Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle ingénieur pour les titulaires du DEUG — École Hassania des Travaux Publics (EHTP) — session du 13 juillet 2023 — épreuve de mathématiques

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Ecole Hassania des Travaux Publics _ 2022-2024
Concours d'Accès en Première Année
Epreuve de Mathématiques
‏م‎ 13/07/2023 à 09h
Durée :3h
L'usage de calculatrices est interdit
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend trois pages.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées).
Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
PARTIE I
1. On considère :
- Une suite (wn)nex de réels strictement positifs vérifiant < ‏ولا مجر‎ = 1
- Une suite (an }nen de réels telle que D 9 ‏يدون‎ > +00
Vérifier que la fonction 2 — ‏مرك = (ع)ء0‎ Wn(an - x}? est bien définie sur R et atteint son minimum.
Déterminer ce minimum.
2. On considère une fonction f continue réelle de carré intégrable sur l'intervalle [0,1]
Vérifier que la fonction ‏ج ع‎ Dy(x) = fé(f(t) - z)?dt est bien définie sur R et atteint son minimum.
Déterminer ce minimum.
PARTIE II
Soit x un nombre réel strictement positif. Soient u et v deux nombres réels tels que 0 > u > vw.
١ 1. Que vaut [7 #7-1dt?
+ 2. Justifier que l'intégrale £ 12-10: converge absolument. Quelle est sa valeur ?
' 3. Démontrer que l'intégrale [9 #7le-tdt converge absolument.
1! 4. Démontrer que l'intégrale £ In(t)t®-le-tdt converge absolument.
5. On suppose que 2 € [u, v].
_e. Justifier que [{In(t))/t®-1e-t| > (In(#))2#“-1, pour tout + dans J0,1].

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ع سد اسمس امه ‎ISLE ESSAIS AU‏
- Ecole Hassania des Travaux Publics 2022-2023 ٠
b. Démontrer que l'intégrale [4 (In(t))?#*-1e-tdt converge absolument.
< 6. Soit F lepplication définie, pour x nombre réel strictement positif, par :
1
F(a) = Î ‏اللا‎
‎0
Démontrer que F définit une fonction de classe 02 sur ]0,+co[. Expliciter sous forme d’intégrale sa dérivée
et sa dérivée seconde. On citera explicitement le théorème utilisé.
7. Déterminer la limite lorsque # tend vers +co de (In(t))?t7-1e”t/2.
8. En déduire que :
a. L'intégrale ‏للحت أو‎ converge absolument.
b. L'intégrale ‏قر‎ In(tjé®-le-tdt converge absolument.
©. L'intégrale T° (n(t))#—le-tat converge absoluinent.
9. Soit © l'application définie, pour ‏ع‎ nombre réel strictement positif, par :
+00
G(z)= Î 2-1 ‏يوا‎
‎1
Démontrer que © définit une fonction de classe C2 sur [0, +oo. Expliciter sous forme d’intégrale sa dérivée
et sa dérivée seconde.
PARTIE III
Rest l'enserble des nombres réels et n un entier neturel, n > 1.
T0, Tis*"*, Zn sont des éléments de R deux à deux distincts.
R{X] est l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
R,[X] est l'ensemble des éléments de R[X] de degré au plus égal à n.
Pour tout k appartenant à {0,1,-:: ,n}, on considère le polynôme F4 défini par :
X- 217
Pr =
k— Ti
© شور
1. Pour k et à éléments de {0,1,-:: ,n}, calculer P;(xi).
2. Montrer que (Po, 21.00٠ , PA) est un système libre de R,[X]. Que peut-on en déduire? :
‎————"—"—"—————-#û—‏ سس سس سن لسلللسساسللسسيت. . .. ا
‎FT‏

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2022-2023
0-001 تفع سحت
2.806 Q un dément de Rh[X], Démontrer que Q = XE_0 ‏ا‎ à
4. Pont, m élément de {1,2,-.. ,n}, on pose ‏و2327 = دوك‎ 225: )0(. Calculer Sim.
Les ucstiôns 5 et 6 qui suivent sont indépendantes l’une de l’autre.
5. Dans cetie question, Q ‏اقم‎ un élément de R[X]. On pose 9:29 - ‏م2‎ 9)
a. Démontrer que ‏ر‎ admet au Moins n + 1 racines réelles.
b. On pose Sn : ‏مد ب‎ 2 #1 P;(0). Exprimer $,:1 en fonction de n et de 11-02
6. Dans cette question, 9 est un polynôme unitaire de R, [X] de degré égal à n.
Zn. Pour k
On suppose de plus que ‏وهر 21.500 رو‎ sont des entiers relatifs vérifiant ‏وه > 21 > وع‎ > ٠
élément de {0,1,2,... ,n}, on note = [Toute — 55) :
a. Prouver que | y, [> kl(n _ k)!
b. Déduire de la question 3 que DK Eu =1
nl
€ Soit M = Maxock<n | 9)2( |. Démontrer que M > >r
PARTIE IV
On note :
- À : une matrice carrée d'ordre n > 0 à cocfficients complexes.
- 1, : la matrice identité carrée d'ordre n > 0 ayant des 1 sur la diagonale et des zéros ailleurs
On considère la matrice M4 carrée d’ordre 2n à coefficients complexes définie per blocs de la façon
suivante :
0 7+
MA =
A 0
On suppose que la matrice À est diagonalisable et inversible.
7 1. Exprimer la matrice M2 en fonction de A.
* 2. Démontrer que la matrice M4 est diagonalisable.
* 3. Montrer que la matrice M3 est inversible.
* 4. En déduire, en citant le théorème utilisé, que la matrice M4 est diagonalisable
mn
.. FIN ee