Modèle de concours : Ingénieurs 2023

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Concours d'Accès en Première Anale
Epreuve de Mathématiques
11/07/2024 & 001
Durée :3
L'usage de calculatrices est Interdit
Les candidats doivent vérifier que le sujet compered quatre page
3123-3134
-Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction (es spies de l
présentées seront pénalisées).
-Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui semble être une eeur d'
sa cople et devra porcie sa composition en expliquant les raons des initiatives qu'
prendre.
Le sujet compte de particip
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Natations
Pour tout nombre réel z tel e
de cette intégrale.
Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale génitaliale for d
Jsa valeur.
On désigne par (respectivement ) la fonction définie sur 30+ off)-1+)
(1)--1+cos(t)).
1. Etude des fonctions et
1. Etudier la fonction d, en déduire qu'il existe un sonder viel a tel que, pour tout
strictement positif, on alt legalité: 0
2. Etudier la fonction v, en déduire qu'il existe un somber sel tel que, pour tout beril
"strictement positif, on ait l'inégalité:0
II. Existence de la fonction y sur 10; +oc
1. Etablir la convergence de l'intégrale généralisée
2. En déduire que glz) existe pour tout z appartenant à +00
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2023-2024
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III. Limite de la fonctionn
1. Pia le signe de ate)) our 55 En déduire que la fonction y admet uit
2. De la vale de
IV. Caractère
de la fonction 3.
1. Montar que la fonetion gt conti+
2. Montrer que la fonction et de classe C sur 10+00
3. Montrer que la fonction
'admet une limite finie (que l'on précise) en +00
4. Montrer que la fonction
est de classe C sur 10+00/
& Expliciter
(e) pour appartenant à 10+
6. Expliciter (2) pour appartenant à 10+oel. La fonction est-elle dérivable en 07
V. Expression explicite de fonction g(x).
1. Déterminer la limite de zin() lorsque x tend vers +00
2. Expliciter une primitive de la fonction: Inta³ +1).
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3. Expliciter g(x) pour z appartenant à 10:+ool.
4. Déterminer (0).
VI. Etude de
Justifier la convergence de l'intégrale généralisée et pour tout entier naturel non sul m
Pour tout entler relatif & tel que l
intégrale.
VII. Etude de J.
Justifier l'existence de J, et établir une relation entre J, et g(0).
VIII. Etude de l'existence de
Préciser la nature de l'intégrale généralisée 1, selon la valeur de l'entier relatif k.
IX. Etude de la nature de J...
Pour tout x appartenant à ff: +ocf et tout entler relatif k, on note (2)-dt.
1. Exprimer, pour tout entier naturel nou nul m et pour tout nombre réel z appartenant à [+of
l'intégrale eindt à l'aide des intégrales (z).
2. En déduire l'existence de Jap+1 pour tout entier naturel p
3. Quelle est la nature de l'intégrale généralisée fedt pour pentier naturel non nul?
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PARTIE
Notations
Os digne par R. Tensemble des obers is, per N Tren de beste
l'ensemble des nombres rationnels. On note 3 ble N-(East
non note (1.2.) Temble des entiers naturels & tels que 15
Per a entier naturel non al, on note M.(R)(respectivement MR
raries & ligues (respectivement l'espace vectoriel des matriens elong
Blast dont une strice A, la notation A (a) signille que au est le coefficient de la ligue de la
lej de la matrice A
Ou note, la matrice unité de M.(R) c'est-&-dire, telle que (n) :
Pour tout i, 1 et pour tout
Os e J, matrice carrée de M.(R) dant to les ofits stipà D
de Ma) dok o les coefficients at x 11.
L'espace vectoriel Rest append à la base cancelque fera
Scient et des saber estis el que 255-1
On dit qu'ice () M(R) wide la prope
e
2. Pour
(1,2)
1. Chaque se de Mf comportement
Pr() (1.2) (1.2)
este
conté à 8
le coefficient my s
(1.2) tel quem 1. L'utier & est ales unique
On peuter jification que de la proprité (P):
Sail (m) M.(R). Os ppe que la matrice 3 virile la proprii (P)
1. Expremio de 3. On note -(e)
1. Par (1.2), calculer les coefficients
2 Pour (€ (1.2) (1,2,) aj terminer le coefficient a selon la valeur de
3. Montrer que M-M+d, oh d est un somber aller que l'on déterminers
Das Isite, on sote (spectivement of l'endomorphisme de R", de matrice M (respectivement de
atrice J.), relativement à la base canonique (e) de R. On note id Tendomorphisme entité
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de R
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Solte le vecteur de R dont la matrice colonne des condos atit à la base canonique de R
est K
11. Relation entre set.
1. Déterminer Im(o), l'image de l'application line
2. Soit un vecteur de ou de faid. Es calculsat (f), montrer que ustedlinaire à
3. Munter que est une valeur proper de / et déterminer le som-espace propre correspondant.
4. Déduire des questions précédentes, l'égalité
111. Valeurs propres de J.
+1
Dans la suite, & at une valeur propre de Javee 3 n vecteur propre de / aancié à
la valeur propre
1. Justifier l'afficmation: existe se e de Rede de secteurs propres de J
2. Justifier l'égalité
-
3. Montrer que à est racine de l'équation (E):
17
+41-0-0
4. On note a et b les deux racines de l'équation (E). Ou suppose qu'une seule de ces racines et valeur
propre de f, par exemple a. En utilisant la trace de l'endomorphisme f. exprimer a en fonetka de
e. En déduire une impossibilité
Les deux racines a et b de l'équation (E) sont done des valeurs propres de J. Dans la noite, on suppose
IV. Relation portant sur r ,, bet a.
On noter la dimension du noyau de J-a id et la dimension du neu de J-bid.
1. Exprimer (a - b) en fonction de e.
en fonction de .
*(:) (:) -
2. Exprimer le produit matriciel
3. En déduire (-a)(a - b) en fonction dee.
4. Pour quelle valeur de er a-t-ours? Que valent alors reta?
V. On caractérise la matrice M par une matrice diagonale semblable à Af, et on soppose que a-Q
1. Montrer que rs. En déduire et n
2. Déterminer a et b et donner une matrice diagonale semblable à M.
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FIN..
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