Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2017 — filière ECS — Mathématiques et informatique
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management) organisé par Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM) (2017), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM)
- Grade
- Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management)
- Spécialité
- Mathématiques et informatique
- Année
- 2017
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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CONCOURS NATIONAL D’ACCES AUX ECOLES DE
MANAGEMENT
CNAEM 2017
Filière : ECS
Epreuve de : Mathématiques et informatique
Date : Mercredi 17 Mai 2017
Heure : 8H à 12H
Durée : 4H
Notes à lire par le candidat
٠ Chaque candidat n’a droit qu’à un seul « cahier d’épreuve »,
e Le candidat doit écrire son nom de famille, prénom, centre et
numéro d’examen dans la partie réservée à ceci en haut de la
1ère page du cahier d’épreuve, avant de commencer à rédiger,
pour valider sa feuille de composition.
٠ L’usage de toute machine (calculatrice, traductrice, etc.) ou
dictionnaire est strictement interdit.
٠ Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
Poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
تنا
ENCG- Marrakech Av.Allal El Fassi, B.P, 3748, Amerchich, Marrakech.
Tèl : 0524.30.46.92, Fax : 0524,30.83.97, Email : encgfencg.ucam.ac.ma
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x Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECS
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECS,
comporte 5 pages.
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que lu qualité de la rédaction et de lu présentation. la clarté et la précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa Composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé de deux exercices et de deux problèmes indépendants entre eux.
1 Exercice 1
À propos de la loi exponentielle
Soit À une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de Paramètre À > 0; on rappelle que sa
ا tr de t sitr>0;
densité f est définie par : f(x) = { 0 850
1. Calculer son espérance E(X) et sa variance V(X). ١
2. Déterminer sa fonction de répartition notée F.
3. On considère la variable aléatoire Y = 1+ ,الها où [a] désigne la partie entière du réel a. Montrer
que Ÿ est presque sûrement à valeurs dans N°, c-a-d P{Y > 0) = 0, et que, pour tout k € À”,
PQ =E) = (1-e"4)e- 5-0, Reconnaître la loi de 1
Dans la suite de l'exercice, on considère deux variables aléatoires X1 et Xo indépendantes et
suivant la même loi que X avec À = 1
4. On considère la variable aléatoire Z = max(X1, A2).
4.1. Vérifier que, pour tout x € R, 12 »*( - )27 > (025 > x}.
4.2. Déterminer la fonction de répartition F> de la variable aléatoire Z ainsi qu'une densité de Z.
4.3, Calculer l'espérance E(Z) de la variable aléatoire Z.
5. On considère la variable aléatoire T = min(X1, X2).
5.1. Exprimer la variable aléatoire Z + T en fonction de Xi et Xo.
5.2. En déduire l'espérance E(T) de la variable aléatoire 7
Exercice 2
Etude d’une suite récurrente
Dans cet exercice, و désigne la fonction définie sur R Par :
VTER, g(r) = À (37° - 8x + 12) .
On considère la suite réelle (u,)nen définie par la donnée de up = À € R et la relation de récurrence
رجملا = J(un), RE N.
1: Montrer que si la suite (un )ner converge alors sa limite est égale à 2.
2. On suppose que À > 2. Montrer que la suite (un)nent est strictement croissante et qu'elle diverge
VETS +00.
3. Montrer qu'il existe deux réels A et À, avec À > D, tels que U1 = 2 si, et seulement si,
2 0 ls A2 } .
4. On suppose que À €]A1, Aof. Montrer que la suite (un )nen converge et préciser sa limite.
Épreuve de Mathématiques et informatique 175 Tournez la page S.V.F. |
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_foncours National d'Accès aux Ecoles de Management — Session 2017 209 |
5. On suppose que À > À. Montrer que la suite (us)1en diverge vers +5c.
6. Un premier calcul avec Scilab
On prend ici À = 1. Recopier et compléter le programme Scilab ci-dessous pour qu’il calcule et
affiche le terme u, pour une valeur de n entrée au clavier.
n=input(’entrer la valeur de n’)
سيا ...
for k=i:n
end
disp(u)
7. Un deuxième calcul avec Scilab
On prend À = 1 et on saisie le code suivant :
while u<=1,9999
u= (3+u+u-8+u+12)/4
n=n+i
end
disp(n)
Après exécution, quelle est la signification du résultat affiché par ce programme ?
