Modèle de concours d'accès en 1re année de l'École Hassania des Travaux Publics (EHTP) 2024 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en première année de l'École Hassania des Travaux Publics (EHTP), année 2023-2024, passée le 11/07/2024 à 9h. Durée : 3 heures, calculatrice interdite. Le sujet comporte deux parties indépendantes : une partie d'analyse (intégrale à paramètre g(x) = ∫₀^+∞ (1 − cos t)/t² · e^−xt dt et intégrales de Dirichlet) et une partie d'algèbre linéaire (matrice d'adjacence vérifiant M² = J − M + (σ − 1)I).

💡 Les deux parties sont classiques : la première aboutit à ∫₀^+∞ sin t / t dt = π/2, la seconde est le théorème de Hoffman–Singleton (cas σ = 2 : le pentagone). Rédigez soigneusement les hypothèses de domination : c'est là que se jouent la plupart des points de la partie I.

PARTIE I

I. Étude des fonctions φ et ψ

1. φ(t) = t − 1 + cos t, φ'(t) = 1 − sin t ≥ 0, donc φ est croissante sur [0 ; +∞[ et φ(t) ≥ φ(0) = 0. Ainsi 1 − cos t ≤ t, et comme 1 − cos t ≥ 0, pour t > 0 : 0 ≤ (1 − cos t)/t ≤ 1. On peut prendre α = 1.

2. ψ(t) = t²/2 − 1 + cos t, ψ'(t) = t − sin t ≥ 0 (car sin t ≤ t pour t ≥ 0), donc ψ(t) ≥ ψ(0) = 0, soit 1 − cos t ≤ t²/2. Pour t > 0 : 0 ≤ (1 − cos t)/t² ≤ 1/2, β = 1/2.

II. Existence de g sur [0 ; +∞[

1. h(t) = (1 − cos t)/t² est continue et positive sur ]0 ; +∞[. En 0 : 0 ≤ h ≤ 1/2, h est bornée (elle se prolonge par continuité avec h(0) = 1/2). En +∞ : 0 ≤ h(t) ≤ 2/t², intégrable sur [1 ; +∞[ (Riemann, exposant 2 > 1). Donc ∫₀^+∞ h converge.

2. Pour x ≥ 0 et t > 0 : 0 ≤ h(t)e^−xt ≤ h(t). Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale converge : g(x) existe pour tout x ≥ 0.

III. Limite de g en +∞

1. Si 0 ≤ x₁ ≤ x₂, alors e^−x₁t ≥ e^−x₂t, donc g(x₁) − g(x₂) = ∫ h(t)(e^−x₁t − e^−x₂t) dt ≥ 0. g est décroissante et minorée par 0 : elle admet une limite finie λ ≥ 0 en +∞.

2. Pour x > 0 : 0 ≤ g(x) ≤ ∫₀^+∞ (1/2)e^−xt dt = 1/(2x) → 0. Donc λ = 0.

IV. Caractère C^k de g

1. F(x, t) = h(t)e^−xt est continue en x pour tout t, et |F(x, t)| ≤ h(t), intégrable et indépendante de x. Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre (domination), g est continue sur [0 ; +∞[.

2. ∂F/∂x (x, t) = −(1 − cos t)/t · e^−xt. Sur [a ; +∞[ avec a > 0 : |∂F/∂x| ≤ α e^−at = e^−at, intégrable. Par le théorème de dérivation sous le signe intégral, g est C¹ sur [a ; +∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0 ; +∞[, et g'(x) = −∫₀^+∞ (1 − cos t)/t · e^−xt dt.

3. |g'(x)| ≤ ∫₀^+∞ e^−xt dt = 1/x → 0 : lim_+∞ g' = 0.

4. ∂²F/∂x² = (1 − cos t)e^−xt, majorée sur [a ; +∞[ par 2e^−at, intégrable : g est C² sur ]0 ; +∞[ et g''(x) = ∫₀^+∞ (1 − cos t)e^−xt dt.

5. ∫₀^+∞ e^−xt dt = 1/x et ∫₀^+∞ cos t · e^−xt dt = Re ∫ e^(−x+i)t dt = Re 1/(x − i) = x/(x² + 1). Donc

g''(x) = 1/x − x/(x² + 1) = 1/(x(x² + 1)).

