Modèle : Épreuve de didactique de la spécialité - Mathématiques — Ministère de l'Éducation nationale - Examen d'aptitude professionnelle, 1er grade des enseignants du secondaire collégial 2020

هذا النموذج هو اختبار ديداكتيك مادة التخصص — الرياضيات في امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أساتذة التعليم الثانوي الإعدادي، دورة دجنبر 2020. يضم ثلاثة مواضيع: الأول (9 نقط) تحليل وثيقة من أربعة أنشطة حول التماثل المركزي، والثاني (4 نقط) حول متوازي الأضلاع في البرنامج والهندسة الفضائية والتكنولوجيات، والثالث (7 نقط) تحليل تمرين حول المثلثات المتقايسة وإنتاجات تلميذين. المرجع الرسمي المعتمد: البرامج والتوجيهات التربوية الخاصة بمادة الرياضيات بسلك التعليم الثانوي الإعدادي (غشت 2009).

الموضوع الأول (9 نقط)

الوثيقة: (1) نسخ شكل F₁ على ورق شفاف وتدويره نصف دورة حول O للحصول على F₂؛ (2) إنشاء مماثلة نقطة M بالنسبة لـ O؛ (3) صورة قطعة [AB] بنصف دورة، ومقارنة AB و A'B'، والتحقق من أن (D) و(D') متوازيان؛ (4) على التربيعات: مماثلات نصف مستقيم ودائرة وزاوية بالنسبة لنقطة I، ودور I بالنسبة للشكل المكون من F و F'.

1) المستوى المستهدف (1 ن): السنة الأولى من التعليم الثانوي الإعدادي. التعليل: البرنامج الرسمي يدرج فقرة «التماثل المركزي ومتوازي الأضلاع» في هندسة السنة الأولى (الدورة الثانية)؛ والأنشطة تقدم المفهوم لأول مرة بالمناولة (الورق الشفاف ونصف الدورة) وبالملاحظة والتجربة، كما يوصي البرنامج؛ أما في السنة الثانية فيُفترض التماثل المركزي مكتسبا ويوظف في حل المسائل.

2) عنوان الدرس وموقعه (1 ن): «التماثل المركزي» (ضمن الفقرة الرسمية «التماثل المركزي ومتوازي الأضلاع»). موقعه: مجال الهندسة، السنة الأولى إعدادي، الدورة الثانية، بعد درسي «المفاهيم الأساسية» و«المثلث» (الدورة الأولى)، ويليه متوازي الأضلاع ثم الرباعيات الخاصة ومتوازيان وقاطع؛ ويخصص التوزيع الدوري لهذه المجموعة 28 ساعة.

3) المكتسبات القبلية (1 ن): مفاهيم النقطة والمستقيم ونصف المستقيم والقطعة ومنتصف قطعة؛ الاستقامية؛ الدائرة (المركز والشعاع)؛ الزاوية وقياسها بالمنقلة؛ قياس الأطوال ومقارنتها؛ التوازي؛ المساحة؛ التماثل المحوري (منذ الابتدائي و«المفاهيم الأساسية» بالسنة الأولى)؛ استعمال الأدوات الهندسية (المسطرة، البركار، المنقلة) والتربيعات.

4) القدرات المستهدفة (1 ن) حسب البرنامج:

• إنشاء مماثلة نقطة وقطعة ومستقيم ونصف مستقيم وزاوية ودائرة بالنسبة لنقطة؛
• دراسة الحفاظ على المسافة والاستقامية والمساحة والزوايا (القياس)؛
• تحديد مركز تماثل أشكال هندسية بسيطة (وفي الامتداد: التعرف على متوازي الأضلاع وخاصياته).

5) الفرق بين «ارسم» و«أنشئ» (1 ن): الرسم تمثيل للشكل قد يكون باليد أو بالأدوات دون الالتزام بخطوات مبررة بالخاصيات (نقل شكل، رسم تقريبي). الإنشاء بناء الشكل بالأدوات الهندسية (المسطرة والبركار...) وفق خطوات تستند إلى تعريف أو خاصية، بحيث يحقق الشكل المعطيات بدقة ويمكن تبرير كل خطوة (مثلا: إنشاء M' بجعل O منتصف [MM'] باستعمال البركار).