Problème 1
Étude d’une fonction définie par une intégrale
1ère Partie
Définition et étude préliminaire
1.1. Soit x un réel strictement positif. Si ع 1, vérifier que le segment d'extrémités x et x? est contenu
| dans l'intervalle ]0, 1] ou bien dans l'intervalle ]1, +oo.
1.2. Justifier que la fonction برع Î FE dé , où In désigne le logarithme népérien, est bien définie
sur l'ensemble ]0,1{UJ1, +oc|.
Dans la suite du problème, on note f la fonction définie sur ]0,1{U]1, |ذه+ par : f(x) = Î ب dé.
On considère ونه €]0. 1[ et une primitive و de la fonction جرع mu cet intervalle.
1.3.1. Vérifier que, pour tout « €]0,1[, f(x) = g(x?) — g(x).
58 æ—1
1.3.2. Justifier que f est de classe 01 sur l'intervalle ]0, 1[ et que f(x) = Ta Pour tout x 00]
1.3.3. Préciser le signe de f'(x) pour tout x €]0, 1[.
1.4. Étude de / sur l'intervalle ]1,+oo|
Montrer de même que la fonction / est de classe 01 sur l'intervalle ]1, +00] et préciser l'expression
et le signe de sa dérivée sur cet intervalle.
2ème Partie
Étude locale et tracé du graphe de f
2.1. Étude de f au voisinage de 0
—T AE
1 2.1.1. Montrer que, pour tout x 0.1], 0 > f(x) > ma ten déduire que f est prolongeable par
1 continuité à droite en 0.
Épreuve de Mathématiques ct informatique 2/5 à
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4 Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECS
2.1.2. On note encore f la fonction ainsi prolongée en 0. Préciser (0) et montrer que f est dérivable
à droite en 0; quelle est la valeur de f/(0) ?
2.2. Calcul d‘un développement limité et de deux limites
2.2.1. Écrire le développement limité à l'ordre 2 de la fonction In au voisinage de 1.
1 1 1
2.2.2. Justificr alors que — = ص + = + o (1).
Inx x-1 2 +1
2.2.3. En déduire que les fonctions f’et & > sr sd possèdent des limites finies en 1 à préciser.
2.3. Étude de f au voisinage de 1
2.3.1. Justifier qu'il existe à 20,1] tel que, pour ع عتما €]l-a,1+af\{1}, | ei | < 3/2.
2.3.2. En déduire que, pour tont x €]1 — a,1 + af\{1}, |f(x) - n(1+x)| > وا - 2| puis trouver
la limite de f en 1.
2.3.3. On prolonge f par continuité en 1 et on note encore 1 la fonction ainsi obtenue. Montrer que
cette fonction est dérivable en 1 et préciser sa dérivée. (On pourra utiliser le théorème des
accroissements finis).
2.4. Étude de f au voisinage de +x
Montrer qu'au voisinage de +00, la courbe représentative de f présente une branche parabolique
de direction asymptotique l'axe des y.
2.5. Dresser le tableau de variations de f sur {0, +.
2.6. Montrer que la dérivée de f est strictement croissante sur (0, +oc[. Quelle conséquence géométrique
cette propriété a-t-elle sur le graphe de f ?
2.7. Tracer la courbe représentative de Î (unité 2 cm).
3ème Partie
Application au calcul d’une intégrale généralisée
: : 12-1
3.1. Montrer soigneusement que l'intégrale 1 Le dt est convergente.
o نا
2 1 2 à
3.2. Montrer que, pour tout couple (x, y) d'éléments de l'intervalle J0.1[. Î je dé = Î 7 du et
في In y 4
en déduire que f(x) — f(y) = 1 نب dé.