6. Une primitive de 1/(u(u² + 1)) est ln u − ½ ln(u² + 1) = ½ ln(u²/(u² + 1)), qui tend vers 0 en +∞. Comme g'(+∞) = 0 : g'(x) = −∫_x^+∞ g''(u) du, soit

g'(x) = ½ ln(x²/(x² + 1)) pour x > 0.

Quand x → 0⁺, g'(x) → −∞. g étant continue sur [0 ; x] et dérivable sur ]0 ; x[, le théorème des accroissements finis donne (g(x) − g(0))/x = g'(c_x) avec 0 < c_x < x, qui tend vers −∞. g n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale).

V. Expression explicite de g

1. x ln(x²/(x² + 1)) = −x ln(1 + 1/x²) ~ −x · 1/x² = −1/x → 0.

2. Par parties (u = ln(x² + 1), v' = 1) : ∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) − ∫ 2x²/(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) − 2x + 2 arctan x (+ C).

3. g'(u) = ln u − ½ ln(u² + 1). Une primitive est G(u) = (u ln u − u) − ½(u ln(u² + 1) − 2u + 2 arctan u) = ½ u ln(u²/(u² + 1)) − arctan u. D'après V.1, G(u) → −π/2 en +∞. Comme g(+∞) = 0 :

g(x) = G(x) − lim_+∞ G, soit g(x) = ½ x ln(x²/(x² + 1)) + π/2 − arctan x pour x > 0.

(Contrôle : pour x grand, g(x) ≈ −1/(2x) + 1/x = 1/(2x), cohérent avec III.2.)

4. Par continuité de g en 0 et x ln x → 0 : g(0) = π/2.

VI. Étude de ∫₀^π/2 [sin t]^m/t dt

Sur ]0 ; π/2], la fonction est continue ; en 0, sin^mt / t ~ t^m−1, qui tend vers 1 (m = 1) ou 0 (m ≥ 2). Elle se prolonge par continuité en 0 : l'intégrale converge pour tout m ≥ 1.

VII. Étude de J₁

Sur [ε ; X], par parties avec u = 1/t, v = 1 − cos t (dont la dérivée est sin t) :

∫_ε^X sin t / t dt = [(1 − cos t)/t]_ε^X + ∫_ε^X (1 − cos t)/t² dt.

(1 − cos X)/X → 0 quand X → +∞ (car ≤ 2/X) et (1 − cos ε)/ε → 0 quand ε → 0 (car ≤ ε/2). Le dernier terme converge vers g(0). Donc J₁ existe et J₁ = g(0) = π/2.

VIII. Existence de I_k

• k = 0 : I₀ = ∫_π/2^+∞ dt/t diverge (Riemann, exposant 1).
• k ≠ 0 : par parties, ∫_π/2^X e^ikt/t dt = [e^ikt/(ikt)]_π/2^X + (1/ik) ∫_π/2^X e^ikt/t² dt. Le crochet a une limite (le terme en X est majoré par 1/(|k|X)) et la dernière intégrale converge absolument (|·| ≤ 1/t²). I_k converge si et seulement si k ≠ 0.

IX. Nature de J_m

1. sin t = (e^it − e^−it)/(2i), et par la formule du binôme :

(sin t)^m = (1/(2i)^m) Σ_j=0^m C(m, j)(−1)^m−j e^i(2j−m)t, d'où

∫_π/2^x (sin t)^m/t dt = (1/(2i)^m) Σ_j=0^m (−1)^m−j C(m, j) I_2j−m(x).

2. Si m = 2p + 1 est impair, 2j − m est impair donc jamais nul : chaque I_2j−m(x) a une limite finie quand x → +∞ (VIII). Avec VI (partie sur [0 ; π/2]), J_2p+1 existe.

3. Si m = 2p, le terme j = p donne k = 0, de coefficient (−1)^pC(2p, p)/(2i)^2p = C(2p, p)/4^p > 0, multiplié par I₀(x) = ln(2x/π) → +∞ ; tous les autres termes convergent. Donc ∫₀^+∞ (sin t)^2p/t dt diverge (vers +∞).

