Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2019 — filière ECS — Mathématiques et informatique

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UE OS A AL ‏اذ‎ oo
PRESIDENCE DU CNAEM 2019 1
CONCOURS NATIONAL 07862655 AUX ECOLES DE MANAGEMENT
CNAEM
| EDITIG ES 2019
MATIERE: MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
FILIERE : ECS
Durée : 4h
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
Note à lire par le candidat :
L'usage de la calculatrice est interdit.
Page de garde
RE EEE SEE EL SISTER EP EEE KIT EDP ‏بوبددوودد د دبرردورممم‎
ENCG- Marrakech Av.Allal El Fassi, B.P, 3748, Amerchich, Marrakech,
Tèl: 0524.30.46.92, Fax : 0524.30.83.97,
Www.encg.ucam.ac.ma ,
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Épreuve de Mathématiques — Session 2019 x Filière ECS Concours National (CNAEM),
Durée : 4 heures
‏الا له‎ + x +
Les candidats. sont informés.çue la précision des raisonnements ainsi: que le soin apfurté à la rédaction et à
la Préseniation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce
.: À ‏ا‎ © P
qui peut lui sembler être une erreur d ’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Remarques générales:
L'épreuve se compose de trois problèmes indépendants.
* 7 ‏لا‎ + x
Problème 1
4 0 0 8 -1 0 1 0 0
On considère les matrices suivantes À — 8 3 0 ],Q=| 3 0 0 |ez={| 0 1 0 |.
-2 7 6 25 7 3 0 0 1
On note 8 = (e1,e2,e3) la base canonique de R$. Soit f l’endomorphisme de ‏قي‎ dont À est la matrice
relativement à la base 8. On rappelle que M3(R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients
réels et M3,1(R) est l'ensemble des matrices à à lignes ct une seule colonne, à coefficients réels.
Partie 1
Calcu; des puissances de À
ei = —3e2 + 3
1. Posons ‏أل‎ = (ei,e,,es) la famille de vecteurs de Æ définie par eh = e1 + 8e2 — 27ez
es > es
a) Vérifier que ‏رز‎ e, et e sont des vecteurs propres de f associés respectivement à À = 3, 2 - 4
. À3=6.
b) Montrer que 8’ est une base de R$.
c) En déduire que l'endomorphisme f est diagonalisable.
d) Déterminer la matrice P de passage de la base ‏م‎ à la base ‏أ‎
‎e) Montrer qu'il existe une matrice diagonale notée D à préciser telle que A = PDP”1,
2. Déterminer pour tout entier naturel n, 4” en fonction de P, D et n, justifier votre réponse.
3. Vérifier que PQ = 31 et en déduire P-! l'inverse de la matrice P.
4. En déduire pour tout entier naturel n, l'expression de A” sous la forme d’un tableau.
5. Dans cette question, on considère dans M3(R), l'équation matricielle d'inconnue N,
(E) N?=D.
a) Montrer qu’une matrice carrée N d'ordre 3 à coefhcients réels, commute avec D si, et seulement si,
N est une matrice diagonale. :
b) Montrer que si ‏لال‎ est une matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels telle que N°? = D, alors JV et
D commutent.
c) En déduire la solution de l'équation (E) dont toutes les valeurs propres sont positives.
d) En déduire Ja solution dans M3(R) de l'équation matricielle M? = À, d'inconnue M, dont toutes les
valeurs prôpres sont positives.
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= A te ‏ب‎ .ً = | * ٠
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Épreuve de Mathématiques — Session 2019 — Filière ECS Concours National ( CNAEM)
Partie 2
Application en probabilité
Un mobile se déplace à chaque unité de temps sur les quatre somnibif d'u carré, immérotés 1, 2, 3et4. Au .
. départ ( à l'instant n = 0), le mobile se troûve' sur ‏غ1‎ sommef-1, äprès le mobile se déplâce de la façon suivante :
i) Si à l'instant n (n > O), le mobile se trouve sur le sommet 1, il sera à l'instant n + 1 sur le sommet 1 avec
la probabilité j et sur le sommet 2 avec la probabilité 2.
ü) Si à l'instant n (n > 1), le mobile se trouve sur le sommet 2, il sera à l'instant n + 1 sur le sommet 2 avec
la probabilité 4 et sur le sommet 3 avec la probabilité 3.
ii} Si à l'instant n (n > 1), le mobile se trouve sur le sommet 3, il sera à l’instant n + 1 sur le sommet 3 avec
la probabilité ? et sur le sommet 4 avec la probabilité 3 ‘:
iv) Si à l'instant n (n > 1), le mobile se trouve sur le sommet 4, il sera à l'instant n + 1 sur le sommet 3 avec
la probabilité ‏ل‎ et sur le sommet 4 avec la probabilité 5.