3.3. En déduire la valeur de 1 intégrale Î — di.
0 Int
Problème 2
0 5 à
On considère la matrice réelle 4 d'ordre 3 définie par: A= [0 م Î ;
1 3 0
1ère Partie
Détermination d'un polynôme annulateur de À et de ses valeurs propres
1.1. Recherche d’un polynôme annulateur de la matrice 4
1.1.1. Calculer A2 puis 45.
1.1.2. Vérifier que 443 = 34 + 7, où I est la matrice identité d'ordre 3.
1.1.3. En déduire un polynôme de degré 3 annulateur de la matrice À.
Éprenve de Mathématiques et informatique 3/5 Tournez la page S.V.P.
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECS È
————_ÿoncours National d Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECS -
1.2. Étude des racines d’un polynôme
On considère le polynôme R défini par :
VxeR, R(xr) = 47° -3r-— 1.
Vérifier que 1 est une racine simple de 7 et en déduire que —3 en est une racine double.
1.3. Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice A? Justifier votre réponse.
1.4. Vérifier que les vecteurs V, = 0 et M = | 1 | sont des vecteurs propres de la matrice À et
préciser les valeurs propres aux quelles ils sont respectivement associé.
1.5. Préciser alors les valeurs propres de la matrice A.
2ème Partie
Calcul des puissances de la matrice A
On rappelle que le polynôme R est défini par : R(r) > 479-3r-1, TER.
2.1. Montrer que, pour tout entier naturel n > 1, il existe un polynôme Q, et des réels Ans On et Cn tels
que
VTzER. 22 عمه + هارما + br + cn. ‘ (+)
Dans la suite de cette partie, on cherche à déterminer, pour chaque entier n > 1, les réels a», b, et
Cn Mais pas le polynôme Q,. |
2.2. Détermination des réels ون مت et بن pour x € N° |
Soit n un entier naturel non mul.
2.2.1. En substituant 1 puis — j à æ dans les deux membres de l'équation (+) ci-dessus, en déduire |
deux équations linéaires vérifiées par les réels Gns bn Et Cn: |
2.2.2. En dérivant, par rapport à la variable x, les deux membres de l'équation (+) ci-dessus et |
substituant - à z dans l'équation obtenue, en déduire une troisième équation linéaire vérifiée par les
réels a, b, et cn.
2.2.3. Résoudre le système linéaire constitué des trois équations obtenues précédemment et donner
les expressions des réels وا ممه et c, eu fonction de n.
2.3. Calcul des puissances de la matrices À
On admet que si Pi et P; sont deux polynômes à coefficients réels, alors (P:P2)(4) = P1(4)P2(4).
Justifier que, pour tout entier naturel 0 > 1, Af = ax 4? + by A + ce et déduire de ce qui précède que
5 يي -15
للف م ss الاج ا
كير 5 |2+(-2+6k) (2) , 2+0-3%)(5) 2-7243 )3(
4+ )12-18+( )2(* 4+ )-24 +9 )2(* 4+ (3498) (51)*
3ème Partie
Application à l'étude d’une marche aléatoire sur le net
On considère le graphe ci-dessous modélisant un internet simplifié constitué de trois pages (ou sites)
placées en ses sommets. Les arrêtes du graphe représentent les liens entres ces trois pages. L'algorithme
du > Page Rank >» consiste à surfer au hasard sur internet et à compter le nombre de fois qu'on passe sur
chacune de ses page en fonction du temps.
Figure 1 : Schéma du graphe.
a مب##م“م#ب#“سميستب“ت. .ا ص ااا اين ا( مس وا حو ا ور عاج
Épreuve de Mathématiques et informatique 4/5 ب
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: Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECS
Dans ce graphe, la page 1 possède un lien vers la page 3 mais n’a aucun lien vers la page 2: la page
2 possède un lien vers la page 1 et un vers la page 3; la page 3 possède un lien vers la page 1 et un vers
la page 2.
