aléatoire ‏لآ‎
iv) Écrire un programme Scilab, en utilisant la fonction grand, qui simule la variable aléatoire Y et
qui renvoie une matrice à m lignes et une colonne, m étant entré par l’utilisateur.
FIN DE L'ÉPREUVE
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