Modèle : épreuve de didactique de la spécialité — Mathématiques — AREF — CNEE 2021
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Epreuve de didactique de la specialite - Mathematiques organisé par Academies regionales d'education et de formation (AREF) (2021), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Academies regionales d'education et de formation (AREF)
- Grade
- Epreuve de didactique de la specialite - Mathematiques
- Spécialité
- الرياضيات - التعليم الثانوي
- Année
- 2021
- Pages
- 16
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
مبارياث لتوظيف الأطر النظامية للأكادبمبات : المركز الوطتي للنفويم والامتحانات الاسم الشخصي والعائلي : بح لال سال رياه اللا مال سا سا اال وال ماع مامالا لاسا سال ساس اا التخصص : الرياضيات خاص بلثابة المياراة S 7 . + 577زززززز0ز0ززز5زز505 م الموضوع / ورقة à ee ً لإجابة اسم المصحح وتوقيفه : “mms |الصفحة :1 على 16 ع ات سر لب ب لس لس بن ع ا Consignes et instructions aux candidats ٠١ La feuille sujet c'est une feuille de réponse ke candidat{e) répond sur la copie du sujet : 2. Transerire toutes les informations personnelles demandées à l'entête de La première page : 3. Chaque candidat(e) n'a le droit d'utiliser qu'une seule copie sujet/réponse ; 4. L'épreuve comporte une première partie sous forme de questions à choix multiples et deux parties à questions ouvertes où fermées : 5. Chaque question de la première partie comporte 4 choix de réponses (A, B, C, D) dont une seule réponse est juste. Avec un stylo à bille (bleu ou noir), on coche la lettre correspondante à la réponse correcte de la façon suivante : Question : 745% fs. 3 B, 11 x 12 D, 14 6. La rature ou l'utilisation du Blanco sont strictement INTERDITES ; 7. Aucun document de quelque nature que ce soit n'est autorisé : 8. L'usage de دا calculatrice non programmable est permis : 9. L'usage d'un stylo rouge dans دا rédaction des réponses est à éviter : 10. L'usage des téléphones mobiles, des tablettes et de tout appareil électronique intelligent est strictement INTERDIT. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا يكتب أى شىء = يي نسي فى هذا الاطا ا رح ل و رن ٍِ سس سس مباريات لتوظيف الأطر النظامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة ps 2021- الموضوع : التخصص : الرياضيات - الاختيار : اختبار في «بداكتيك مادة التقصص الصفحه: 2 Didactique des mathématiques (25 points) 5 ل Première partie : Ms ÈS bonne réponse pour chacune des questions suivantes : ها Choisis Question 1 : Le contrat didactique est : l'enscignant (e) à l'élève et l'ensemble des عدم A. l'ensemble des savoirs transmis représentations de l'élève que l'enseignant (e) cherche à mettre en évidence. B. l'ensemble de compétences professionnelles pour l'enseignant (e) dans le transfert de connaissances à l'élève et l'ensemble d'activités réalisées par ce dernier. C. l'ensemble des comportements de l'enscignant (e) qui sont attendus de l'élève, et de l'ensemble des comportements de l'élève qui sont attendus de l'enseignant (e). D. l'ensemble des connaissances que l'enseignant (e) transmet à l'élève et l'ensemble des compétences qu'il développe chez lui. EEE Question 2 : La variable didactique est un paramètre dans une situation — problème dont la variation est susceptible : A. d'amener l'élève à acquérir des compétences supérieures. B. de provoquer une modification de la stratégie de solution adoptée par l'élève. C. d'assurer une mesure du degré de maîtrise des compétences minimales chez l'élève. D. de provoquer une modification du parcours d'engagement de l'élève dans la résolution, بب7بنسس اا لسعد ل سللبلليبللللللللللللل»ل٠لللللللللللللت لل للللللللل لللل ل سس نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com à لا يكتب أى في هذا الإطا في هذا الإطار مباريات لتوظيف الأطر الننامية للأكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضوع 3 التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار في ديداكتيك مادة التخصمر الصفحة؛ 16.2 Question 3 : L'obstacle épistémologique est : A. une contrainte d'ordre logique dans la consigne d'une question qui empêche l'élève d'y répondre. B. une contrainte d'ordre psychogénétique qui entrave l'acquisition d'une connaissance chez l'élève. C. une difficulté rencontrée par l'élève au cours de son parcours pouvant gêner ou faciliter son apprentissage. D. l'ensemble des perturbations qui provoquent la stagnation et la régression d’un savoir scientifique au profit de son progrès. —————_—_—_—_—E Question 4 : La