Dans la suite de ce problème, on adopte les notations et les hypothèses suivantes où n désigne un
entier naturel et à, j des éléments de l'ensemble {1.2,3} :
Ÿ Pn(3) désigne la probabilité que l'internaute soit sur la page j à l'instant £ = n :
Ÿ زيم désigne la probabilité de se trouver sur la page à à l'instant + = + 1 sachant qu'on était sur
la page 7 à l'instant بح ل
كك An(j) désigne l'événement "être sur la page j à l'instant + = n°:
» تزه suppose que les événement An(1), A, (2) et 4,(3) ont chacun une probabilité non nulle :
» on fait l'hypothèse qu'une page à une probabilité nulle de pointer sur elle même, c'est-à-dire que
Pii = 0 pour tout à € {1,2,3);
Yon suppose aussi qu'il y à équiprobabilité entre les liens d’une page ; ainsi, comme la page 2 pointe
Sur deux pages, la probabilité 21.2 d'aller de la page 2 vers la page 1 vaut j , de ووم مسقم = 1 :
0 À} pis
لا on considère la matrice B = P21 0 p23| dite matrice de transition dont le schéma de la
يدم à 0
figure 1 ci-dessus s'appelle graphe.
3-1. Compléter la matrice B en précisant les valeurs des réels 21.3: 23,1: P2,3 et Dan.
3.2. Pour 7 € {1,2, 3}, calculer la somme 21. + روم + روط en justifiant votre réponse.
3.3. Montrer que, pour tout entier naturel Rs Pn+1(1) = PiaPn(1) + Pi:2Pn(2) + p13pr(3) en précisant le
théorème utilisé.
3.4. Donner, sans démonstration. les expressions de ربوم )2( et de يبرم (3} en Fonction de )رت 1). pr(2) et
de pn(3).
3.5. Poux tout entier naturel n. on note م la matrice réelle à trois lignes et une colonne définie par :
Pn(1)
Xn = | Pa(2) |.
Pn(3)
3.5.1. Vérifier que, pour tout entier naturel 1, جور = AX,.
3.5.2. Montrer que, pour tout entier naturel n > 1, ول = A7 Xo.
3.5.3. En déduire, pour tout entier naturel n > 1, les valeur des probabilités Pn(1), px(2) et de p, (3)
en fonction de n et des probabilités po(1), pu(2) et po(3).
3.6. Étude des suites (Pn(5)) ner Pour j € {1,2,3}
3: e , . ا 1 _
3.6.1. Préciser les limites des suites ))2(7( nen €t خض (لداد)
3.6.2, Préciser la valeur de la somme po(1) + po(2) + po(3).
3.0.3. Déterminer les limites des suites 01 RS (p(2)) Len et (Da (3))ren qu'on notera respecti-
vement 1, {2 et 3.
3.7. Comparaison de la Popularité des trois sites
3.7.1. Déduire de ce qui précède l'ordre des trois sites du plus visité au moins visité au fil du temps.
3.7.2. Que représente le vecteur £2 | pour la matrice de transition ?
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques et informatique 5/5 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques et Informatique du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM), session 2017, filière ECS (économique et commerciale, option scientifique). Durée : 4 heures, tout matériel électronique (y compris la calculatrice) interdit. Le sujet comporte deux exercices (loi exponentielle ; suite récurrente avec Scilab) et deux problèmes (fonction définie par une intégrale ; puissances d'une matrice et marche aléatoire « Page Rank »). Voici une correction proposée.
💡 Erreur d'énoncé à signaler : dans le problème 2 (question 2.3), la troisième ligne de la matrice Ak imprimée est fausse (pour k = 1 elle donne 7/9 au lieu de 1 en position (3,1)). La correction ci-dessous donne la bonne formule ; comme le demande la consigne, signalez-le sur votre copie et continuez avec la formule corrigée.
