Modèle : Épreuve de didactique de la spécialité - Mathématiques — Ministère de l'Éducation nationale - Examen professionnel, 1er grade des enseignants du secondaire qualifiant 2022

هذا النموذج هو اختبار ديداكتيك مادة التخصص — الرياضيات في امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أساتذة التعليم الثانوي التأهيلي، دورة دجنبر 2022 (المركز الوطني للتقويم والامتحانات). المدة: ثلاث ساعات، المعامل: 1، الآلة الحاسبة ممنوعة. ثلاثة مواضيع مستقلة: الأول (10 نقط) تقديم الدالة الأسية النبيرية، الثاني (3 نقط) مفهوم المتجهة، الثالث (7 نقط) تحليل أجوبة ثلاثة تلاميذ حول نهاية متتالية. المرجع الرسمي: التوجيهات التربوية والبرامج الخاصة بتدريس مادة الرياضيات بسلك التعليم الثانوي التأهيلي (نونبر 2007).

الموضوع الأول (10 نقط)

النشاط: f قابلة للاشتقاق على ℝ وتحقق (α): f'(x) = f(x) و f(0) = 1.

1) الشعبة المستهدفة: الثانية باكالوريا علوم رياضية (مسلكا أ و ب). التوجيهات الخاصة بهذه الشعبة وحدها تنص على «تقديم الدالة الأسية النبيرية إما كالدالة العكسية لدالة اللوغاريتم النبيري وإما كالحل الوحيد للمعادلة التفاضلية y' = y و y(0) = 1 أو كالحل الوحيد للمعادلة الدالية f(x + y) = f(x)f(y)»، والنشاط يعتمد الاختيار C₂؛ أما في شعبة العلوم التجريبية فتُقدَّم x ↦ e^x كالدالة العكسية لـ ln فقط.

2) موقع الدرس: مجال التحليل، فقرة «الاشتقاق ودراسة الدوال»، درس الدالة الأسية النبيرية (الدوال الأسية)، بعد درس الدالة اللوغاريتمية (التي تُقدَّم مباشرة بعد الاشتقاق والدوال الأصلية)، وقبل الحساب التكاملي والمعادلات التفاضلية.

3) حل النشاط:

1. نعتبر φ(x) = f(x) × f(−x). الدالة x ↦ f(−x) قابلة للاشتقاق ومشتقتها −f'(−x)، إذن φ'(x) = f'(x)f(−x) − f(x)f'(−x) = f(x)f(−x) − f(x)f(−x) = 0. φ ثابتة على المجال ℝ، و φ(0) = f(0)² = 1. إذن لكل x من ℝ: f(x) × f(−x) = 1.
2. لو وُجد x₀ بحيث f(x₀) = 0 لكان f(x₀)f(−x₀) = 0 ≠ 1، تناقض. إذن f(x) ≠ 0 لكل x.
3. أ- H = g/f قابلة للاشتقاق على ℝ لأن g و f قابلتان للاشتقاق و f لا تنعدم، و H'(x) = (g'(x)f(x) − g(x)f'(x)) / f(x)² = (g(x)f(x) − g(x)f(x)) / f(x)² = 0.
   ب- H ثابتة على ℝ، و H(0) = g(0)/f(0) = 1، إذن g = f: الدالة التي تحقق (α) وحيدة.

4) ثلاثة مكتسبات قبلية: مشتقة جداء وخارج دالتين؛ مشتقة مركب دالتين (خاصة x ↦ f(−x) أو x ↦ f(ax + b))؛ الخاصية: «دالة مشتقتها منعدمة على مجال ثابتة على هذا المجال» (إضافة إلى الاستدلال بالخلف).

5) صعوبتان متوقعتان:

6) لماذا الاكتفاء بالوحدانية وقبول الوجود؟ إثبات وجود حل لـ y' = y و y(0) = 1 يتطلب أدوات خارج البرنامج (متسلسلات القوى، أو نظرية كوشي-ليبشيتز، أو إنشاء الدالة كنهاية (1 + x/n)ⁿ مع دراسة تقارب دقيقة)، بينما الوحدانية في متناول التلميذ بأدوات الاشتقاق؛ والتوجيهات تُجيز قبول بعض النتائج دون برهان عندما يكون برهانها خارج مستوى التلاميذ. (ويمكن الإشارة إلى أن الدالة العكسية لـ ln حل، إن كانت ln قد دُرست، فيُبرَّر الوجود.)