transposition didactique est : A. le processus selon lequel un savoir savant se transforme en un savoir à enseigner. B. le processus par lequel s'établissent les règles de la relation pédagogique entre l'enseignant (e) et l'élève. C. le processus de transmission du savoir en classe avec la participation centrale de l'élève. D. le processus de construction d'un savoir chez l'élève à partir de ses représentations للا لل لل ل لللللللللللللللللللللللللللللللل لل ل ل ل لللللل لللللللللل©للاللللللسللسساسسسسسححتت: Question 5 : Le concept de conflit socio-cognitif exprime : A. le conflit entre les états dans le domaine de la connaissance, B. certains des conflits historiques qui ont marqué l'émergence de certains concepts. C. l'interaction sociale entre individus et groupes dans le processus de construction d'un savoir. D. les différentes attitudes sociétales envers l'importance de la connaissance, EEE —EEE—_—_———_—_—_—_—_— wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا بكتب أى شىء بطنبا اي المي فى هذا الاطا يبحو - -- دب لحان احا سروه ولا اماج الاج لماه دا 3 مباريات لتوظيف الأطر النظامية للأكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضرع 4 التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار في دبداكتيك مادة التخصمر الصفحة: Question 6 : La trame conceptuelle permet à l'enseignant (e) : A. de garantir l'assimilation du concept à enseigner par les élèves. B. de prévoir de façon raisonnée une progression pédagogique. C: d'anticiper les erreurs individuelles des élèves. D. de connaitre au préalable les questions prospectives des élèves. ET بببست7سسيتسستتببمستمسببسٍسٍسٍلسس7سسللسلٍسٍسٍس سطس سلسسسش (سدباللسل Question 7 : Le manuel scolaire est un outil d'apprentissage pour : A. l'enseignant (e). B. l'élève. C. le parent de l'élève. D. l'inspecteur pédagogique. EEE Question 8 : Le manuel scolaire est un outil d'enseignement et d'apprentissage : A. pour mettre en œuvre les programmes seulement et aider l'élève dans son auto-apprentissage. B. pour mettre en œuvre les directives pédagogiques et dispense l'enseignant (e) de la préparation des cours. C. pour mettre en œuvre les programmes et les directives pédagogiques sans se substituer à eux. D. pour mettre en œuvre les programmes et les directives pédagogiques et s'y substituer. أ لل لل لل للللللللللل لسسسسن-ن7ا7اسٍمت(لسسسست: wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا بكتب أى شىء ب = يي اساي فى هذا الاطا الح ل ا رت ا ا ااه ا ا اا اا ا اا اا لا ااا ا ا مباريات لتوظيف الأطر النظامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة js 2021- الموضوع َ التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار في ديداكتيك مادة التخصص الصفحة: 5 Les directives pédagogiques relatives au programme de mathématiques de la deuxième année de l'enseignement secondaire collégial, stipulent que (document 1) : Fm 1 «+ La symétrie axiale est un outil fort dans l'étude des figures géométriques (et particulièrement celles qui sont symétriques). Elle est considérée parmi les acquis des élèves qu'ils ont déjà octroyés et traités au niveau du primaire. Aussi doit-on la renforcer, la rehausser et l'employer dans la résolution des problèmes géométriques divers en vue d'entraîner les élèves à la démonstration et la justification des constructions et des résultats. « La présentation de la symétrie axiale en tant qu'application du plan, est à éviter. D'ailleurs, toutes ses propriétés (conservation de la distance ; de l'alignement ; de l'aire ; des mesures des angles, ...( doivent être déduites d'activités bien choisies et en s'appuyant sur l'observation, l'expérience et la mesure. On exploite ces activités pour élaborer des démonstrations simples. Traduit de l'arabe à partir du fascicule des directives pédagogiques générales d'enseignement des mathématiques au secondaire collégial, pp.32 &33. (Direction des curricula et de la vie scolaire, Août, 2009) 1) Où se manifeste l'importance de la symétrie axiale ? Et pourquoi ? wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو لا بكتب أى شىء فى هذا الاطا أي ساسا سا ا مباريات لنوظيف الأطر النظامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضوع 5 التخصص : الر ياضيات - AGENT : اختبار في دبداكتيك ile التخصسصس الصفحة: 6 على16 Déterminer, à partir du document 1, la relation dialectique entre la démonstration )2 mathématique et la symétrie axiale ? Pourquoi, à votre avis, la présentation de la symétrie axiale en tant qu'application )3 du plan, est à éviter ? Identifier, à partir du document 1, des outils à adopter pour présenter les propriétés )4 de la symétrie axiale. نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com لا بكتب أ ش.