6) هدف تعلمي لكل نشاط (1 ن):

• النشاط 1: أن يتعرف المتعلم التماثل المركزي كنصف دورة حول نقطة، ويلاحظ أن الشكلين المتماثلين متقايسان (نفس المساحة).
• النشاط 2: أن ينشئ مماثلة نقطة بالنسبة لنقطة باستعمال التعريف (O منتصف [MM']).
• النشاط 3: أن يستنتج أن التماثل المركزي يحافظ على المسافة، وأن مماثل مستقيم مستقيم يوازيه.
• النشاط 4: أن يحدد مماثلات نصف مستقيم ودائرة وزاوية، ويتعرف مركز تماثل شكل.

7) النشاط الذي يبرز الإضافة المعرفية (1 ن) — إجابة مرجّحة: النشاط 3. التماثل المحوري مألوف لدى التلميذ منذ الابتدائي، والجديد في هذا الدرس هو خاصيات التماثل المركزي، وأبرزها أن مماثل مستقيم بالنسبة لنقطة مستقيم يوازيه (وهي خاصية لا يحققها التماثل المحوري عموما)، إلى جانب الحفاظ على المسافة؛ وهذا ما يؤكده البرنامج («ينبغي التركيز على حفاظ التماثل المركزي على المسافة والاستقامية والزوايا») وما سيوظف في دراسة متوازي الأضلاع. (يمكن الدفاع عن النشاط 1 لأنه يقدم المفهوم الجديد نفسه، شرط التعليل.)

8) تدبير ديداكتيكي للنشاط الرابع (2 ن):

الموضوع الثاني (4 نقط)

1) متوازي الأضلاع كمعرفة مستهدفة وكأداة (2 ن):

• معرفة مستهدفة: درس «التماثل المركزي ومتوازي الأضلاع» — السنة الأولى إعدادي: التعرف على متوازي الأضلاع وخاصياته المتعلقة بالأضلاع والزوايا (والقطرين)، إذ «يرتبط [التماثل المركزي] ارتباطا وثيقا بمتوازي الأضلاع ويمكن من دراسة خاصياته دراسة تامة».
• أداة 1: «الرباعيات الخاصة» — السنة الأولى: «يقدم المستطيل والمربع والمعين كحالات خاصة لمتوازي الأضلاع»، فتوظف خاصياته لإثبات خاصيات هذه الرباعيات.
• أداة 2: «المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث؛ مستقيم يوازي ضلع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين» — السنة الثانية: ينص البرنامج على أن «هذه الفقرة مناسبة لتوظيف خاصيات متوازي الأضلاع» (البرهان عبر متوازي الأضلاع المكون بمماثلة رأس بالنسبة لمنتصف).
• أداة 3: «المتجهات والإزاحة» — السنة الثانية: ربط العلاقة AB = DC (متجهيا) بمتوازي الأضلاع ABCD، وربط مجموع متجهتين بمتوازي الأضلاع. (ويوظف أيضا في «التماثل المحوري» بالسنة الثانية وفي «الإزاحة؛ ضرب متجهة في عدد حقيقي» بالسنة الثالثة.)

2) تقنيتان لتكوين تمثل واضح للمفاهيم الأساسية في الفضاء (1 ن):

• المناولة وإنجاز النشر (التصميم) وتركيب المجسمات: يلمس التلميذ الأوجه والأحرف والرؤوس ويربط المجسم بنشره المستوي، فيتضح التوازي والتعامد في الفضاء (البرنامج: «إنجاز نشر لهذين المجسمين»).
• التمثيل بالمنظور المتساوي والمقارنة بالنموذج، مدعوما بالبرانم الهندسية ثلاثية الأبعاد: تدوير المجسم على الشاشة يصحح التمثلات الخاطئة الناتجة عن التمثيل المستوي (البرنامج: «يتم استعمال الأدوات المعلوماتية... في تصحيح تمثلات ورؤى التلاميذ حول المفاهيم الهندسية في الفضاء»).

