Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2012 — Épreuve : Mathématiques

Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session 2012. Durée : 2 heures. Deux exercices : développement en série entière de 1/cos x par les polynômes P_n, puis réduction de Jordan d'une matrice 4×4 et calcul de ses puissances. Voici une correction proposée.

💡 Coquille de l'énoncé en 3°) : dans le reste intégral il manque le facteur uⁿ. La formule exacte est f(x) = S_n(x) + (xⁿ⁺¹/n!)∫₀¹uⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(x(1 − u))du ; la suite de la correction l'utilise.

Exercice 1 — f(x) = 1/cos x sur I = ]−π/2, π/2[

1°)

• (a) Récurrence avec P₀ = 1. Si f⁽ⁿ⁾ = P_n(sin x)/cosⁿ⁺¹x, en dérivant : f⁽ⁿ⁺¹⁾ = [cos²x·P_n'(sin x) + (n+1)sin x·P_n(sin x)]/cosⁿ⁺²x, et cos²x = 1 − sin²x : c'est la forme voulue. Unicité : si P(sin x) = Q(sin x) sur I, P − Q s'annule sur ]−1,1[ (ensemble infini), donc P = Q.
• (b) P_n+1 = (1 − X²)P_n' + (n+1)XP_n.
• (c) P₀ = 1, P₁ = X, P₂ = (1 − X²) + 2X² = 1 + X².
• (d) Si P_n = c_nXⁿ + …, le terme de degré n+1 de P_n+1 est −nc_nXⁿ⁺¹ + (n+1)c_nXⁿ⁺¹ = c_nXⁿ⁺¹ : monôme dominant Xⁿ.
• (e) Par récurrence, P_n a la parité de n : si P_n(−X) = (−1)ⁿP_n, alors P_n' a la parité de n − 1, et (1 − X²)P_n' et XP_n ont celle de n + 1.

2°)

• (a) Si P_n = Σc_kX^k, le coefficient de X^k dans P_n+1 vaut (k+1)c_k+1 + (n + 2 − k)c_k−1, et c_k−1 ≠ 0 impose k − 1 ≤ n, donc n + 2 − k ≥ 1. Par récurrence, coefficients entiers ≥ 0.
• (b) P_n+1(1) = (n+1)P_n(1) et P₀(1) = 1 : P_n(1) = n!.

3°)

Taylor avec reste intégral (f est C^∞ sur I) : f(x) = S_n(x) + ∫₀^x((x − t)ⁿ/n!)f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt, avec bien a_k = f^(k)(0)/k!. Le changement t = x(1 − u) (x − t = xu, dt = −x du) donne R_n(x) = (xⁿ⁺¹/n!)∫₀¹uⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(x(1 − u))du.

4°) 0 ≤ x < y < π/2

• (a) Sur [0, π/2[, sin t ≥ 0 et cos t > 0, donc f^(k)(t) = P_k(sin t)/cos^k+1t ≥ 0 pour tout k (2°a). Ainsi R_n(x) ≥ 0, et f⁽ⁿ⁺¹⁾ est croissante (sa dérivée f⁽ⁿ⁺²⁾ ≥ 0). Donc x ↦ R_n(x)/xⁿ⁺¹ = (1/n!)∫uⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(x(1−u))du est croissante sur ]0, π/2[ : R_n(x)/xⁿ⁺¹ ≤ R_n(y)/yⁿ⁺¹, d'où 0 ≤ R_n(x) ≤ (x/y)ⁿ⁺¹R_n(y) (trivial si x = 0).
• (b) a_k = P_k(0)/k! ≥ 0, donc S_n(y) ≥ 0 et R_n(y) = f(y) − S_n(y) ≤ f(y) : R_n(x) ≤ (x/y)ⁿ⁺¹f(y).

5°)

Pour x ∈ [0, π/2[, on choisit y ∈ ]x, π/2[ : (x/y)ⁿ⁺¹ → 0, donc R_n(x) → 0 et f(x) = Σa_kx^k. Pour k impair, P_k est impair (1°e), P_k(0) = 0, donc a_k = 0. Pour x < 0, f étant paire : f(x) = f(−x) = Σa_2k(−x)^2k. f(x) = Σ_k≥0 a_2kx^2k sur I (a₀ = 1, a₂ = P₂(0)/2 = 1/2 : 1/cos x = 1 + x²/2 + …).

Exercice 2

A = [[1, −1, 2, −2], [0, 0, 1, −1], [1, −1, 1, 0], [1, −1, 1, 0]], colonnes C₁, …, C₄.

• 1°) C₂ = −C₁ et les lignes 3 et 4 sont égales, donc rg A ≤ 3 ; C₁, C₃, C₄ sont libres (aC₁ + bC₃ = C₄ imposerait b = −1, a = 1, puis −1 = −2). rg f = 3. Ker f = ℝ(1, 1, 0, 0) (C₁ + C₂ = 0, dimension 4 − 3 = 1). Im f = Vect(C₁, C₃, C₄) = {y ∈ ℝ⁴ : y₃ = y₄} (inclusion évidente, dimensions égales).
• 2°) χ_A(X) = X²(X − 1)². Ker f² = Vect((1,1,0,0), (−1,0,1,0)) et Ker(f − id)² = Vect((1,0,0,0), (0,0,1,1)) (vérification : A(−1,0,1,0) = −C₁ + C₃ = (1,1,0,0) ∈ Ker f ; A(0,0,1,1) = C₃ + C₄ = (0,0,1,1) ; (A − I)(1,0,0,0) = (0,0,1,1)).
• 3°) Les quatre vecteurs forment une base (déterminant −1, voir 5°), donc ℝ⁴ = Ker f² ⊕ Ker(f − id)² (c'est aussi le lemme des noyaux, X² et (X − 1)² étant premiers entre eux).
• 4°) Il faut f(e'₁) = 0, f(e'₂) = e'₁, f(e'₃) = e'₃, f(e'₄) = e'₃ + e'₄. On prend e'₁ = (1,1,0,0), e'₂ = (−1,0,1,0), e'₃ = (0,0,1,1), e'₄ = (1,0,0,0) : A e'₂ = e'₁, A e'₃ = e'₃, A e'₄ = C₁ = (1,0,1,1) = e'₃ + e'₄.
• 5°) P = [[1, −1, 0, 1], [1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0]] (colonnes e'₁, …, e'₄), det P = −1, et P⁻¹ = [[0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, −1], [0, 0, 0, 1], [1, −1, 1, −1]] (on vérifie PP⁻¹ = I).
• 6°) T = diag(N, J) avec N = [[0,1],[0,0]] (N² = 0) et J = [[1,1],[0,1]] (Jⁿ = [[1,n],[0,1]]). Donc T¹ = T et, pour n ≥ 2, Tⁿ = [[0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,1,n], [0,0,0,1]]. Puis Aⁿ = PTⁿP⁻¹ : A¹ = A et, pour n ≥ 2, Aⁿ = [[1, −1, 1, −1], [0, 0, 0, 0], [n, −n, n, 1−n], [n, −n, n, 1−n]] (contrôle : la formule redonne A² calculé directement).