Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2010 — Épreuve : Mathématiques

Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 14 juillet 2010. Durée : 2 heures. Deux problèmes : l'équation y' − y = ln x (intégrales généralisées, séries), puis les matrices circulantes 3×3 et les rotations. Voici une correction proposée.

Problème 1 — E : y' − y = ln x, x > 0

1. Solutions de y' − y = 0 : y = ce^x, c ∈ ℝ.
2. En 0, |e^−tln t| ≤ |ln t|, intégrable sur ]0,1] (∫₀¹|ln t|dt = 1) ; l'intégrande est continue ailleurs : l'intégrale existe.
3. Variation de la constante, y = C(x)e^x : C'(x) = e^−xln x, donc C(x) = c + ∫₀^xe^−tln t dt (primitive bien définie par 2). Les solutions sont f_c(x) = ce^x + e^x∫₀^xe^−tln t dt.
4. En 0 : question 2 ; en +∞ : e^−tln t = o(1/t²). L'intégrale converge.
5. f_c(x) = e^x(c + ∫₀^xe^−tln t dt) et la parenthèse tend vers c − α. Si c ≠ α, f_c(x) ~ (c − α)e^x → ±∞ (signe de c − α). Comme f_c(x)/x → ±∞, la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy). (On sait par ailleurs que α = γ, la constante d'Euler ≈ 0,5772.)
6. ∫₀^xe^−tln t dt → 0 et e^x → 1 : lim_x→0 f_c(x) = c.
7. Pour t ≥ x > 0, 0 < e^−t/t ≤ e^−t/x, intégrable sur [x, +∞[ : l'intégrale existe.
8. f_α(x) = e^x(α + ∫₀^xe^−tln t dt) = −e^x∫_x^∞e^−tln t dt. Par parties : ∫_x^∞e^−tln t dt = [−e^−tln t]_x^∞ + ∫_x^∞e^−t/t dt = e^−xln x + ∫_x^∞e^−t/t dt. D'où f_α(x) = −ln x − e^x∫_x^∞e^−t/t dt.
9. 0 ≤ e^x∫_x^∞e^−t/t dt ≤ (e^x/x)∫_x^∞e^−tdt = 1/x → 0, donc f_α(x) ~ −ln x : lim f_α = −∞.
10. f_α(x)/x = −ln x/x − (terme ≤ 1/x²) → 0 : branche parabolique de direction (Ox) (la courbe « s'aplatit », sans asymptote, puisque f_α(x) − 0·x → −∞).
11. tⁿln t est intégrable en 0 (n = 0 : question 2 ; n ≥ 1 : limite 0). Par parties : I_n(x) = xⁿ⁺¹ln x/(n+1) − xⁿ⁺¹/(n+1)².
12. |(−1)ⁿxⁿ⁺¹/((n+1)(n+1)!)| ≤ xⁿ⁺¹/(n+1)!, terme de la série exponentielle : convergence absolue.
13. φ(t) = t ln t est continue sur ]0,x] et tend vers 0 en 0 : prolongée, elle est continue sur le compact [0,x], donc bornée (par exemple M_x = max(1/e, |x ln x|)).
14. Pour t > 0, Σ(−t)^kln t/k! = e^−tln t et Σx^k/k! = e^x (séries exponentielles). Pour k ≥ n + 1 ≥ 1 et t ∈ ]0,x] : |(−t)^kln t/k!| = t^k−1|t ln t|/k! ≤ M_xx^k−1/k!. En intégrant (séries à termes positifs, interversion licite) : |R_n(x)| ≤ M_xΣ_k>nx^k/(k·k!) ≤ M_xΣ_k=n+1^∞x^k/k!.
15. ∫₀^xe^−tln t dt = Σ_k=0ⁿ(−1)^kI_k(x)/k! + R_n(x), et R_n(x) → 0 (reste de la série exponentielle). Avec c = 0 : f₀(x) = e^xΣ_k≥0(−1)^kI_k(x)/k!. En reportant 11 : f₀(x) = (e^x − 1)ln x − e^xΣ_n≥0(−1)ⁿxⁿ⁺¹/((n+1)(n+1)!) (c'est la série de la question 12).
16. Notons S_m = Σ_k=1^m(−1)^k(k−1)!. Alors a_n = (−1)ⁿ(n−1)!/n! + S_n−1/n! = (−1)ⁿ/n + S_n−1/n!. Pour n ≥ 3 : |S_n−1| ≤ (n−2)! + (n−2)·(n−3)! = 2(n−2)! (les n − 2 premiers termes sont chacun ≤ (n−3)!), donc |S_n−1/n!| ≤ 2/(n(n−1)), terme d'une série convergente. Σ(−1)ⁿ/n converge (critère des séries alternées) : Σa_n converge, mais pas absolument puisque |a_n| ~ 1/n.