3) مثال على دور التكنولوجيات الحديثة (1 ن): في درس المستقيمات الهامة في المثلث (السنة الثانية)، ينشئ التلاميذ في برنام هندسي ديناميكي مثلثا ومتوسطاته، ثم يحركون رؤوسه: يلاحظون أن المتوسطات تبقى متلاقية مهما كان شكل المثلث، ويقيسون المسافة من مركز الثقل إلى الرأس مقارنة بطول المتوسط (الثلثان). الشاشة تنقل التلميذ من حالة خاصة مرسومة إلى ملاحظة عامة، فيصوغ تخمينا ثم يبرهن عليه أو يقبله حسب ما يسمح به البرنامج.

الموضوع الثالث (7 نقط)

التمرين: ABC متساوي الساقين رأسه A و BAC < 60°؛ واسط [AC] يقطع (BC) في D؛ E نقطة من نصف المستقيم [DA) خارج القطعة [AD] بحيث BD = AE. المطلوب: باستعمال مثلثات متقايسة، بيّن أن ECD متساوي الساقين.

الجزء الأول

1) تحويلان (0,5 ن): تقايس: التماثل المركزي (أو المحوري، أو الإزاحة، أو الدوران) — يحافظ على المسافة. ليس تقايسا: التحاكي الذي نسبته تختلف عن 1 و−1 (تكبير أو تصغير) — لا يحافظ على المسافة.

2) الأهداف (0,5 ن): توظيف حالات تقايس المثلثات (السنة الثالثة) في البرهان؛ توظيف خاصيات المثلث المتساوي الساقين والخاصية المميزة لواسط قطعة والزوايا المتكاملة؛ التدرب على اختيار المثلثين المناسبين في شكل مركب وعلى صياغة برهان استنتاجي منظم.

3) المكتسبات القبلية (0,5 ن): زاويتا القاعدة في مثلث متساوي الساقين متقايستان؛ كل نقطة من واسط قطعة متساوية المسافة عن طرفيها؛ مجموع زوايا مثلث 180°؛ الزاويتان المتحاديتان على مستقيم متكاملتان؛ حالات تقايس المثلثين؛ مفهوم نصف المستقيم.

4) العوائق المعرفية (0,5 ن): صعوبة عزل المثلثين المفيدين (ABD و CAE) في شكل متداخل؛ عدم إدراك أن الزاوية ABD مكملة للزاوية ABC (لأن D خارج [BC])؛ الاعتماد على الإدراك البصري للشكل بدل البرهان؛ عدم احترام تقابل الرؤوس في المثلثين المتقايسين؛ الخلط بين التقايس والتشابه.

الجزء الثاني

1) تحليل جواب التلميذ الأول (0,5 ن): النتيجة صحيحة، ومحاولة البرهان جيدة في بدايتها: المثلثان ABC و DAC متساويا الساقين ولهما زاوية القاعدة ACB مشتركة، فهما متشابهان و ADC = BAC (صحيح). لكن هذه المعلومة لا تخدم التقايس المطلوب، ثم قفز إلى «AEC و ABD متقايسان» دون ذكر العناصر المتقايسة ولا حالة التقايس (AB = AC، BD = AE، والزاويتان ABD و CAE)، واستنتج EC = CD مباشرة، بينما التقايس يعطي EC = AD، ويلزم بعد ذلك AD = CD لأن D من واسط [AC]. البرهان إذن ناقص التبرير في خطوتين أساسيتين.

2) أخطاء التلميذ الثاني (0,5 ن): اعتمد على ملاحظة الشكل («انطلاقا من الشكل نلاحظ...») ليقرر تقايس المثلثين ACE و ABD دون أي تبرير أو حالة تقايس؛ ولم يبرر مرور التقايس إلى تساوي الزاويتين EDC و DEC (وهو صحيح لأن ADB = AEC بالتقابل و ADB هي نفسها EDC، لكنه لم يذكره). الخطوة الأخيرة (زاويتان متقايستان ⇐ متساوي الساقين في C) صحيحة.