PARTIE II

Rappel utile : (M²)_ij = Σ_k m_ikm_kj = nombre d'indices k tels que m_ik = m_jk = 1 (M est symétrique à coefficients 0/1).

I. Expression de M²

1. a_ii = Σ_k m_ik² = Σ_k m_ik = σ (chaque ligne a σ coefficients égaux à 1).

2. Pour i ≠ j : si m_ij = 1, tous les produits m_ikm_jk sont nuls, donc a_ij = 0 ; si m_ij = 0, il existe un unique k avec m_ik = m_jk = 1, donc a_ij = 1. En résumé a_ij = 1 − m_ij.

3. Hors diagonale, (J_n − M + dI_n)_ij = 1 − m_ij = a_ij ; sur la diagonale, 1 − 0 + d doit valoir σ, d'où d = σ − 1 et M² = J_n − M + (σ − 1)I_n, soit f² = φ − f + (σ − 1)id.

II. Relation entre n et σ

1. Toutes les colonnes de J_n sont égales à K_n : Im(φ) = Vect(v) (rang 1). Plus précisément φ(x) = (Σ x_i) v.

2. Si f(u) = σu, alors (f∘f)(u) = σ²u. Mais f² = φ − f + (σ − 1)id, donc σ²u = φ(u) − σu + (σ − 1)u, soit φ(u) = (σ² + 1)u. Comme σ² + 1 ≠ 0, u = φ(u)/(σ² + 1) ∈ Im φ = Vect(v) : u est colinéaire à v.

3. MK_n a pour coefficients les sommes des lignes de M, toutes égales à σ : f(v) = σv avec v ≠ 0. σ est valeur propre et, d'après 2, ker(f − σ id) = Vect(v).

4. Appliquons 2 à u = v : φ(v) = (σ² + 1)v. Or J_nK_n = nK_n, soit φ(v) = nv. Donc n = σ² + 1.

III. Valeurs propres de f

1. M est réelle symétrique : par le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.

2. Des vecteurs propres d'une matrice symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux : w ⟂ v, soit Σ x_i = 0. Alors φ(w) = (Σ x_i)v = 0.

3. f²(w) = λ²w et f²(w) = φ(w) − f(w) + (σ − 1)w = (−λ + σ − 1)w. Comme w ≠ 0 : λ² + λ + 1 − σ = 0.

4. Si seule a était valeur propre (en plus de σ, de multiplicité 1 d'après II.3 et la diagonalisabilité), a serait de multiplicité n − 1 = σ². La trace de M est nulle (diagonale nulle) : σ + σ²a = 0, donc a = −1/σ. En reportant dans (E) : 1/σ² − 1/σ + 1 − σ = 0, soit 1 − σ + σ² − σ³ = 0, c'est-à-dire (1 − σ)(1 + σ²) = 0, donc σ = 1 : impossible puisque σ ≥ 2.

IV. Relation entre r, s, a, b et σ

On a a + b = −1, ab = 1 − σ ; M étant diagonalisable, 1 + r + s = n, donc r + s = σ² ; la trace donne σ + ra + sb = 0.

1. (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 1 − 4(1 − σ) = 4σ − 3.

2. (r s ; 1 1)·(a 1 ; b 1) = (ra + sb, r + s ; a + b, 2) = (−σ, σ² ; −1, 2).

3. En prenant les déterminants : (r − s)(a − b) = −2σ + σ², soit (r − s)(a − b) = σ(σ − 2).

4. Comme a ≠ b, r = s ⇔ σ(σ − 2) = 0 ⇔ σ = 2 (σ ≥ 2). Alors r = s = σ²/2 = 2.

V. Cas a − b ∉ ℚ

1. Si r ≠ s, alors a − b = σ(σ − 2)/(r − s) serait rationnel : contradiction. Donc r = s, puis d'après IV.4 σ = 2 et n = σ² + 1 = 5. (On vérifie : a − b = √5 ∉ ℚ.)

2. a et b sont les racines de x² + x − 1 = 0 : a = (−1 + √5)/2, b = (−1 − √5)/2. M est semblable à

D = diag(2, (−1 + √5)/2, (−1 + √5)/2, (−1 − √5)/2, (−1 − √5)/2).

(Exemple : la matrice d'adjacence du pentagone vérifie (P) et a exactement ce spectre.)