Modèle du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM) 2022 — filière ECT — Mathématiques
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management) organisé par Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM) (2022), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Ministère de l'Enseignement Supérieur — ENCG (Concours National d'Accès aux Écoles de Management, CNAEM)
- Grade
- Élève de CPGE ECT/ECS (accès écoles de management)
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2022
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
Royaume du Maroc
Ministère de l'Enscignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de l'Innovation
3 CE RATER ETES
LES بسكن كنأ ل | SOUXKE À SOUSAN لمحتل
do 54 ار dal Ecole Nationale de Commerce et de 0291100 - مانم
Présidence du CNAEM 2022
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra
Université Ibn Tofaïl
CONCOURS NATIONAL D'ACCES
AUX ECOLES DE MANAGEMENT
Edition 2022
Epreuve : Mathématiques
Filière : ECT
Durée : 4 heures
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
L'usage de tout document ou de tout appareil électronique est strictement interdit.
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Épreuve de Mathématiques - Session 2022 — Filière ECT CNAËEM
Durée : 4 heures
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la réduction et à
la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. H convient en particulier de
rappeler avec précision | les références ] des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce
qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie el poursuit sa composilion en erpliquant
les raisons des anitiatives qu'il est amené à prendre.
Remarques générales :
L'épreuve se compose de trois exercices indépendants.
X * * k x
EXERCICE 1
Dans M;3(R) l’ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, on considère les matrices suivantes
0 1 0 L 1 1 —2 -3 -1 1 0 0 0 ‘0: 07
A= 0 0 1 ,P= 1 -1 -2 |,Q= -6 3 3 1 0 1 0 |aO- | 0 0 0
2 1 —2 1 1 4 2 0 -2 0770 1 )0 0 0
Partie 1
Puissances de la matrice À
1. a) Vérifier que PQ = —-G1.
b) En déduire que P est inversible et déterminer son inverse P!.
1 1 1 1
2. a) Déterminer les réels 8ه et 7 tels que 4 1 | »4ح ١ 1 .ا -1 >] | -1
1 1 1 1
64| -2 | =y| -2 |.
b) Qu'est ce que vous pouvez conclure pour جا 8 به ? Justifier votre réponse.
a 0 0
3 a) Vérifier que AP = PD, avec D = | 0 8 0 },a, Bet 7 sont les valeurs qui sont déterminées
dans la question de la partie 1, 2. a).
b) Qu'est ce que vous pouvez conclure pour la matrice À ? Justifier votre réponse.
c) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, AP = PDA.
at 0 0
4. a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, D" = 0 "8م 0
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, A" en fonction de n.
لست me L
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Partie 2
Application à la détermination de l'expression d’une suite
On considère la suite (x, } qui est définie par les conditions initiales suivantes ير ,1 - = رم ,2 & وم # let pour
tout entier naturel ب
ربو = TTn + Tnt -
On pose pour tout entier naturel n, كما | ti
272ص
1. Vérifier que pour tout entier naturel بابك = دصي .د (1)
2. Recopier et compléter le programme Scilab suivant afin qu'il alliche X,, l'entier n étant donné par
l'utilisateur.
end
3 Montrer que pour tout entier naturel n, وك = مل
4 En utilisant l'expression de A" obtenue dans la question 4. b) de la partie 1, montrer que pour tout entier
naturel n,
صو +011) (2)
n= +40" - 302)
3zn — 1 3x, —1
E . 5 8 16 اه déte 7 ل —
5. Montrer que D, T3 3" est une série convergente el déterminer 5 EL
n>0 n=0
5 À 5 . دي اوقل
6. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche la valeur de S, = 19 T3 , l'entier naturel 7
étant donné par l'utilisateur.
7. On considère la suite (yn)n qui est définie par les conditions initiales suivantes yo = n=et,w=ce!
et pour tout entier nature] n, Yn43 = (==) .ربون Déterminer l'expression de yn en fonction عل
Un+2
EXERCICE 2
On dispose d'une urne qui contient deux boules blanches et trois boules rouges. Un joueur effectue trois tirages
successifs d’une boule dans cette urne avec remise (c’est-à-dire, il remet la boule obtenue dans l'urne après
chaque tirage). L'opération de gains des points est Ja suivante :
Pendant le deuxième tirage, le joueur reçoit un point à chaque fois que la couleur de la boule tirée est la même
que celle qui a été obtenue au premier tirage. Dans le cas contraire il ne reçoit aucun point.