3) المصادر المحتملة للأخطاء (0,5 ن): الثقة في الإدراك البصري وعدم التمييز بين الملاحظة والبرهان؛ ضعف التمكن من حالات التقايس وتقابل العناصر؛ الخلط بين خاصيات التشابه والتقايس؛ عادة الاكتفاء بالنتيجة؛ تعقد الشكل وتداخل المثلثات.

4) حل مفصل يقدم للقسم (1 ن):

1. D من واسط [AC] إذن DA = DC، فالمثلث ADC متساوي الساقين في D، ومنه DAC = DCA = ACB.
2. بما أن BAC < 60° فإن ABC = ACB = (180° − BAC)/2 > 60° > BAC، ومنه DAC = ACB > BAC، فنصف المستقيم [AD) يقع خارج الزاوية BAC جهة B، أي أن D خارج القطعة [BC] من جهة B.
3. B بين D و C، إذن الزاويتان ABD و ABC متكاملتان: ABD = 180° − ABC.
4. E على [DA) خارج [AD]، أي A بين D و E، إذن الزاويتان CAE و CAD متكاملتان: CAE = 180° − DAC = 180° − ACB = 180° − ABC.
5. في المثلثين ABD و CAE: AB = CA (ABC متساوي الساقين في A)، BD = AE (معطى)، ABD = CAE (من 3 و4). إذن المثلثان متقايسان (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)، مع التقابل A↔C، B↔A، D↔E.
6. ومنه AD = CE. وبما أن AD = CD فإن CE = CD: المثلث ECD متساوي الساقين في C.

الجزء الثالث (الامتداد: BAC > 60°)

حل الامتداد للاستئناس: إذا كان BAC > 60° فإن ACB < BAC، فتقع D على القطعة [BC] بين B و C. تصبح ABD = ABC بينما CAE = 180° − ABC، فلا يتحقق التقايس، وECD لا يبقى متساوي الساقين عموما (مثلا لـ BAC = 100° و AB = 1 نجد CD ≈ 0,65 و CE ≈ 1,77 و DE ≈ 1,53). أما E' (على نصف المستقيم [AD)) فـ CAE' = CAD = ACB = ABD، فالمثلثان ABD و CAE' متقايسان، ومنه CE' = AD = CD: المثلث E'CD متساوي الساقين في C.

1) دور المعطى BAC < 60° (0,5 ن): يحدد موقع D: يضمن أن D تقع على المستقيم (BC) خارج القطعة [BC] من جهة B (وأن D ≠ B، إذ لو كان BAC = 60° لكان D = B)، فتكون الزاوية ABD مكملة لـ ABC وتساوي CAE، وهو شرط التقايس الذي يُبنى عليه البرهان. بدونه يتغير الشكل وتسقط النتيجة.

2) تدبير الجزء الإضافي لتخمين نتيجتي ب و ج (1 ن): توزيع قيم مختلفة لـ BAC على المجموعات (40°، 80°، 100°، 120°) لإنجاز الشكل بدقة وقياس CD و CE و CE'، ثم تجميع النتائج في جدول على السبورة؛ أو استعمال برنام هندسي ديناميكي وتحريك A لتغيير BAC حول 60° مع عرض أطوال CD و CE و CE' آنيا. يلاحظ التلاميذ أن CE = CD فقط عندما BAC < 60°، وأن CE' = CD عندما BAC > 60°، وأن D تنتقل إلى داخل [BC]؛ فيصوغون التخمين ثم يُطلب منهم البرهان بنفس منهجية الجزء الأول.

3) صيغة جديدة للسؤال ج كتمرين تقويمي متدرج (1 ن):

1. بيّن أن ACB < BAC، واستنتج أن D تنتمي إلى القطعة [BC].
2. بيّن أن DAC = ACB، ثم أن CAE' = ABD.
3. بيّن أن المثلثين ABD و CAE' متقايسان (حدد حالة التقايس).
4. استنتج أن CE' = AD، ثم أن المثلث E'CD متساوي الساقين في C.