Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2013 — Épreuve : Physique

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RER
Htut Hatianal des Postes et Télécommunications
CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE |
DU CYCLE D’INGENIEURS D’ETAT
26 Juillet 2013 ٠
Epreuve de PHYSIQUE
| (Durée : 2 h 00mn)
Avertissement
- Les 2 exercices sont indépendants et doivent être traités sur des 2
livrets séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des
raisonnements et de la présentation.
- Encadrer vos résultats.
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
Institut National des Postes et Télécommunications, Madinat ‏اخ‎ Irfane Rabat
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Partie I
| Électrocinétique
Un dipôle électrocinétique AB est constitué d’un condensateur de capacité C, d’une bobine B et d’un
conducteur ohmique de résistance R, montés en série. Ce dipôle AB est alimenté par un générateur
de tension alternative sinusoïdale U(t) = U, cos w t, de période T'et de pulsation ‏هه‎
‎La bobine B, d’inductance L, est supposée sans résistance. Soit u,(t) = Vu-VB, la tension de sortie
aux bornes du résistor (figure 1).
| ugft) | R ‏.أ‎
‎Figure 1
1) Soient ‏ولا‎ et u, les amplitudes complexes respectives des tensions de sortie et d’entrée.
1.1. Écrire l’impédance complexe Z,(j ‏له‎ du dipôle AB. On rappelle l'égalité j?= —1.
1.2. Exprimer, en fonction de R, L, C et w, la fonction de transfert (ou transmittance) définie par le
rapport complexe 770 ‏(ه‎ = us/ue.
2) On pose wo = 1/ VLC (pulsation propre), x = w/w0 (variable sans dimension) et O=LooR
(facteur de qualité).
2.1. Donner, en fonction de Q et x, une expression simplifiée A(jx) de la fonction de transfert.
2.2. Cette fonction Æ{jx) est caractérisée par son argument « (x) (ou déphasage entre les deux
tensions us et ve). Déterminer la valeur de x pour laquelle ces deux tensions sont en phase.
2.3. H(jx) est aussi caractérisée par son gain (ou module) G(x). Montrer que, quelle que soit la valeur
de 2, G(x) admet une même valeur maximale Gmax.
3) La bande passante de ce circuit est le domaine de x pour lequel (Gmax/ V2 ( <G(x) <Gmax.
3.1. Exprimer, en fonction de 2, l’étendue A x de cette bande passante.
3.2. En déduire que la sélectivité du filtre « passe-bande » (bande passante A « étroite) est liée au
facteur de qualité 0, et donc à la valeur de R pour une inductance donnée.
3.3. Soient ‏و0‎ et ‏و0‎ deux valeurs de Q telles que 0. < O3. Tracer l’allure des courbes représentatives
des fonctions GOa(w) et GObw), et faire apparaître les bandes passantes À ©, et ‏وذ‎
‎correspondantes.

