Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2002 — Épreuve : Mathématiques

Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 26 juin 2002. Durée : 3 heures. Deux exercices : l'intégrale de Dirichlet ∫sin t/t^α et son calcul par une intégrale à paramètre, puis les endomorphismes cycliques. Voici une correction proposée.

💡 Le jury valorise « la concision et la précision » et autorise à admettre un résultat pour continuer : n'hésitez pas à sauter une question bloquante en le signalant.

Exercice 1

I)

• 1) α > 1. En +∞ : |sin t/t^α| ≤ 1/t^α, intégrable. En 0 : sin t/t^α ~ t^1−α > 0, intégrable ⇔ 1 − α > −1. Conclusion : convergence (absolue) pour 1 < α < 2, divergence pour α ≥ 2 (problème en 0).
• 2) α ∈ ]0, 1]. En 0 : sin t/t^α ~ t^1−α avec 1 − α ≥ 0, la fonction se prolonge par continuité. En +∞, par parties sur [1, X] : ∫₁^X sin t/t^α dt = [−cos t/t^α]₁^X − α∫₁^X cos t/t^α+1 dt. Le crochet a une limite (cos X/X^α → 0) et |cos t/t^α+1| ≤ 1/t^α+1 est intégrable (α + 1 > 1). L'intégrale converge.
• 3) Sur [nπ, (n+1)π], sin t garde un signe constant, donc |∫ sin t/t^α| = ∫|sin t|/t^α. Avec 1/((n+1)π)^α ≤ 1/t^α ≤ 1/(nπ)^α et ∫_nπ^(n+1)π|sin t| dt = 2, on obtient l'encadrement.
  Conséquence : ∫₀^Nπ|sin t/t^α| ≥ Σ_n=1^N−1 2/((n+1)^απ^α), série de Riemann divergente pour α ≤ 1. ∫|sin t/t^α| diverge pour α ∈ ]0,1] (intégrale semi-convergente) et converge pour 1 < α < 2.

II) F(x) = ∫₀^+∞ e^−xt sin t/t dt

• 1) x = 0 : c'est I.2 avec α = 1. x > 0 : l'intégrande se prolonge en 0 (limite 1) et |e^−xt sin t/t| ≤ e^−xt, intégrable. F(x) existe et, par la relation de Chasles, F(x) = Σ_n≥0 u_n(x).
• 2) a) Comme |sin t/t| ≤ 1 : pour x ≥ a, |u_n(x)| ≤ ∫_nπ^(n+1)π e^−at dt ≤ π e^−anπ, terme d'une série géométrique convergente : convergence normale sur [a, +∞[.
• 2) b) |u_n(x)| = ∫ e^−xt|sin t|/t dt croît vers |u_n(0)| quand x → 0⁺, donc sup_]0,+∞[|u_n| = |u_n(0)| ≥ 2/((n+1)π) (I.3, α = 1), terme d'une série divergente : pas de convergence normale sur ]0, +∞[.
• 3) a) u_n(x) est du signe de (−1)ⁿ. Par t ↦ t + π : |u_n+1(x)| = ∫_nπ^(n+1)π e^−x(t+π)|sin t|/(t+π) dt ≤ |u_n(x)|, et u_n(x) → 0. Critère des séries alternées : |Σ_k≥n+1 u_k(x)| ≤ |u_n+1(x)| ≤ |u_n(x)|.
• 3) b) Le reste vérifie, pour tout x ≥ 0 (x = 0 compris, même argument) : |R_n(x)| ≤ |u_n(0)| ≤ ∫_nπ^(n+1)π dt/t ≤ 1/n → 0, majoration indépendante de x : convergence uniforme sur [0, +∞[.
• 3) c) Théorème : si les u_n sont continues sur I et si Σu_n converge uniformément sur I, la somme est continue sur I. Chaque u_n est continue (intégrale sur un segment d'une fonction continue de (x,t)), donc F est continue sur [0, +∞[. Limite : |F(x)| ≤ ∫₀^∞ e^−xt dt = 1/x, donc F(x) → 0 en +∞.
• 4) Sur [a, +∞[ (a > 0), ∂/∂x(e^−xt sin t/t) = −e^−xt sin t, continue et dominée par e^−at intégrable : dérivation sous ∫, F'(x) = −∫₀^∞ e^−xt sin t dt = −Im(1/(x − i)) = −1/(1 + x²).
• 5) F(x) = C − arctan x sur ]0, +∞[ ; F → 0 en +∞ donne C = π/2 : F(x) = π/2 − arctan x. Par continuité en 0 : ∫₀^+∞ sin t/t dt = F(0) = π/2, et, l'intégrande étant paire, ∫_−∞^+∞ sin t/t dt = π.