Pour tout entier naturel n, on note X, la variable aléatoire égale au numéro du sommet occupé par le mobile
à l’instant n. Nous rappelons que P([Xo = 1]) = 1.
1. a) Déterminer la loi de X1.
b) Calculer l'espérance E(X1) et la variance V(X:) de X1.
2. a) Montrer, en utilisant la formule des probabilités totales, que pour tout entier naturel n,
P([Xn4 = 1]) = 3P([Xn = 1).
b) Montrer, en utilisant la formule des probabilités totales, que pour tout entier naturel n,
P([Xn4 = 2( = P(IXn = 1]) + 3 P(IXn = 2)).
c) Exprimer de même, pour tout entier naturel ‏بد‎ P([Xh41 = 3]), P([Xn41 = 4]) en fonction de
P(IXn =1]), P([Xn = 2]), P([Xn = 3(( et P([Xn = 4).
d) Justifier que pour tout entier naturel ‏بد‎ P{[X, = 1])+P([Xn = 2(( + P([Xn = 3])+P([Xa = 4]) = 1.
0 P(IXn = 1])
3. On pose B = SA etC=2| 0 | et en sote pour tout entier naturel n, U, = | P([X; =2]) |.
1 P([Xn = 3((
a) Montrer que pour tout entier naturel n, ‏يبون‎ = BUn + ©.
b) Recopier et compléter le programme Scilab suivant afin qu'il affiche ‏يونا‎ l'entier ‏د‎ étant donné par
l'utilisateur.
D=iNput (esse)
1 ‏معو ع ا‎ Le
end
0187 )....................(
c) Déterminer la matrice colonne L de Ms, (R) telle que L = BL + ©.
d) Montrer que pour tout entier naturel n, ‏ربولا‎ — L = B(U, - L).
e) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, U, — L = B"(Us — L).
4. Déterminer pour tout entier naturel ‏يه‎ P([XA = 1]), P([Xn = 2]), P([Xh = 3]) en fonction de n.
5. En déduire lim P([Xa = 4)).
n—++00
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0ه 0 ) لمدما فاط دوه - - ‎Session 2019 — Filière EË&—‏ ط ‎de Mathématiqhés‏ لحر
‎Problème 2‏
‎LD‏ زور ‎fige Le te‏ دج ‎en a . he‏
‎a. LS 0:‏ ,237 1 .4 كله 4)/ ‎f la fonction réelle définie sur R x.R,,par‏ زوق مه
‎d Partie 1‏
‎Etude d’une densité‏
‎sit<0‏ 0
‎On pose, pour tout réel و)0 = f(t,1) = 1 Se‏
‎t>0‏ و7 ‎G‏
‎a) Justifier que l'intégrale [ = pe g(t)dt converge. ١‏ .1
يب = ‎b) Montrer que 1 = 1, on pourra utiliser le changement de variable u‏
‎c) Justifier que la fonction g est une densité de probabilité.‏ |
‎Dans toute la suite, X désigne la variable aléatoire admettant g pour densité. |‏
‎que la fonction de répartition de X est la fonction‏ ,اي = ‎Montrer, en utilisant le changement de variable u‏ .2
‎à 0 sir <0‏
‎tée F = ER :‏
‎notée Fx définie sur R par Fx(x) { 2 ent ie 0‏
‎Déterminer l'unique valeur m, appelée la médiane de X, telle que P(X > m) = P(X > m).‏ .3
‎Écrire un programme en Scilab qui détermine et affiche le plus petit entier naturel n tel que,‏ .4
‎Fx(n) < 1-10.‏
‎Partie 2‏
‎Etude d'une fonction définie par une intégrale‏
‎définie sur [0,2] par w(x) = +5 ++#1-#‏ مص ‎Soit + e]1,+co[ et soit la fonction‏ .1
‎est définie sur [0,2] par‏ آم ‎a) Vérifier que 4 est dérivable sur [0,31 ot que sa dérivée notée‏
11-5— ّم ‎1e = Intt)‏
.) أ = ‎Po)‏
‎b) En déduire les variations de 4.‏
‎Montrer que l'intégrale (Fe f(t,z)dt converge si, et seulement si, x €]0, 2[.‏ .2
‎Dans toute cette partie, on étudie la fonction À définis sur [0,2] par A(x) - 0 f(t,z)dt et on désigne‏
‎la courbe représentative de À dans un repère orthonormé (O, 7 0 du plan.‏ (م0) ‎par‏
‎a) Montrer que pour tout réel x dans [0, 2], 1)2-2( = h(x), vous pouvez faire le changement de variable‏ .3
‎b) Montrer que pour tout réel x dans [0,2] et pour tout réel y, les deux points M{z,y) et M'(2-7,y)‏
‎sont symétriques par rapport à la droite d’équation x = 1.‏
‎c) Justifier que la droite d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative (Cr).‏
‎ai +00 dt‏ 1م .ا اا