Pendant le troisième tirage, le joueur reçoit deux points à chaque fois que la couleur de la boule tirée est la
même que celle qui à été obtenue au deuxième tirage. Dans le cas contraire il ne reçoit aucun point.
Soit X2 la variable aléatoire qui est égale au gain du joueur lors du deuxième t irage. Soit ول la variable aléatoire
qui est égale au gain du joueur lors du troisième t irage.
Par exemple, si les trois tirages successifs amènent : blanc, rouge, rouge alors X2 = 0 et À3 = 2.
On introduit, pour tout entier k compris entre 1 et 3 les événements Bx : "obtenir une boule blanche au kè®°
tirage" et R& : "obtenir une boule rouge au k*® tirage *.
1. a) Justifier que (X2 = 0)=(BNR)U(RN B:).
RE "1 | SRE
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Épreuve de Mathématiques — Session 2022 — Filière ECT CNAEM
: x“ 12
b) Vérifier que P(X2 = 0) = 33:
c) Calculer P(X2 = 1).
d) Déterminer E(X2) l'espérance de la variable aléatoire X°2.
e) Déterminer V(X2) la variance de la variable aléatoire A2.
2. a) Calculer P(X3 = 0) et P(X3 = 2).
b) Déterminer E(X3) l'espérance et V(X3) la variance de la variable aléatoire X2.
3. Soit G la variable aléatoire égale au nombre total des points gagnés à la fin des trois tirages.
Déterminer E(G) l'espérance et V(G) la variance de la variable aléatoire ©.
4. a) Exprimer l'événement (x = 1)N(X3 = 2)) en fonction de Ba, Br, Ba et Rai, Ro, R3-
b) En déduire que P((X2 = 1)N(Xa = 2) = 5
c) Déterminer la loi conjointe du couple (X2, X3) sous forme d'un tableau
d) En déduire que la covariance entre les deux variables aléatoires X2 et X3 est Coë(X2, Xa) = 55
5. Déterminer p(X2, X3), le coefficient de corrélation linéaire de (X2, X3).
0. Soit n un entier naturel supérieur ناه égal à 2. On suppose que le joueur effectue nt fois l'opération citée
auparavant (les trois tirages). On considère la variable aléatoire Ÿ qui est égale au nombre de fois la
réalisation de l'événement (G = 3) pendant les n expériences.
a) Préciser la loi de Y en déterminant ses paramètres.
b) Dans cette question, on prend n = 5, déterminer la probabilité d’avoir exactement 3 fois l'événement
c) Écrie un programme Scilab qui permet de simuler la variable aléatoire 17 et qui renvoie une matrice
d’une ligne et de mille colonnes de valeurs. La valeur de n est donnée par l'utilisateur.
EXERCICE 3
Soit 4 un réel strictement positif. On considère la fonction f définie sur R par,
0 six > 0
f(x) = 1 f0-x F
3 exp | six > 0
Partie 1
Étude d'une variable aléatoire à densité
4 0-1
1. a) Vérifier que, pour tout réel À > ٠ Î f(x)dx = 1 - exp ب ) 1
b) Montrer que f, * f(x)dx converge et déterminer sa valeur.
c) En déduire que f peut être considérée comme une densité de probabilité.
On considère par la suite, la variable aléatoire X admettant f comme densité et on note Fx
sa fonction de répartition.
2. Déterminer pour tout réel رحد Fx(x).
3. a) Vérifier que P(30 > X < 30 +2) = وولح et) et que P(X > 39) = e°?
b) En déduire P{x 330) (x > 30 + 2) ; la probabilité de l'événement (x > 30 + 2) sachant l'événement
(x 2 30)
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Épreuve de Mathématiques — Session 2022 — Filière ECT CNAEM
4. On considère la variable aléatoire ٠ = à (X — 0).
1 ve 1 : 0 si y > 0
a) Montrer que la fonction de répartition Fÿ de Y est définie par : Fy-(u) = 1er siy> 0 ‘
b} En déduire que Y est une variable à densité qui suit une loi classique dont on précisera le pararnètre.
