Modèle de concours d'accès en première année — École Hassania des Travaux Publics (EHTP) — 11/07/2024 — Épreuve de mathématiques

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en première année du cycle ingénieur de l'École Hassania des Travaux Publics (EHTP), année universitaire 2023-2024, d'une durée de 3 heures, calculatrices interdites, sur quatre pages. C'est une composition à rédiger, en deux problèmes indépendants : un problème d'analyse (étude d'une fonction définie par une intégrale généralisée à paramètre, convergence, régularité C^k, expression explicite, puis nature d'intégrales I_k et J_n) et un problème d'algèbre linéaire (matrice M vérifiant une propriété (P), endomorphisme associé, valeurs propres, diagonalisation). Le texte extrait du scan est très fortement dégradé : les expressions des fonctions, les bornes et les coefficients de la matrice sont illisibles. Je ne fabriquerai donc aucun résultat numérique ; voici une correction méthodologique proposée, avec les calculs qui, eux, sont parfaitement identifiables.

💡 Avant de commencer : l'énoncé prévient lui-même que « les copies mal présentées seront pénalisées » — à l'EHTP, la rédaction est notée. Trois réflexes. (1) Annoncez le théorème avant de l'appliquer et vérifiez ses hypothèses une par une ; un théorème de domination invoqué sans exhiber la fonction dominante ne vaut rien. (2) Le sujet est une chaîne : si une question résiste, écrivez « on admet le résultat de la question précédente » et continuez — les points de la suite restent accessibles. (3) Partagez le temps en deux blocs d'environ 1 h 20 (analyse, puis algèbre) et gardez 20 minutes de relecture ; l'algèbre est souvent la partie la plus rentable car les questions y sont courtes.

Problème I — Analyse : la fonction g définie par une intégrale généralisée

I. Étude des fonctions auxiliaires et obtention des encadrements

• Les deux premières questions demandent d'établir des inégalités du type « pour tout t > 0, 0 ≤ h(t) ≤ … ». La méthode unique : poser la fonction différence δ(t) = membre de droite − membre de gauche, calculer δ′(t), étudier son signe, en déduire la monotonie de δ, puis conclure sur son signe à partir d'une valeur ou d'une limite au bord (le plus souvent δ(0⁺) = 0).
• Ne traitez jamais ces questions comme un hors-d'œuvre : les encadrements obtenus ici sont l'outil de comparaison qui servira en partie II pour la convergence et en partie IV pour la domination. Encadrez-les dans votre copie pour pouvoir y renvoyer.
• Inégalités classiques à connaître par cœur pour ce type de sujet : pour t > 0, t/(1+t) ≤ ln(1+t) ≤ t ; 1 + t ≤ e^t ; 1 − t²/2 ≤ cos t ≤ 1 ; t − t³/6 ≤ sin t ≤ t. Le sujet fait manifestement intervenir une fonction du type 1 − cos t au voisinage de 0, dont l'équivalent 1 − cos t ~ t²/2 règle à lui seul la question de la convergence en 0.

II. Existence de g(x) : convergence de l'intégrale généralisée

• Découpez toujours l'intégrale en deux, ∫₀¹ et ∫₁^+∞ : les deux singularités se traitent par des arguments différents, et l'oubli de l'une des deux coûte la moitié des points.
• En 0 : cherchez un équivalent de l'intégrande et concluez par le critère de Riemann : ∫₀¹ dt/t^α converge si et seulement si α < 1. Souvent la singularité est seulement apparente (fonction prolongeable par continuité) : dites-le, c'est un point.
• En +∞ : majoration par une fonction intégrable, puis critère de Riemann : ∫₁^+∞ dt/t^α converge si et seulement si α > 1. Si le terme dominant est du type e^−xt, la convergence est immédiate pour x > 0 et c'est précisément ce qui délimite le domaine de définition de g.
• Concluez explicitement : « l'intégrale converge pour tout x de ]0 ; +∞[, donc g est définie sur ]0 ; +∞[ ».