Problème 2 — matrices circulantes

Notation utile : J = M_(0,1,0) = [[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]], J² = M_(0,0,1), J³ = I, et M_u = aI + bJ + cJ².

1. u ↦ M_u est linéaire et injective : 𝓜 = Vect(I, J, J²) est un espace vectoriel de dimension 3, et 𝒱 (image de 𝓜 par l'isomorphisme matrice ↦ endomorphisme) aussi.
2. M_uM_v = (aa' + bc' + cb')I + (ab' + ba' + cc')J + (ac' + bb' + ca')J², soit M_uM_v = M_{(aa'+bc'+cb', ab'+ba'+cc', ac'+bb'+ca')} ∈ 𝓜. 𝓜 contient I et est stable par produit : c'est une sous-algèbre de M₃(ℝ), commutative (expression symétrique en u, v ; ce sont des polynômes en J).
3. (définitions) f_j a pour matrice J : f_j(u) = (b, c, a).
4. φ(u) = a + b + c est linéaire. (u|f_j(u)) = ab + bc + ca, donc q(u) = a² + b² + c² − ab − bc − ca = ½[(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²] ≥ 0 : forme quadratique (de forme polaire symétrique évidente), positive, non définie : q(1,1,1) = 0.
5. det M_u = a(a² − bc) − b(ca − b²) + c(c² − ab) = a³ + b³ + c³ − 3abc = φ(u)·q(u). f_u non bijective ⇔ φ(u) = 0 ou q(u) = 0 ⇔ u appartient au plan P : x + y + z = 0 ou à la droite P^⊥ = ℝ(1,1,1) (q(u) = 0 ⇔ a = b = c).
6. Si M_u est une rotation : lignes unitaires et orthogonales, a² + b² + c² = 1 et ab + bc + ca = 0 ; alors φ(u)² = 1, q(u) = 1 et det = φ(u) = 1, donc a + b + c = 1. De plus M_v = J²M_u et M_w = JM_u, produits de rotations (J est la matrice d'une permutation circulaire, orthogonale de déterminant 1) : f_v, f_w sont des rotations. Une orbite à 6 éléments (permutations de (a, b, c)) signifie que a, b, c sont distincts.
7. Trace d'une rotation d'angle θ : 1 + 2cos θ. tr M_u = 3a, donc cos α = (3a − 1)/2, cos β = (3b − 1)/2, cos γ = (3c − 1)/2. Avec a + b + c = 1 et ab + bc + ca = 0 :
   • σ₁ = (3(a + b + c) − 3)/2 = 0 ;
   • σ₂ = ¼Σ(9ab − 3a − 3b + 1) = ¼(0 − 6 + 3) = −3/4 ;
   • σ₃ = (3a − 1)(3b − 1)(3c − 1)/8 = (27abc − 9·0 + 3·1 − 1)/8 = (2 + 27abc)/8 (réponse probable sous cette forme) : abc n'est pas fixé par les hypothèses. a, b, c sont les racines de X³ − X² − abc, distinctes ⇔ abc ∈ ]−4/27, 0[, d'où σ₃ ∈ ]−1/4, 1/4[.