‎a) Montrer que pour tout réel x dans ]0,1], A(x) — f; 7 =f HG f A DIT‏ .4
‎__dt 1 dt‏ 1
‎À Re. ’‏ الا ‎b) Montrer que pour tout réel x dans ]0,1], 0 > f, He‏
‎er .‏ < لهي > 0 ,]0+ ,1] ‎c) i) Montrer que pour tout réel x dans ]0, 1] et pour tout réel # dans‏
‎dt +0 4‏ 00+ 1 11
: 0ك ‎ï) En déduire que pour tout réel x dans ]0,1], 0 > f; ns‏
‎d) Montrer que pour tout réel x dans ]0, 1], |h(x) - 2| > £. ١‏
‎e) En déduire que h(zx) est équivalent à È à droite de 0.‏
‎f) En déduire la limite de A(x) quand x tend vers 0 à droite.‏
‎Montrer que pour tout réel x dans [0,2], h(x) = pe HE ar, (vous pouvez effectuer le changement‏ .5
‎À De 42 1 dt‏ «
‎de variable u = + dans l'intégrale f, nr |‏
‎Page 3/4‏
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Fprouve de Mathématiques ‏لوقي‎ 2019 Filière EÇS, …_.. Guncours National {ONAEM).
6. En déduire les variations de À sur ]0, 21.
| | Problème 3.
Sûit à un nombre réel quelconque st soit, fa la fonction définie sur R.par
à 9 si t <a
‏زفاء/‎ = { e”tt-s) sit>a *
Partie 1
Etude de quelques variables aléatoires
1. Montrer que pour tout réel a, f, est une densité de probabilité.
Par la suite, on désigne par X, la variable aléatoire réelle de densité fa:
2. Déterminer l'espérance E(X3) et la variance V(Xa) de la variable aléatoire X,.
3. Déterminer la fonction de répartition Fx. de X,.
4. En déduire la valeur du réel m tel que P(X, < m) = P(X, > m). |
5. On pose pour tout réel a, la variable aléatoire Y, définie par =X, —-a ;
a) Déterminer la fonction de répartition Fy, de Y..
b) Déterminer l'espérance E(Y2) et la variance V(Y) de la variable aléatoire ‏ل‎
‎6. On considère n variables aléatoires Xi, X3,..., X!, mutuellement indépendantes et de même loi que ‏بو‎
‎(n est un entier supérieur ou égal à 2).
On pose S, = Xi 4... + ‏ئلا‎ et T, = min{X!,.…, 2):
a) Déterminer l'espérance E(S,) et la variance V(Sh) de la variable aléatoire 5...
b) Déterminer la fonction de répartition Er, de Tn.
c) En déduire une densité ‏وو‎ de la variable aléatoire Ta:
d) Déterminer l'espérance Z(T}) et la variance V(Ta) de la variable aléatoire Th.
7. Soit U une variable aléatoire uniforme sur [0,1]. On note, pour tout réel a, Za = exp(l -U)+a.
Écrire, en language Scilab, une fonction simulation , de paramètre m, net a, qui renvoie une matrice à m
lignes et n colonnes contenant m.n réalisations de Za; (on rappelle que la commande rand(m,n) renvoie
une matrice à m lignes et n colonnes dont les entrées sont les réalisations d’une loi uniforme sur [0,1].
Partie 2
Exemples d’estimations
On considère pour tout entier naturel non nul n, la variable aléatoire ‏من‎ — Sa —T,.
1. a) Déterminer le biais b(Tn) de T} en tant qu'estimateur de a.
b) Déterminer le risque quadratique T(Zn) de Ta en tant qu'estimateur de a, (on rappelle que le risque
quadratique r(7n) = (b(Tn))? + V(Ts)).
c) Montrer que (Th)h>1 est une suite d’estimateurs de a asymptotiquement sans biais et convergente.
2. a) Déterminer, pour tout entier naturel non nul n; E(Un) l'espérance de ‏م‎
‎b) Déterminer le biais b(U,) de U, en tant qu'estimateur ‏عل‎
‎c) Montrer que le risque quadratique r(U,) de U, est définie comme suit : r(U,) = ‏حب‎ ZCov(S,, D):
d) Montrer que Cov(S,,, T,) tend vers Q quand n tend vers +00, :
(on poura utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz : | Cov(Sn, Ta) | + /V(Sn) A) 1
e) En dédure que ‏ردولمنا)‎ est une suite d’estimateurs de a asymptotiquement sans biais et convergente.
FIN DE L'ÉPREUVE
*X ‏ا ل‎ x +
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