Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle ingénieur pour les titulaires du DEUG — École Hassania des Travaux Publics — session du 07 juillet 2018 — épreuve de mathématiques

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Exercice : Dans ‏اع‎ exercice IK désigne MR ou © ct E est le IK-cspace vectoriel égal à
IK% muni de sa base canonique B = (e1,62,63). Pour tout endomorphisme f de ‏.7ل‎ on note
f9 = id, ct pour tout entier naturel &, FFF = fo f. On note Ma(IK) l'espace des matrices
d'ordre 3 à cocfhicients dans ÆK.
On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre ‏م‎ avec p € IN", s'il existe a € E
vérifiant les trois conditions ‏خم‎ > 5
— f(a)=a;
— La famille (a, f(a),..., f7-'(a)) est génératrice de £;
— La famille (a, f(a),..., fP-'(a)) est constituée d'éléments deux à deux distincts.
Dans ce cas la famille (a, f(a),..., fP-"(a)) est appelée un cycle de f. |
3
3 —2 2
Dans cet exercice. on considère l'endomorphisme f de Æ de matrice À = 2 1 2
2 1 1
relativement à la base B.
1. (a) Vérifier que 8 = (e1, f (e1). f? (c1)) est une base de E. |
(b) Calculer f# (e1) et en déduire la matrice de f relativement à la base 3
(c) En déduire que f# = idg. (On ne demande pas de calculer Aî)
(3) En déduire que f est cyclique d'ordre 4 et que (er, f (er), ‏ملت‎ 73 (e1)) est un
cycle de f.
2. (ai Calculer le polynôme caractéristique de f.
(b) Si X =€, donner un vecteur non nul w tel que f(w) = iw. (On notera w = ‏بج رن‎
avec uw et ‏وما‎ deux vecteurs à coefficients réels.)
(ec) Calculer f (ur) et f(w2) et en déduire une base ‏حرق‎ (ui, vo. u3) de [93 telle que
—1 0 ‏ا‎
‎la matrice de f dans cette base est la matrice 0 0 1 dans Ma(IR).
0 -1 0
3. Soit y une forme bilinéaire symétrique sur 1/13 qui vérifie g(f(x), f(y)) = ‏بلعم‎
‎pour tous x, y € IRS. x |
(a) Montrer que la base B1 est orthogonale par rapport à 4.
(b) Donner la matrice de ‏م‎ dans Bi en fonction de ‏م‎ (ui. v1) et ‏م‎ (vo, vo).
)0 Donner une condition nécessei - - suffisante pour que ÿ soit définie positive.
(d) On suppose que ‏م‎ est définie positive. Si on se donne un endomorphisme ‏و‎ de 11
de matrice M relativement à la base B;, donner la matrice de l'endomorphisme
adjoint de ‏و‎ relativement à la base PB.
mt

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Problème ;
Partie Ï
: 0. : + 7 4 ‏م ل‎ 8
Dans cette partie, on s'intéresse au calcul de l'intégrale de Gauss définie par
+00
I = Î e_ 8 dt.
0
—zi
. Justifier l'existence de I.
est intégrable su: ]0, +oc{ si et seulement si
té +
z>0.
—zt
4-0 e
On pose alors tout x > 0, = —=—— dt
n pose alors pour tout x > 0, f(x) . Ur)
. Montrer que f est continue sur ‏بالا‎
‎. Montrer que f(0) = x.
. Montrer que ‏()ر الل‎ <
. Montrer que f est de classe 01 sur 115.
ناي +
. On pose a = Î ad Vérifier ‏بو‎ f est une solution de l équation différenticlle
+ 01)
. Résoudre l'équation différentielle (1). (On donnera une solution particulière sous forme
intégrale.)
2 at
. En aéduire que pour tout x >0,e*f(x) =7T - ‏ه‎ Î ‏ب‎ 02
o VE
Déterminer alors la valeur de a.
En déauire que J = 3
Partie 1
dx
(x? + 1)##1 °
. Justifier l'existence de I,..
. Calculer 10.
. Montrer que la suite ‏مدمل1)‎ est décroissante.
. Montrer que lim 17, = 0.
n-++00
. Montrer que la série 5(—1)"1, ei convergente et calculer sa somme.
. Montrer que la série 5° 1, est divergente.
- Montrer que pour tout entier n > 1,
. Montrer que la fonction tr ‏د‎
‎١ /1)+1(
10.
11.
+oo
Pour tout n € IN, on pose 1, = Î
0

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بجا لإاإ[>ا>> <><>>>>>>جن>ن>>>>><جتنحتت+<:<>->>>>ج>ج<<<<>>ج<<<>>>>->>>حج ‎nié‏
8. En déduire que, pour tout n € IN,
9. Montrer que pour tout n € IN,
dt
+00
Vn+1llh= Î 7 po :
(: + n+l )
23 7 |
10. Pour t > 0 fixé, étudier les variations de la fonction ‏جرع‎ rin fi + 5 sur JR. |
11. En déduire que
2 1-1 1
‏ب‎ < : |
ee (+5) £5e
12. Montrer alors que lim Vn+11,= ‏كلا‎
‎n—++00 2
13. En déduire la formule de Wallis
2 (n!)? 1 |
= Ji LUNA ‏ا[‎ 2 |
Partie III
Pour tout entier non : al n, on pose
Un = 6 + 53 nn-n-Imi(n!).
1. Montrer aue
Un — Un] 12 2 3(
2. En déduire que la suite (u:), est convergente.
On note 1 sa limite.
3. Montrer que n! + ‏ع تراج ع‎
4. En utilisant la formule (2), montrer que ! = -; In (2).
5. En déduire la formule de Stirling :
)4( | ب وتو ‎nl‏
ct en utilisant l'équivalence donnée par la formule
6. En remarquant que — ‏بس‎
‎9 900 2 77-1
(3), montrer que >
1
7. En déduire la formule asymptotique
nl = n"c"V2rn (1