Exercice 1 — Loi exponentielle
1. E(X) = 1/λ et V(X) = 1/λ² (intégrations par parties : ∫0∞ xλe−λxdx = 1/λ, E(X²) = 2/λ²).
2. F(x) = 0 si x ≤ 0 ; F(x) = 1 − e−λx si x > 0.
3. X > 0 presque sûrement, donc ⌊X⌋ ≥ 0 et Y ≥ 1 : P(Y ≤ 0) = 0. Pour k ∈ ℕ* : P(Y = k) = P(⌊X⌋ = k − 1) = P(k − 1 ≤ X < k) = e−λ(k−1) − e−λk = (1 − e−λ)e−λ(k−1). Y suit la loi géométrique de paramètre 1 − e−λ.
4.1 max(X1, X2) ≤ x ⇔ X1 ≤ x et X2 ≤ x.
4.2 Par indépendance (λ = 1) : FZ(x) = (1 − e−x)² si x > 0, 0 sinon. FZ est continue et C¹ sauf en 0 : Z est à densité, fZ(x) = 2e−x(1 − e−x) = 2e−x − 2e−2x pour x > 0, 0 sinon.
4.3 E(Z) = 2∫0∞xe−xdx − ∫0∞x·2e−2xdx = 2 × 1 − 1/2 = 3/2 (espérances des lois E(1) et E(2)).
5.1 Pour deux réels, max + min = somme : Z + T = X1 + X2.
5.2 E(T) = E(X1) + E(X2) − E(Z) = 2 − 3/2 = 1/2 (T suit d'ailleurs la loi E(2)).
Exercice 2 — Suite récurrente un+1 = g(un)
Identités utiles : g(x) − x = (3/4)(x − 2)² ≥ 0 et g(x) − 2 = (3x² − 8x + 4)/4 = (3x − 2)(x − 2)/4. g est décroissante sur ]−∞, 4/3], croissante sur [4/3, +∞[, avec g(4/3) = 5/3.
1. g est continue : si un → L, alors L = g(L), soit (3/4)(L − 2)² = 0, donc L = 2.
2. Si λ > 2 : par récurrence un > 2 (g(x) − 2 > 0 pour x > 2), et un+1 − un = (3/4)(un − 2)² > 0 : la suite est strictement croissante. Si elle convergeait, sa limite serait 2, impossible puisque un ≥ λ > 2. Croissante et non convergente, elle diverge vers +∞.
3. u1 = 2 ⇔ g(λ) = 2 ⇔ (3λ − 2)(λ − 2) = 0 ⇔ λ ∈ {2/3, 2}. Donc λ1 = 2/3, λ2 = 2.
4. Si λ ∈ ]2/3, 2[ : g(λ) − 2 < 0 et g(λ) ≥ 5/3, donc u1 ∈ [5/3, 2[ ⊂ I = [4/3, 2]. Sur I, g est croissante et g(I) = [5/3, 2] ⊂ I : par récurrence un ∈ I pour n ≥ 1. La suite est croissante (g(x) ≥ x) et majorée par 2 : elle converge, et sa limite est 2 (question 1).
5. Si λ < 2/3 : (3λ − 2)(λ − 2) > 0 (deux facteurs négatifs), donc u1 = g(λ) > 2. La suite (un+1) est du type étudié en 2 : elle diverge vers +∞.
6.
n=input('entrer la valeur de n')
u=1
for k=1:n
u=(3*u^2-8*u+12)/4
end
disp(u)
7. En lisant 1.9999 (la virgule de l'énoncé est une coquille : Scilab utilise le point décimal), le programme calcule les termes successifs à partir de u0 = 1 et compte les itérations tant que un ≤ 1,9999. Le nombre affiché est le plus petit entier n tel que un > 1,9999, c'est-à-dire le rang à partir duquel un approche la limite 2 à moins de 10−4 (la boucle s'arrête car λ = 1 ∈ ]2/3, 2[ et un → 2 en croissant).