Préciser son espérance el Sa variance.
c) En déduire E( X) l'espérance de X et VX) la variance de D,
Partie 2
Estimateur de 0
1. Dans toute la suite, د désigne un entier naturel supérieur où égal à 2 et وت بود Au 5 variables
aléatoires mutuellement indépendantes de même loi que X.
On cherche à estimer le réel 0 à l'aide de la variable aléatoire Sn = LL Si ل — 2)
a) Montrer que 5, est un estimateur sans biais de 0.
b) Déterminer la variance de la variable aléatoire Sn
c) En déduire r(5,) le risque quadratique de l'estimateur يوي
9. Soit ع un réel strictement posit 1] Montrer en utilisant l'inégalité de BienayméTehebyches que
5, -0| >) < 4
P(ISn - 0| 2€) > 2
3. Soit a un réel de ]0,1[ et £ = Ë . Montrer que [S, —<,5, + €] est un intervalle de confiance pour 0 de
niveau de confiance ] — a.
FIN DE L'ÉPREUVE
k XX x x
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM), session 2022, filière ECT (économique et commerciale, option technologique). Durée : 4 heures. L'épreuve se compose de trois exercices indépendants : puissances d'une matrice et suite récurrente d'ordre 3 (avec Scilab), tirages avec remise et couple de variables discrètes, loi exponentielle décalée et estimateur. Voici une correction proposée.
💡 Les questions Scilab rapportent des points faciles : apprenez la syntaxe de base (input, for i=1:n, disp,
grand, produit matriciel *). Vérifiez toujours une formule générale sur n = 0 et n = 1.
Exercice 1 — Puissances de A et suite récurrente
Partie 1
1.a Le calcul ligne par colonne donne PQ = [[−6, 0, 0], [0, −6, 0], [0, 0, −6]] = −6I (par exemple, ligne 1 de P × colonne 1 de Q : −2 − 6 + 2 = −6 ; ligne 1 × colonne 2 : −3 + 3 + 0 = 0).
1.b P(−Q/6) = I, donc P est inversible et P−1 = −Q/6 = (1/6)[[2, 3, 1], [6, −3, −3], [−2, 0, 2]].
2.a A(1, 1, 1)T = (1, 1, 2 + 1 − 2)T = (1, 1, 1)T : α = 1. A(1, −1, 1)T = (−1, 1, 2 − 1 − 2)T = −(1, −1, 1)T : β = −1. A(1, −2, 4)T = (−2, 4, 2 − 2 − 8)T = −2(1, −2, 4)T : γ = −2.
2.b Les vecteurs sont non nuls : 1, −1 et −2 sont des valeurs propres de A, associées à ces vecteurs propres. A ∈ M3(ℝ) ayant au plus 3 valeurs propres, ce sont toutes ses valeurs propres.
3.a Les colonnes de AP sont A·(colonnes de P), soit αC1, βC2, γC3 : ce sont les colonnes de PD. Donc AP = PD avec D = diag(1, −1, −2).
3.b P est inversible, donc A = PDP−1 : A est diagonalisable (trois valeurs propres distinctes, base de vecteurs propres formée des colonnes de P).
3.c n = 0 : P = P. Si AnP = PDn, alors An+1P = A(AnP) = APDn = PDDn = PDn+1.
4.a D diagonale : D0 = I et Dn+1 = DnD = diag(αn+1, βn+1, γn+1).
4.b An = PDnP−1 = −(1/6)PDnQ, avec Dn = diag(1, (−1)n, (−2)n) :
| An | colonne 1 | colonne 2 | colonne 3 |
|---|---|---|---|
| ligne 1 | 1/3 + (−1)n − (1/3)(−2)n | 1/2 − (1/2)(−1)n | 1/6 − (1/2)(−1)n + (1/3)(−2)n |
| ligne 2 | 1/3 − (−1)n + (2/3)(−2)n | 1/2 + (1/2)(−1)n | 1/6 + (1/2)(−1)n − (2/3)(−2)n |
| ligne 3 | 1/3 + (−1)n − (4/3)(−2)n | 1/2 − (1/2)(−1)n | 1/6 − (1/2)(−1)n + (4/3)(−2)n |
(Contrôle : n = 0 donne I, n = 1 donne A ; formule vérifiée pour n = 0 à 3.)