Exercice 2

Matrice de f dans B (colonnes = images) : M = [[1, 2, 2], [1, 1, 2], [−2, −2, −3]].

I)

Calculs : f(e₁) = (1, 1, −2), f²(e₁) = M(1,1,−2) = (−1, −2, 2), f³(e₁) = (−1, 1, 0), f⁴(e₁) = (1, 0, 0) = e₁.

• 1) det(e₁, f(e₁), f²(e₁)) = 1·(1·2 − (−2)(−2)) = −2 ≠ 0 : base. En écrivant f³(e₁) = ae₁ + bf(e₁) + cf²(e₁) : b − 2c = 1, −2b + 2c = 0, a + b − c = −1, d'où a = b = c = −1. Matrice : [[0, 0, −1], [1, 0, −1], [0, 1, −1]] (polynôme caractéristique X³ + X² + X + 1 = (X + 1)(X² + 1)).
• 2) Avec x₀ = e₁, p = 4 : (i) f⁴(e₁) = e₁ ; (ii) la famille contient la base de 1) ; (iii) f(e₁), f²(e₁), f³(e₁) ≠ e₁. f est cyclique d'ordre 4.
• 3) f⁴ commute avec f : f⁴(f^k(e₁)) = f^k(f⁴(e₁)) = f^k(e₁) sur une base, donc f⁴ = id. X⁴ − 1 est annulateur, scindé à racines simples sur ℂ : f est diagonalisable.
• 4) Pour λ⁴ = 1, v_λ = Σ_k=0³ λ^−kf^k(e₁) vérifie f(v_λ) = λv_λ. On trouve v₁ = 0 (1 n'est pas valeur propre) et :
  • λ = −1 : (0, 1, −1) (M(0,1,−1) = (0,−1,1)) ;
  • λ = i : (1 − i, 1, −1 + i) (vérification : M v = (1 + i, i, −1 − i) = i v) ;
  • λ = −i : (1 + i, 1, −1 − i) (conjugué).

II)

• 1) Une famille génératrice de p vecteurs : n ≤ p.
• 2) f^p(f^k(x₀)) = f^k(f^p(x₀)) = f^k(x₀) sur une famille génératrice : f^p = id. Donc f∘f^p−1 = f^p−1∘f = id : f bijective, f⁻¹ = f^p−1.
• 3) a) Soit F = Vect(x₀, …, f^m−1(x₀)). Par maximalité de m, f^m(x₀) ∈ F, donc f(F) ⊂ F ; par récurrence f^k(x₀) ∈ F pour tout k.
• 3) b) E est engendré par les f^k(x₀), donc E ⊂ F, F = E et dim F = m : m = n, et (x₀, …, fⁿ⁻¹(x₀)) est une base.
• 4) a) fⁿ et g = Σa_kf^k coïncident en x₀ et commutent avec f, donc coïncident en chaque f^j(x₀) : fⁿ = a₀id + … + a_n−1fⁿ⁻¹.
• 4) b) Matrice compagnon : des 1 sous la diagonale, dernière colonne (a₀, a₁, …, a_n−1), zéros ailleurs.
• 4) c) Dans C − λI, la sous-matrice obtenue en supprimant la 1^re ligne et la dernière colonne est triangulaire supérieure de diagonale (1, …, 1), de déterminant 1 : rg(f − λ id) ≥ n − 1. Donc chaque sous-espace propre est de dimension 1.
• 5) a) Ici p = n, donc fⁿ = id ; si f(v) = λv, v ≠ 0 : v = fⁿ(v) = λⁿv, λⁿ = 1.
• 5) b) fⁿ(x₀) = x₀ : a₀ = 1, a₁ = … = a_n−1 = 0. Matrice de permutation circulaire : 1 en positions (2,1), (3,2), …, (n, n−1) et (1, n), 0 ailleurs.
• 5) c) Polynôme caractéristique Xⁿ − 1, de racines distinctes ω^k (ω = e^2iπ/n, 0 ≤ k ≤ n−1) : f diagonalisable. Vecteurs propres : v_k = Σ_j=0ⁿ⁻¹ ω^−kj f^j(x₀) ; on vérifie f(v_k) = ω^kv_k (le terme d'indice n redonne x₀ car fⁿ(x₀) = x₀ et ω^−kn = 1), et v_k ≠ 0 (coordonnée 1 sur x₀).