Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2013 — Épreuve : Mathématiques

Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session de juillet 2013. Durée : 2 heures. Deux exercices : une série de fonctions liée à la fonction Γ incomplète, puis le calcul des puissances d'une matrice 4×4 par blocs. Voici une correction proposée.

💡 L'énoncé demande d'encadrer les résultats ; il permet aussi d'admettre une question pour traiter les suivantes.

Exercice 1 — u_n(x) = 1/(x(x+1)…(x+n))

1°)

• (a) u_n(1) = 1/(n+1)!, donc Σ_n≥0u_n(1) = Σ_m≥11/m! = e − 1.
• (b) ku_k(1) = ((k+1) − 1)/(k+1)! = 1/k! − 1/(k+1)!, d'où Σ_k=1ⁿku_k(1) = 1 − 1/(n+1)! ≤ 1, et (1/n)Σ_k=1ⁿku_k(1) → 0.
• (c) Avec T_n = Σ_k=1ⁿku_k(1) et 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), transformation d'Abel : Σ_n=1^Nv_n = Σ_n=1^N(T_n − T_n−1)/n − T_N/(N+1) = Σ_n=1^Nu_n(1) − T_N/(N+1). Par (a) et (b) : Σv_n = (e − 1) − u₀(1) = e − 2.

2°)

• (a) (x+1)…(x+n) ≥ n!, donc 0 < u_n(x) ≤ 1/(x·n!). Sur [a, +∞[ (a > 0), u_n ≤ 1/(a·n!) : convergence normale, termes continus. La série converge simplement sur ℝ₊* et S est continue sur chaque [a, +∞[, donc sur ℝ₊*.
• (b) Le reste vérifie R_n(x) ≥ u_n+1(x) ~ 1/(x(n+1)!) → +∞ quand x → 0⁺ : sup R_n = +∞, pas de convergence uniforme sur ℝ₊* (elle l'est sur tout [a, +∞[).

3°)

• (a) Pour n ≥ 1, u_n(x) = (1/x)u_n−1(x+1). Donc S(x) = 1/x + (1/x)S(x+1), soit xS(x) = 1 + S(x+1).
• (b) En 0 : S(x+1) → S(1) = e − 1 (continuité), donc xS(x) → e : S(x) ~ e/x. En +∞ : S(x) = 1/x + Σ_n≥1u_n(x) et Σ_n≥1u_n(x) ≤ (1/(x(x+1)))Σ_n≥11/n! = (e − 1)/(x(x+1)) = o(1/x) : S(x) ~ 1/x.

4°) G(y) = ∫₀¹t^y−1e^−tdt

• (a) t^y−1e^−t ~ t^y−1 en 0 (Riemann) : domaine ]0, +∞[.
• (b) Pour t ∈ ]0,1] fixé, y ↦ t^y−1 = e^{(y−1)ln t} est convexe. Pour λ ∈ [0,1] : t^{λy+(1−λ)z−1} ≤ λt^y−1 + (1−λ)t^z−1 ; en multipliant par e^−t > 0 et en intégrant : G est convexe.

5°)

• (a) Décomposition en éléments simples : 1/(x(x+1)…(x+n)) = Σ_k=0ⁿc_k/(x+k) avec c_k = 1/Π_j≠k(j − k) = (−1)^k/(k!(n−k)!). La famille double ((−1)^k/(k!(n−k)!(x+k)))_0≤k≤n est sommable : Σ_kΣ_n≥k1/(k!(n−k)!(x+k)) = eΣ_k1/(k!(x+k)) < ∞. On peut donc sommer d'abord en n : S(x) = Σ_k((−1)^k/(k!(x+k)))Σ_n≥k1/(n−k)! = Σ_n≥0(−1)ⁿe/((x+n)n!).
• (b) e^1−t = eΣ(−1)ⁿtⁿ/n! et Σ∫₀¹t^x−1+n/n! dt = Σ1/(n!(x+n)) < ∞ : intégration terme à terme, ∫₀¹t^x−1e^1−tdt = eΣ(−1)ⁿ/(n!(x+n)). Avec (a) : S(x) = ∫₀¹t^x−1e^1−tdt = eG(x).

Exercice 2

M = [[1,0,0,0], [−1,4,1,−2], [2,1,2,−1], [1,2,1,0]] = [[1, O], [C, V]] avec C = (−1, 2, 1)^T et V = [[4,1,−2],[1,2,−1],[2,1,0]].

1°)

• (a) Développement selon la 1^re ligne : det(M − λI) = (1 − λ)det(V − λI) = (1 − λ)(2 − λ)³ (avec W = V − 2I nilpotente, voir 4°). λ ∈ {1, 2}.
• (b) λ = 1 : X = t(1, 1, −4, −1) (vérification : 2^e ligne −1 + 4 − 4 + 2 = 1, 3^e 2 + 1 − 8 + 1 = −4, 4^e 1 + 2 − 4 = −1). λ = 2 : X = t(0, 1, 0, 1) (lignes : 4 − 2 = 2, 1 − 1 = 0, 2 = 2), t ∈ ℝ.

2°)

Produit par blocs : première ligne (1·1 + O·C', 1·O + O·A') = (1, O) ; seconde ligne (C·1 + AC', C·O + AA') = (C + AC', AA'). D'où HH' = [[1, O], [C + AC', AA']] : ces matrices sont stables par produit.

3°)

Récurrence : M¹ = M avec U₁ = C. Si Mⁿ = [[1, O], [U_n, Vⁿ]], 2°) donne Mⁿ⁺¹ = M·Mⁿ = [[1, O], [C + VU_n, Vⁿ⁺¹]] : U_n+1 = C + VU_n.

4°) W = V − 2I = [[2,1,−2],[1,0,−1],[2,1,−2]]

• (a) W² = [[1,0,−1],[0,0,0],[1,0,−1]], W³ = 0.
• (b) W¹ = W, W² ci-dessus, Wⁿ = 0 pour n ≥ 3.
• (c) V = 2I + W, I et W commutent : Vⁿ = 2ⁿI + n2ⁿ⁻¹W + (n(n−1)/2)2ⁿ⁻²W², soit
  Vⁿ = [[2ⁿ⁻³(n² + 7n + 8), n2ⁿ⁻¹, −2ⁿ⁻³n(n+7)], [n2ⁿ⁻¹, 2ⁿ, −n2ⁿ⁻¹], [2ⁿ⁻³n(n+7), n2ⁿ⁻¹, −2ⁿ⁻³(n−1)(n+8)]]
  (pour n = 1 on retrouve V).

5°)

• (a) X₁ = (1, 1, −4, −1) (1°b) et MX₁ = X₁, donc MⁿX₁ = X₁ pour tout n.
• (b) Avec Y = (1, −4, −1), la relation MⁿX₁ = X₁ s'écrit par blocs U_n + VⁿY = Y, donc U_n = Y − VⁿY. WY = (0, 2, 0), W²Y = (2, 0, 2), d'où VⁿY = (2ⁿ + n(n−1)2ⁿ⁻², (n − 4)2ⁿ, −2ⁿ + n(n−1)2ⁿ⁻²) et
  a_n = 1 − 2ⁿ⁻²(n² − n + 4), b_n = (4 − n)2ⁿ − 4, c_n = 2ⁿ⁻²(4 + n − n²) − 1.
  Contrôles : U₀ = (0,0,0) (M⁰ = I), U₁ = (−1, 2, 1) = C, U₂ = (−5, 4, 1) (première colonne de M²).