Partie 2
1. Xn+1 = (xn+1, xn+2, xn+3) et xn+3 = 2xn + xn+1 − 2xn+2 : c'est exactement AXn (lignes (0,1,0), (0,0,1), (2,1,−2)).
2. Programme complété :
n=input("n = ")
A=[0 1 0; 0 0 1; 2 1 -2]
U=[2; -1; 1]
for i=1:n
U=A*U
end
disp(U)
3. X0 = A0X0 ; si Xn = AnX0, alors Xn+1 = AXn = An+1X0.
4. xn est la première coordonnée de AnX0 avec X0 = (2, −1, 1) : xn = 2[1/3 + (−1)n − (1/3)(−2)n] − [1/2 − (1/2)(−1)n] + [1/6 − (1/2)(−1)n + (1/3)(−2)n] = (2/3 − 1/2 + 1/6) + (2 + 1/2 − 1/2)(−1)n + (−2/3 + 1/3)(−2)n = 1/3 + 2(−1)n − (1/3)(−2)n. (Contrôle : x0 = 1/3 + 2 − 1/3 = 2, x1 = 1/3 − 2 + 2/3 = −1, x2 = 1/3 + 2 − 4/3 = 1.)
5. 3xn − 1 = 6(−1)n − (−2)n, donc (3xn − 1)/(−3)n = 6(1/3)n − (2/3)n. Somme de deux séries géométriques de raisons 1/3 et 2/3 (dans ]−1, 1[) : convergente, et Σn≥0 = 6 × 1/(1 − 1/3) − 1/(1 − 2/3) = 9 − 3 = 6.
6.
n=input("n = ")
S=0
for k=0:n
x=1/3+2*(-1)^k-(1/3)*(-2)^k
S=S+(3*x-1)/(-3)^k
end
disp(S)
7. Par récurrence, yn > 0 pour tout n (les trois premiers termes sont positifs et la relation conserve la positivité). On pose wn = ln yn : wn+3 = 2wn − 2wn+2 + wn+1, avec w0 = 2, w1 = −1, w2 = 1. C'est la suite (xn) : wn = xn. Donc yn = exp(1/3 + 2(−1)n − (1/3)(−2)n).
Exercice 2 — Tirages avec remise
À chaque tirage : P(Bk) = 2/5, P(Rk) = 3/5, tirages indépendants (remise).
1.a X2 = 0 ⇔ la 2e boule n'a pas la couleur de la 1re : (X2 = 0) = (B1 ∩ R2) ∪ (R1 ∩ B2).
1.b Réunion disjointe et indépendance : P(X2 = 0) = (2/5)(3/5) + (3/5)(2/5) = 12/25.
1.c X2 ∈ {0, 1}, donc P(X2 = 1) = 13/25 (= (2/5)² + (3/5)²).
1.d E(X2) = 13/25. 1.e X2 suit une loi de Bernoulli : V(X2) = (13/25)(12/25) = 156/625.
2.a X3 ∈ {0, 2} ; par le même raisonnement sur les tirages 2 et 3 : P(X3 = 0) = 12/25, P(X3 = 2) = 13/25.
2.b X3 = 2X' avec X' de Bernoulli de paramètre 13/25 : E(X3) = 26/25, V(X3) = 4 × 156/625 = 624/625.
3. G = X2 + X3 : E(G) = 13/25 + 26/25 = 39/25. V(G) = V(X2) + V(X3) + 2cov(X2, X3) = (156 + 624 + 24)/625 = 804/625 (avec la covariance établie en 4.d ; X2 et X3 ne sont pas indépendantes).
4.a (X2 = 1) ∩ (X3 = 2) : les trois boules ont la même couleur : (B1 ∩ B2 ∩ B3) ∪ (R1 ∩ R2 ∩ R3).
4.b P = (2/5)³ + (3/5)³ = 8/125 + 27/125 = 35/125 = 7/25.