Problème 1 — f(x) = ∫xx² dt/ln t
1re partie
1.1 Si 0 < x < 1 : 0 < x² < x < 1, le segment [x², x] ⊂ ]0, 1[. Si x > 1 : 1 < x < x², le segment [x, x²] ⊂ ]1, +∞[.
1.2 t ↦ 1/ln t est continue sur ]0, 1[ et sur ]1, +∞[ ; d'après 1.1, l'intégrale porte sur un segment inclus dans l'un de ces intervalles : f est bien définie sur ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[.
1.3.1 Par la relation de Chasles, f(x) = ∫x0x² − ∫x0x = g(x²) − g(x).
1.3.2 g est C¹ (primitive d'une fonction continue) et x ↦ x² aussi : f est C¹ sur ]0, 1[ et f'(x) = 2x·g'(x²) − g'(x) = 2x/(2 ln x) − 1/ln x = (x − 1)/ln x.
1.3.3 Sur ]0, 1[, x − 1 < 0 et ln x < 0 : f'(x) > 0.
1.4 Même raisonnement avec une primitive sur ]1, +∞[ : f est C¹ et f'(x) = (x − 1)/ln x > 0 (numérateur et dénominateur positifs).
2e partie
2.1.1 Pour x ∈ ]0, 1[ : f(x) = ∫x²x (−1/ln t)dt, avec −1/ln t > 0. Pour t ∈ [x², x], |ln t| ≥ |ln x|, donc 0 < −1/ln t ≤ −1/ln x et 0 ≤ f(x) ≤ (x − x²)(−1/ln x) ≤ −x/ln x. Comme −x/ln x → 0 quand x → 0+, f(x) → 0 : f est prolongeable par continuité en 0.
2.1.2 f(0) = 0 et 0 ≤ (f(x) − f(0))/x ≤ −1/ln x → 0 : f est dérivable à droite en 0, f'(0) = 0.
2.2.1 ln x = (x − 1) − (x − 1)²/2 + o((x − 1)²) au voisinage de 1.
2.2.2 1/ln x = 1/[(x − 1)(1 − (x − 1)/2 + o(x − 1))] = (1/(x − 1))(1 + (x − 1)/2 + o(x − 1)) = 1/(x − 1) + 1/2 + o(1).
2.2.3 Donc 1/ln x − 1/(x − 1) → 1/2, et f'(x) = (x − 1)/ln x = (x − 1)[1/(x − 1) + 1/2 + o(1)] → 1.
2.3.1 La limite 1/2 étant < 3/2, il existe α0 > 0 tel que |1/ln t − 1/(t − 1)| ≤ 3/2 pour t ∈ ]1 − α0, 1 + α0[ \ {1}. On choisit α ∈ ]0, 1[ assez petit pour que, de plus, x ∈ ]1 − α, 1 + α[ entraîne x² ∈ ]1 − α0, 1 + α0[ (possible par continuité de x ↦ x² en 1).
2.3.2 ∫xx² dt/(t − 1) = ln|x² − 1| − ln|x − 1| = ln(1 + x). Donc |f(x) − ln(1 + x)| = |∫xx² (1/ln t − 1/(t − 1))dt| ≤ (3/2)|x² − x|, qui tend vers 0 : limx→1 f(x) = ln 2.
2.3.3 On pose f(1) = ln 2. f est continue sur [0, +∞[ et dérivable sauf peut-être en 1. Par le théorème des accroissements finis, pour x ≠ 1 voisin de 1, (f(x) − f(1))/(x − 1) = f'(cx) avec cx entre 1 et x ; quand x → 1, cx → 1 et f'(cx) → 1 (2.2.3). Donc f est dérivable en 1 et f'(1) = 1.
2.4 Pour x > 1 et t ∈ [x, x²], ln t ≤ 2 ln x, donc f(x) ≥ (x² − x)/(2 ln x) et f(x)/x ≥ (x − 1)/(2 ln x) → +∞. Ainsi f(x) → +∞ et f(x)/x → +∞ : branche parabolique de direction (Oy).
2.5 f' > 0 sur ]0, +∞[ (avec f'(1) = 1) : f est strictement croissante sur [0, +∞[, de f(0) = 0 à +∞, en passant par f(1) = ln 2 ≈ 0,69.