ٍ Partie 2
Valeurs numériques des constantes physiques
— Vitesse de la lumière dans le vide : ‏د ! يو" 3.10 = ع‎
- Permittivité du vide: & = 8,85 10 ‏ب لسع‎
— Perméabilité du vide: ‏وير‎ = 47 10 "Hm !.
A. Ligne coaxiale |
On considère une ligne coaxiale cylindrique d’axe Oz, +
constituée d’un conducteur central plein de rayon r: 4
: )» l’âme ») séparé par le vide d’un conducteur creux de D | +
rayon intérieur r2 et de rayon extérieur r3 (« gaine 0 , 5
On utilise les coordonnées cylindriques 0802 et le _ |
repère local associé. ESS
Dans tous les cas envisagés dans ce problème, le ‏لبجبيلتلمبتا‎
‎système possède la symétrie cylindrique (invariance des
charges et des courants dans les rotations d’axe Oz et I
dans la symétrie par rapport à tout plan contenant L 0 ; “ 4
l’axe Oz). 5 vide ‏ممة|‎ | vide 5
On négligera les effets de bords aux extrémités de la de I 1
ligne coaxiale. |
Pour les applications numériques on prendra Figure2 ligne coaxiale
F1 = 1mm, r= 2mm et r3= 3mm.
1. Electrostatique
L’âme et la gaine sont isolées. L’âme porte une charge électrique linéique À = Cte (charge par unité
de longueur selon Oz) et la gaine la charge électrique linéique opposée —A. La ligne coaxiale
constitue un condensateur cylindrique à l’équilibre électrostatique.
1) Préciser la répartition des charges. |
Justifier que le champ électrique est de la forme E (r,z,0)=E (r)u; (1)
Déterminer Æ(r) pour tout 7 (0 >< > ).
Tracer la courbe E(r) en fonction de r.
Vérifier que le condensateur est à l’équilibre électrostatique.
2) Calculer la différence de potentiel U= U,1 - U,2 entre l’âme et la gaine.
En déduire la capacité ‏ل‎ par unité de longueur (valeurs littérales et numériques) du condensateur. ٠
3) Calculer l’énergie électrique W, du condensateur par unité de longueur en intégrant la densité
d'énergie électrique à l’intérieur du condensateur. On exprimera la réponse en fonction de A, ‏رم‎ et r2.
11. Magnétostatique 11 ٍ
L’âme est parcourue par un courant d’intensité 7 - Cte, | | |
la gaine par un courant d’intensité —. | là
1) Déterminer le champ magnétique à l’intérieur de la LE |! | © :
ligne (pour ‏م‎ > r > r2). ‏امل‎ ١٠
2) Calculer l’énergie magnétique 17, par unité de longueur «Dr :
contenue dans l’espace entre l’âme et la gaine SE TE
(ri <r > nr). Le résultat est de la forme W,,= cs
En déduire le coefficient L, (valeurs littérales et numériques). 0 vide | ‏إعسة‎ vide ٠-5
Calculer la valeur littérale du produit C;Ly. j | | ١ |
Figure 3- courant constant
wadifa-info.com gË AUD 5 &$ 90 Ce Ci jluall 7 Lai

111]. Régime variable
On considère un régime variable à symétrie cylindrique. Dans un tel régime le courant et la charge
linéique dans les conducteurs sont fonctions du temps f et de la cote 2. On notera 6, ©( l’intensité du
courant dans l’âme, dans le sens des z croissants, à la cote z, et Â(, à) la charge linéique de l’âme à la
cote z.
On se propose de chercher un champ électromagnétique de la forme
_ ‏هجا يهب‎ —#
E (r,2,0,t) = ‏,جنال ,2 )لا‎ B (r,z,0,t) = B(r, z, t)Uug 2
À l’intérieur du câble coaxial (rl > r > r2) on écrira |
11 )1 ‏(,0رى‎ 2 B ab = 2 6 |
Où ‏كاه‎ ?) et b(z, f) sont des fonctions de z et f. -
1) Ecrire les équations de Maxwell locales dans le vide à l’intérieur de la ligne (pour rl > r > r2) et
pour le champ électromagnétique (3).
Montrer que deux de ces équations sont satisfaites.
Montrer que les autres équations impliquent que a(z, ?) et b(z, © satisfont à deux équations couplées
aux dérivées partielles.
On utilisera les expressions de la divergence et du rotationnel du champ
‏ب«‎ À = A,ür + Agug + A;U; en coordonnées cylindriques :
+ 18 10A6 , 84,
VA = 7 ‏(مط)‎ + 0 5 à (4)
= + _ ‏ب بت ل و7188‎ es … 3% ( 2 0 2e) >
7.44 Ç 28 Oz ‏جنا‎ + 0z 91 n Li r \dz (rAe) 28 de 0
Nota. On ne demande pas d’écrire les équations de Maxwell dans les régions r >r2etr <r1. Vous
ne chercherez pas à déterminer le champ dans ces régions.
2) Enoncer le théorème de Gauss et le théorème ‏"ل‎ Ampère généralisé en régime variable.
En utilisant ces théorèmes exprimer ‏كاه‎ 0 et b(z, f) en fonction de {(z, © et AC, à).
3) À partir des résultats des deux questions précédentes, écrire deux équations aux dérivées partielles
vérifiées par A(z, ?) et I(z, 20. Commenter.
Etablir l’équation de propagation du courant 7/5, 0. Commenter.
eu = 1 5: ٠. ‏ب‎ + * | 7 ٠.
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