III. Limite de g — IV. Continuité et caractère C^k

• Pour la monotonie, étudiez le signe de l'intégrande en fonction de x ; le signe se transmet à l'intégrale. Une fonction monotone et bornée admet une limite : c'est l'argument attendu pour prouver l'existence de la limite avant même de la calculer.
• Pour la continuité : théorème de continuité sous le signe intégral. Hypothèses à vérifier et à écrire : t ↦ f(x,t) continue par morceaux et intégrable, x ↦ f(x,t) continue, et domination |f(x,t)| ≤ φ(t) avec φ intégrable et indépendante de x — sur tout segment [a,b] ⊂ ]0;+∞[ s'il n'y a pas de domination globale. La domination locale suffit toujours pour une propriété locale : dites-le.
• Pour le caractère C¹ : théorème de dérivation sous le signe intégral (Leibniz). Mêmes hypothèses appliquées à ∂f/∂x, et alors g′(x) = ∫ ∂f/∂x (x,t) dt. Pour C^k, on itère par récurrence : c'est une récurrence, rédigez-la comme telle (initialisation, hérédité, conclusion).
• Pour la limite en +∞ : théorème de convergence dominée appliqué à une suite x_n → +∞, ou encadrement direct. La valeur obtenue est presque toujours 0 lorsque l'intégrande tend simplement vers 0 en étant dominé.
• Pour la dérivabilité en 0 (dernière question de la partie IV) : le théorème ne s'applique plus au bord, il faut revenir à la définition, étudier le taux d'accroissement [g(x) − g(0)]/x et sa limite. Une réponse négative est parfaitement recevable si vous exhibez une limite infinie.

V. Expression explicite de g — primitive de ln(t³ + 1)

Cette question-là est lisible et entièrement calculable. Une intégration par parties avec u = ln(t³+1) et v′ = 1 donne :

• ∫ ln(t³+1) dt = t·ln(t³+1) − ∫ 3t³/(t³+1) dt.
• On écrit 3t³/(t³+1) = 3 − 3/(t³+1), d'où ∫ ln(t³+1) dt = t·ln(t³+1) − 3t + 3∫ dt/(t³+1).
• Décomposition en éléments simples : t³ + 1 = (t+1)(t² − t + 1), et 1/(t³+1) = (1/3)·1/(t+1) + (2 − t)/(3(t² − t + 1)). On le vérifie en t = −1 pour le coefficient 1/3, puis par identification des coefficients de t² et du terme constant.
• Pour le second morceau, on fait apparaître la dérivée du dénominateur : 2 − t = −½(2t − 1) + 3/2, puis on complète le carré t² − t + 1 = (t − ½)² + 3/4, ce qui donne un arctangente.
• Résultat final, valable sur ]−1 ; +∞[ :
  ∫ ln(t³+1) dt = t·ln(t³+1) − 3t + ln(t+1) − ½·ln(t² − t + 1) + √3·arctan((2t − 1)/√3) + C.
• Contrôle indispensable en trois secondes : dérivez mentalement le terme t·ln(t³+1) et vérifiez que les trois derniers termes reconstituent bien 3/(t³+1). Un correcteur d'EHTP valorise ce contrôle écrit d'une ligne.

• La limite demandée en V.1 fait intervenir une expression [illisible dans le scan] : je ne devinerai pas laquelle. Les deux cas de figure classiques se traitent ainsi — si c'est x·ln(x) quand x → +∞, la limite est +∞ par croissances comparées ; si c'est x·ln(1 + a/x) ou x·sin(1/x), la limite est finie et s'obtient par développement limité en 1/x. Dans les deux cas, posez h = 1/x et développez à l'ordre 2.
• Une fois la primitive connue, l'expression de g(x) s'obtient par intégration par parties sur l'intégrale généralisée, en justifiant que le terme tout intégré a bien une limite finie aux deux bornes — justification qui vaut des points à elle seule.

VI à IX. Intégrales I_k et J_n

• Nature selon l'entier relatif k : déterminez l'équivalent de l'intégrande en 0 et en +∞, puis appliquez Riemann de chaque côté. La réponse est toujours une condition encadrée sur k, du type « converge si et seulement si k₁ < k < k₂ » — et il faut discuter les deux bornes, pas une seule.
• Relation de récurrence : une intégration par parties bien choisie relie J_n+1 à J_n (ou I_k+2 à I_k). Précisez à chaque fois le domaine de validité de la relation, puis déduisez l'existence pour les indices impairs par récurrence, comme le demande la partie IX.
• Lien avec g : la partie VII demande une relation entre J_n et g(0). C'est un changement de variable ou un passage à la limite x → 0⁺ dans l'expression explicite trouvée en V — ne repartez pas de zéro, réutilisez le travail déjà fait.