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | 0 | + | 1 | + | |
| f(x) | 0 | ↗ | ln 2 | ↗ | +∞ |
2.6 Pour x ≠ 1 : f''(x) = [ln x − (x − 1)/x]/(ln x)². La fonction k(x) = ln x − 1 + 1/x a pour dérivée (x − 1)/x² : minimum k(1) = 0, donc k(x) > 0 pour x ≠ 1. Ainsi f'' > 0 sur ]0, 1[ et ]1, +∞[ ; f' étant continue sur [0, +∞[, elle est strictement croissante sur [0, +∞[. Conséquence géométrique : f est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes (tangente horizontale en O, tangente de pente 1 en (1, ln 2)).
2.7 Tracé : courbe partant de l'origine avec tangente horizontale, convexe, passant par (1, ln 2) avec une tangente de pente 1, puis montant de plus en plus vite (branche parabolique verticale).
3e partie
3.1 φ(t) = (t − 1)/ln t est continue sur ]0, 1[ ; elle tend vers 0 en 0+ et vers 1 en 1− (2.2.3) : prolongeable par continuité sur [0, 1], l'intégrale est convergente (faussement impropre).
3.2 Changement de variable t = u² (dt = 2u du, ln t = 2 ln u) : ∫y²x² dt/ln t = ∫yx u/ln u du. Puis, par Chasles, f(x) − f(y) = ∫y²x² dt/ln t − ∫yx dt/ln t = ∫yx (u − 1)/ln u du = ∫xy (1 − t)/ln t dt.
3.3 On fait x → 0+ (f(x) → 0) et y → 1− (f(y) → ln 2) : −ln 2 = ∫01 (1 − t)/ln t dt, d'où ∫01 (t − 1)/ln t dt = ln 2 (confirmé numériquement : 0,6931…).
Problème 2 — Puissances de A et marche aléatoire
A = [[0, 1/2, 1/2], [0, 0, 1/2], [1, 1/2, 0]].
1re partie
1.1.1 A² = [[1/2, 1/4, 1/4], [1/2, 1/4, 0], [0, 1/2, 3/4]] ; A³ = [[1/4, 3/8, 3/8], [0, 1/4, 3/8], [3/4, 3/8, 1/4]].
1.1.2 4A³ = [[1, 3/2, 3/2], [0, 1, 3/2], [3, 3/2, 1]] = 3A + I.
1.1.3 R(X) = 4X³ − 3X − 1 est un polynôme annulateur de A.
1.2 R(1) = 4 − 3 − 1 = 0 et R'(1) = 12 − 3 = 9 ≠ 0 : 1 est racine simple. Par factorisation, R(x) = (x − 1)(4x² + 4x + 1) = (x − 1)(2x + 1)² : −1/2 est racine double.
1.3 Toute valeur propre de A est racine d'un polynôme annulateur : les valeurs propres possibles sont 1 et −1/2.
1.4 AV1 = (1 + 2, 2, 3 + 1) = (3, 2, 4) = V1 : valeur propre 1. AV2 = (1/2 − 1/2, −1/2, 1/2) = −(1/2)V2 : valeur propre −1/2.
1.5 Les valeurs propres de A sont exactement 1 et −1/2.
2e partie
2.1 Division euclidienne de Xn par R, de degré 3 : le reste est de degré ≤ 2, d'où Qn et (an, bn, cn).
2.2.1 R(1) = R(−1/2) = 0 donne : an + bn + cn = 1 et an/4 − bn/2 + cn = (−1/2)n.
2.2.2 En dérivant : nxn−1 = Qn'R + QnR' + 2anx + bn. Or −1/2 est racine double, donc R(−1/2) = R'(−1/2) = 0 : n(−1/2)n−1 = −an + bn.
2.2.3 En notant rn = (−1/2)n (de sorte que n(−1/2)n−1 = −2n rn), la résolution donne :
- an = (4/9)[1 + (3n − 1)rn]
- bn = (2/9)[2 − (3n + 2)rn]
- cn = (1/9)[1 + (8 − 6n)rn]
(Contrôle : n = 1 donne (0, 1, 0) et n = 2 donne (1, 0, 0), conformément à X = X et X² = X².)