7) أ- نشاط يجيب عن تساؤل التلميذ: ليكن y عددا حقيقيا ثابتا. نعتبر k(x) = exp(x + y) / exp(y) (ممكن لأن exp(y) ≠ 0). k قابلة للاشتقاق و k'(x) = exp(x + y)/exp(y) = k(x)، و k(0) = 1. إذن k تحقق (α)، وبالوحدانية k = exp، أي exp(x + y) = exp(x) × exp(y) لكل x و y.

ب- هل C₂ و C₃ متكافئان؟ ليس كما صيغ C₃ حرفيا: المعادلة الدالية f(x + y) = f(x)f(y) وحدها ليس لها حل وحيد؛ فالدالتان المنعدمة والثابتة 1، وكل دالة x ↦ a^x = e^{x ln a} (a > 0) حلول لها. C₂ ⇒ الخاصية الدالية (السؤال 7-أ)، لكن العكس لا يصح إلا بإضافة شرط: f قابلة للاشتقاق في 0 و f'(0) = 1 (وf غير منعدمة). بهذا الشرط: f(0) = 1، و f'(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h = f(x) × lim (f(h) − 1)/h = f(x)f'(0) = f(x)، فنعود إلى C₂. إذن التكافؤ قائم مع هذا الشرط الإضافي.

8) براهين في إطار C₂:

أ- لكل x ∈ ℝ ولكل r ∈ ℚ: exp(rx) = (exp x)^r.

• exp(x) = exp(x/2)² > 0 (مربع عدد غير منعدم)، فالقوى الجذرية معرفة.
• لـ n ∈ ℕ بالترجع: exp(0·x) = 1 = (exp x)⁰، و exp((n + 1)x) = exp(nx) × exp(x) = (exp x)ⁿ⁺¹.
• لـ −n: exp(−nx) = 1/exp(nx) (من f(t)f(−t) = 1) = (exp x)⁻ⁿ. إذن الخاصية صحيحة لكل p ∈ ℤ.
• لـ r = p/q (q ∈ ℕ*): (exp(px/q))^q = exp(q × px/q) = exp(px) = (exp x)^p؛ وبما أن exp(px/q) > 0 وللمعادلة t^q = (exp x)^p حل موجب وحيد، فإن exp(px/q) = ((exp x)^p)^1/q = (exp x)^p/q.

ب- lim exp(x) = +∞ عند +∞، ثم lim exp(x) = 0 عند −∞.

• exp' = exp > 0، فـ exp تزايدية قطعا على ℝ.
• نضع h(x) = exp(x) − 1 − x: h'(x) = exp(x) − 1، سالبة على ]−∞, 0] وموجبة على [0, +∞[ لأن exp تزايدية و exp(0) = 1؛ فلـ h قيمة دنيا h(0) = 0، ومنه exp(x) ≥ 1 + x لكل x.
• بما أن lim (1 + x) = +∞ عند +∞، فبالمقارنة lim exp(x) = +∞ عند +∞.
• عند −∞: exp(x) = 1/exp(−x)، ولما x → −∞ يكون −x → +∞ و exp(−x) → +∞، إذن lim exp(x) = 0 عند −∞.

الموضوع الثاني (3 نقط)

1) كرونولوجيا مفهوم المتجهة (حسب البرامج الرسمية):

2) ثلاثة مشاكل ديداكتيكية:

• الخلط بين المتجهة والقطعة والمسافة (كتابة AB بدل المتجهة، أو ‖u + v‖ = ‖u‖ + ‖v‖)، والخلط بين «المنحى» و«الاتجاه».
• الطابع المجرد للمتجهة (متجهة «حرة» غير مرتبطة بنقطة أصل)، وصعوبة استعمال علاقة شال في الاتجاهين (تفكيك وتركيب)، وضرب متجهة في عدد سالب.
• صعوبة التنقل بين الإطارات: الهندسي والمتجهي والتحليلي، واختيار الأداة المناسبة لمسألة (متجهات، مرجح، إحداثيات)، ثم تمثل المتجهات في الفضاء.