Problème II — Algèbre linéaire : la matrice M, l'endomorphisme f et la diagonalisation

1. Expression de M² et polynôme annulateur

• Calculez les coefficients de M² par le terme général : (M²)_ij = Σ_k m_ik m_kj, en séparant le cas i = j du cas i ≠ j. La propriété (P) de l'énoncé (un coefficient particulier par ligne, les autres nuls ou égaux à 1) rend cette somme calculable à la main.
• L'objectif est d'aboutir à une relation M² = M + d·I_n avec d entier à déterminer. Cette égalité est la clé de tout le reste du problème : encadrez-la.

2. Image, noyau, valeurs propres

• Im(f) se détermine par le rang (colonnes génératrices), et dim Ker(f) s'en déduit par le théorème du rang : dim Im f + dim Ker f = n.
• Pour montrer qu'un réel λ est valeur propre, il faut exhiber un vecteur propre non nul vérifiant f(u) = λu, puis décrire le sous-espace propre E_λ = Ker(M − λI) par résolution du système.
• Le vecteur dont toutes les coordonnées valent 1 est presque toujours vecteur propre dans ce type de matrice : testez-le en premier, le calcul prend une ligne.

3. Équation caractéristique (E) et argument par la trace

• De M² = M + d·I on tire que le polynôme X² − X − d est annulateur de M. Or toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur : les valeurs propres de M sont donc parmi les racines a et b de (E) : λ² − λ − d = 0. C'est exactement ce que demande la question 3.
• La question 4 propose de supposer qu'une seule des deux racines est valeur propre, puis d'aboutir à une contradiction. Le levier est la trace : la trace de M est la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité. Si a était seule valeur propre, on aurait tr(M) = n·a, ce qui impose à a une valeur incompatible avec (E) ou avec la valeur de la trace lue directement sur la matrice. Conclusion : a et b sont toutes deux valeurs propres.
• Comme X² − X − d est annulateur et scindé à racines simples (dès que son discriminant 1 + 4d est non nul), M est diagonalisable : c'est le critère à citer nommément.

4. Relations sur les dimensions r et s, puis diagonalisation

• Notez r = dim Ker(M − a·I) et s = dim Ker(M − b·I). Deux équations suffisent à les déterminer : r + s = n (diagonalisabilité) et r·a + s·b = tr(M) (trace). C'est un système linéaire 2×2 en (r, s) : résolvez-le et vérifiez que les solutions sont bien des entiers positifs — la vérification fait partie de la réponse.
• Le déterminant fournit une troisième relation de contrôle : det(M) = a^r·b^s.
• La matrice diagonale semblable à M est alors D = diag(a,…,a,b,…,b) avec a répété r fois et b répété s fois, et M = PDP⁻¹ où les colonnes de P sont une base de vecteurs propres. Les coefficients numériques exacts dépendent des données de l'énoncé, [illisibles dans le scan] : la méthode ci-dessus les livre dès qu'on dispose du sujet original.

💡 Pour préparer le concours EHTP : le sujet d'analyse est, d'une année sur l'autre, presque toujours une intégrale à paramètre — maîtrisez à fond le triptyque continuité / dérivation sous le signe intégral / convergence dominée, avec la rédaction complète des hypothèses de domination, plus les intégrales de Riemann et de Bertrand, les équivalents usuels et l'intégration par parties sur intervalle non borné. En algèbre, révisez : polynôme annulateur et polynôme minimal, critère de diagonalisabilité par polynôme scindé à racines simples, théorème du rang, trace et déterminant comme fonctions symétriques des valeurs propres, matrices à structure particulière (J la matrice de coefficients tous égaux à 1, dont J² = nJ, et les matrices circulantes ou de permutation). Entraînez-vous sans calculatrice et chronométrez-vous : à ce concours, la vitesse de calcul à la main est discriminante autant que la connaissance du cours. Enfin, soignez la copie — les points de présentation annoncés dans l'énoncé sont réellement retirés.