2.3 Comme R(A) = 0 : Ak = Qk(A)R(A) + akA² + bkA + ckI = akA² + bkA + ckI. En remplaçant, avec r = (−1/2)k :
Ak = (1/9) × [[3 + 6r, 3 − 3r, 3 − 3r], [2 + (6k − 2)r, 2 + (7 − 3k)r, 2 − (2 + 3k)r], [4 − (4 + 6k)r, 4 + (3k − 4)r, 4 + (5 + 3k)r]].
Les deux premières lignes coïncident avec l'énoncé ; la troisième ligne imprimée (4 + (12 − 18k)r, 4 + (−24 + 9k)r, 4 + (3 + 9k)r) est erronée : pour k = 1 elle ne redonne pas A, et les colonnes ne somment plus à 1 (alors que A est une matrice de transition). La formule ci-dessus a été vérifiée pour k = 1 à 5.
3e partie — Page Rank
3.1 La colonne j donne les probabilités de quitter la page j. Page 1 → page 3 seulement : p2,1 = 0, p3,1 = 1. Page 3 → pages 1 et 2 : p1,3 = p2,3 = 1/2. B = [[0, 1/2, 1/2], [0, 0, 1/2], [1, 1/2, 0]] = A.
3.2 p1,j + p2,j + p3,j = 1 : sachant qu'on est sur la page j, on se trouve à l'instant suivant sur exactement une des trois pages ((An+1(i))i est un système complet). Vérification : chaque colonne de B somme à 1.
3.3 Formule des probabilités totales avec le système complet (An(1), An(2), An(3)), d'événements de probabilités non nulles : pn+1(1) = Σj P(An+1(1) | An(j))P(An(j)) = p1,1pn(1) + p1,2pn(2) + p1,3pn(3).
3.4 pn+1(2) = (1/2)pn(3) ; pn+1(3) = pn(1) + (1/2)pn(2). (Et pn+1(1) = (1/2)pn(2) + (1/2)pn(3).)
3.5.1 Ces trois égalités s'écrivent Xn+1 = BXn = AXn.
3.5.2 Récurrence immédiate : X1 = AX0 ; si Xn = AnX0, alors Xn+1 = An+1X0.
3.5.3 Avec la formule corrigée de An, r = (−1/2)n et p0(1) + p0(2) + p0(3) = 1 :
- pn(1) = (1/9)[(3 + 6r)p0(1) + (3 − 3r)(p0(2) + p0(3))] = 1/3 + r(p0(1) − 1/3)
- pn(2) = (1/9)[(2 + (6n − 2)r)p0(1) + (2 + (7 − 3n)r)p0(2) + (2 − (2 + 3n)r)p0(3)]
- pn(3) = (1/9)[(4 − (4 + 6n)r)p0(1) + (4 + (3n − 4)r)p0(2) + (4 + (5 + 3n)r)p0(3)]
3.6.1 |−1/2| < 1 : (−1/2)n → 0 et n(−1/2)n → 0 (croissances comparées).
3.6.2 p0(1) + p0(2) + p0(3) = 1 (système complet à l'instant 0).
3.6.3 Tous les termes en r et nr tendent vers 0 : ℓ1 = (3/9)·1 = 1/3, ℓ2 = 2/9, ℓ3 = 4/9, quelle que soit la loi initiale.
3.7.1 À long terme, la page 3 est la plus visitée (4/9), puis la page 1 (3/9), puis la page 2 (2/9).
3.7.2 (ℓ1, ℓ2, ℓ3) = (1/9)V1 est le vecteur propre de A associé à la valeur propre 1 dont les coordonnées somment à 1 : c'est la loi (distribution) stationnaire de la matrice de transition (Aℓ = ℓ), qui donne le classement « Page Rank » des pages.
Questions fréquentes sur ce sujet
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