3) موقع النقطة G: من الشكل، [BC] مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متقايسة و BP = (1/3)BC، و[AC] مقسمة إلى أربعة أجزاء متقايسة و AQ = (1/4)AC.

• P = مرجح (B, 2) و (C, 1)، و Q = مرجح (A, 3) و (C, 1).
• لتكن G مرجح (A, 3)، (B, 2)، (C, 1) (المجموع 6 ≠ 0). بالتجميعية: G مرجح (A, 3) و (P, 3) فـ G ∈ (AP)، وG مرجح (B, 2) و (Q, 4) فـ G ∈ (BQ). إذن G هي نقطة تقاطع (AP) و (BQ).
• النتيجة: G منتصف [AP] (AG = (1/2)AP)، و BG = (2/3)BQ على القطعة [BQ].

بمتجهات فقط (مستوى الجذع المشترك): نكتب BG = x·BQ و AG = y·AP، ونعبر عن كل شيء في الأساس (BA, BC): BQ = (3/4)BA + (1/4)BC و BP = (1/3)BC. من BG = BA + y(BP − BA) = (1 − y)BA + (y/3)BC و BG = (3x/4)BA + (x/4)BC نحصل على 1 − y = 3x/4 و y/3 = x/4، فـ x = 2/3 و y = 1/2.

الموضوع الثالث (7 نقط)

المطلوب: نهاية u_n = (1 − 1/(2n))ⁿ، n ≥ 1. النتيجة الصحيحة: lim u_n = e^−1/2 = 1/√e.

1) أ- ب- ج- تحليل الأجوبة:

2) حل مقترح للقسم:

1. لكل n ≥ 1: 1 − 1/(2n) ≥ 1/2 > 0، إذن u_n > 0 و ln u_n = n ln(1 − 1/(2n)).
2. نضع x = −1/(2n)، فـ n = −1/(2x) و x → 0 عندما n → +∞. إذن ln u_n = −(1/2) × ln(1 + x)/x.
3. بما أن lim ln(1 + x)/x = 1 عندما x → 0، فإن lim ln u_n = −1/2.
4. u_n = exp(ln u_n) والدالة exp متصلة في −1/2، إذن lim u_n = e^−1/2 = 1/√e ≈ 0,61.

💡 تحقق سريع لمعالجة خطأي A و B: u₁ = 0,5؛ u₁₀ = 0,95¹⁰ ≈ 0,60؛ u₁₀₀ = 0,995¹⁰⁰ ≈ 0,61 — الحدود لا تقترب لا من 0 ولا من 1.

3) وضعيتان لإبراز الجانب الوظيفي للمتتاليات:

أ- وضعية من الحياة اليومية (جرعات دواء): مريض يتناول كل 12 ساعة 100 mg من دواء، ويطرح جسمه 30% من الكمية الموجودة في الدم بين جرعتين. لتكن u_n الكمية بعد الجرعة رقم n (u₁ = 100).

1. بيّن أن u_n+1 = 0,7u_n + 100.
2. نضع v_n = u_n − 1000/3. بيّن أن (v_n) هندسية أساسها 0,7 واستنتج u_n = 1000/3 − (700/3)(0,7)ⁿ⁻¹.
3. حدد نهاية (u_n) (1000/3 ≈ 333 mg) وفسر النتيجة: الكمية تستقر ولا تتجاوز هذا المستوى، ما يسمح للطبيب بضبط الجرعة.

ب- وضعية حل مسألة (ندفة كوخ): ننطلق من مثلث متساوي الأضلاع ضلعه a ومساحته A₀؛ في كل مرحلة نقسم كل ضلع إلى ثلاثة أجزاء متقايسة ونبني على الجزء الأوسط مثلثا متساوي الأضلاع خارجيا.

1. بيّن أن عدد الأضلاع في المرحلة n هو 3 × 4ⁿ وطول كل ضلع a/3ⁿ، واستنتج أن المحيط P_n = 3a(4/3)ⁿ يؤول إلى +∞.
2. بيّن أن المساحة المضافة في المرحلة k هي (A₀/3)(4/9)^k−1، واستنتج أن المساحة تؤول إلى A₀ + (A₀/3) × 1/(1 − 4/9) = (8/5)A₀.
3. ناقش: شكل محيطه لا منته ومساحته منتهية.