4.c Par différence avec les lois marginales :
| X2 \ X3 | 0 | 2 | Loi de X2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 6/25 | 6/25 | 12/25 |
| 1 | 6/25 | 7/25 | 13/25 |
| Loi de X3 | 12/25 | 13/25 | 1 |
4.d E(X2X3) = 1 × 2 × 7/25 = 14/25. cov = 14/25 − (13/25)(26/25) = 350/625 − 338/625 = 12/625.
5. ρ = cov/(σX2σX3) = (12/625)/√((156/625)(624/625)) = 12/√(156 × 624) = 12/312 = 1/26.
6.a (G = 3) = (X2 = 1) ∩ (X3 = 2), de probabilité 7/25. Les n expériences sont indépendantes et identiques : Y ↪ B(n, 7/25).
6.b P(Y = 3) = C(5, 3)(7/25)³(18/25)² = 10 × 343 × 324/25⁵ = 222264/1953125 ≈ 0,114.
6.c
n=input("n = ")
Y=grand(1,1000,"bin",n,7/25)
disp(Y)
(Variante sans grand binomiale : pour chacune des 1000 colonnes, répéter n fois trois tirages grand(1,1,"uin",1,5) — boules 1 et 2 blanches — et compter les fois où les trois couleurs coïncident.)
Exercice 3 — Loi exponentielle décalée et estimateur de θ
💡 Erreur d'énoncé à signaler sur la copie : avec f(x) = (1/2)exp((θ − x)/2) pour tout x ≥ 0, l'intégrale sur [0, +∞[ vaut eθ/2 > 1 et f ne serait pas une densité. Toutes les questions (intégrale à partir de θ, P(X ≥ 3θ) = e−θ, loi de Y) supposent f(x) = 0 si x < θ et f(x) = (1/2)exp((θ − x)/2) si x ≥ θ. C'est ce qu'on retient.
Partie 1
1.a ∫θA (1/2)e(θ−x)/2dx = [−e(θ−x)/2]θA = 1 − e(θ−A)/2.
1.b Quand A → +∞, e(θ−A)/2 → 0 : l'intégrale converge et vaut 1.
1.c f est positive, continue sauf en θ, et d'intégrale 1 sur ℝ : c'est une densité.
2. FX(x) = 0 si x < θ ; FX(x) = 1 − e(θ−x)/2 si x ≥ θ.
3.a P(3θ ≤ X ≤ 3θ + 2) = F(3θ + 2) − F(3θ) = e−θ − e−θ−1 = e−θ(1 − e−1), et P(X ≥ 3θ) = 1 − F(3θ) = e(θ−3θ)/2 = e−θ.
3.b P(X≥3θ)(X ≤ 3θ + 2) = e−θ(1 − e−1)/e−θ = 1 − e−1 ≈ 0,632 (propriété d'absence de mémoire).
4.a FY(y) = P(X ≤ θ + 2y). Si y < 0, θ + 2y < θ et FY(y) = 0 ; si y ≥ 0, FY(y) = 1 − e(θ − θ − 2y)/2 = 1 − e−y.
4.b FY est continue sur ℝ, C¹ sauf en 0 : Y est à densité et suit la loi exponentielle de paramètre 1. E(Y) = 1, V(Y) = 1.
4.c X = θ + 2Y : E(X) = θ + 2 et V(X) = 4V(Y) = 4.
Partie 2
1.a E(Sn) = (1/n)Σ(E(Xk) − 2) = (1/n) × nθ = θ : estimateur sans biais.
1.b Par indépendance : V(Sn) = (1/n²) × n × V(X) = 4/n.
1.c r(Sn) = V(Sn) + (biais)² = 4/n.
2. Bienaymé-Tchebychev : P(|Sn − E(Sn)| ≥ ε) ≤ V(Sn)/ε², soit P(|Sn − θ| ≥ ε) ≤ 4/(nε²).
3. Avec ε = 2/√(nα) : 4/(nε²) = 4/(n × 4/(nα)) = α. Donc P(|Sn − θ| < ε) ≥ 1 − α, c'est-à-dire P(θ ∈ ]Sn − ε, Sn + ε[) ≥ 1 − α, et a fortiori pour l'intervalle fermé : [Sn − ε, Sn + ε] est un intervalle de confiance de θ au niveau 1 − α.
Questions fréquentes sur ce sujet
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