ء فى هذا الاطا في 3 5 وام sissossésmcci=secsssmessescusescenpesececs مباريات لنوظيف الأطر التلامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجتبر 2021- الموضوع : التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار في ديداكتيك مادة anis) الصفحة: 7 16,9 Pour présenter une leçon, on utilise les types d'activités suivants : activités de )5 construction - activités d'introduction - activités de rappel - activités d'enrichissement - activités d'expansion, Quels types d'activités sont appropriés pour mener le chapitre de la symétrie axiale pour le niveau de la deuxième année collégiale ? Justifier votre réponse. Proposer une situation-problème dans laquelle la symétrie axiale est utilisée )6 comme un outil de résolution. 11. Nous vous proposons les documents 2 et 3 (extraits et adaptés d'un manuel scolaire) constitués de cinq activités préparatoires à un chapitre prévu pour le niveau du tronc commun scientifique et technologique du cycle secondaire qualifiant : (Le candidat(e) est tenule) de lire attentivement les cinq activités ci-dessous qui sont incluses dans les documents 2 et 3 sans y répondre, sauf si cela est demandé dans les questions qui lui seront adressées et qui apparaîtront immédiatement après la dernière activité du document 3). wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Leo لا بكتب اى ay} هذا à À اج ا رن ا نس سا ااه سا ا A مباريات لتوظيف الآطر النظامية للأكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة جنير 2021- الموضوع $ التخصص : الرياضبات - الاختيار : اختبار في ديداكتيك مادة التخغصصض الصفحة: == A re SEA ATP AD TOR orge So (+ } un cmecin de conte © et de سرد FL . On sat que La longueur du certe (c'est-à-dire con périmé) Pot à eut éguie à ZA, ef que la orgues Gun dom مت اصن eut م بال Botent ١ et M due poires de (0) et ص بنع ما د agées che / \ range OÙ : © et 0» 200 { الس ١( Set l'in tsngueur de ras A 14 \ ] On sat que l'est proporionnete à la mesure à du l'angie FOX \ Ÿ Atorérer que : {mn = 4 Se 7 2( 8 eux une autre 6ض de menure مضة»هجد ساوصد دين radian Oo norte Que ا mesure de l'ange plat Sot u ts لد ليده د de l'ange PO : للف DOM = ند ا دادم مسسش ا ال Recopier et compléter Le موادا Dans le Las où Mn ٠ 2 سلب - assé ete pen lu à بيده rap Muse de OM en cegéa) 07 ما | 45 ات | 00" vols voler muse on حوضو 6e l'orge SR EMA MA VOU ut sq à in longueur À رجيدا) cs Glen gt) | ذا سا . 1( Le pan eut rapporté à un تود crtagenal(O; dj) Set (U) ما cercie de contre 0 أن de rayon 1. 551 ١ un point Ge (نا) 2 S Lorsqu'un post mcbie M part du point ١ ef tourne maris du core f fon décrivurt le certe) تحت le sens de ts Miche (1) 2, on de quil 1 x ١ )١( tourne ما وحث sens posëf به Srect, en revanche, le Lens de لا 1 ذا féche (1) est appcté sons négatl ou mérect. pa | o ا 8 0 Lorsqu'on Choksit un point ١ ده QU) et on opte pour كب sens positif A P 4 من rotation لخد du cercle, on di que l'en à crienté le منت une SE / oretaton noms. (U) est ar appelé ما cercie trigonometrique ل 2) Soert عد هه عا إنا) bigonométrique de عون © et x un nornbre لوه Lorsque he paies M par du point 1 et toume auto? du cercle (ن1) durs un sers post parcourant ها dmtance د si à 2 0 (ou Suns le اتدوفم مدعو parcourant La ممحستدك -1 si à > 01. on نك Que à تون une sbecisse curviliqne du port M sur (ن) et on écrit A1} Ari. on a فتحماك un repérage da peut LA sus (U) Par جات ججد» terscpee M iourne Gas le mens poses et s'arrite me ٠. aices > = Ÿ ent une ممواعوضد consigne Ge 14 c'est-à-Sire de ل = 1 Lorsque M عت dans le sens négatif et sante on دام ,ل ne 5 erT a est une لل سند الس 7 À 2) Donner une معاي Qu ré tte art { / 5 en مموعداظد ما Curéligne Ou port LM sur (LI, alors x + Zxx (où à 6 Z) م >“ \ et: mel une abacisse cuvée Où M En d'autres termes A1) et F 1 Ms + زح sont deu ports conionces مذ (LI) PINS Di Déterrener. sus عسوا ما les ports C'ancsses واه vel NZ : 17# 26-91 _ is € 2 RE لات ولس كا dim Le wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
— صفحة 9 —
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مباريات لتوظيف الأطر النظامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضوع
9 التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختيار في ديداكتيك مادة التخصص الصلحة:
16e
Soi (نا) un cercie migonométrique de contre 0 ' 0
161 sont deux ponts de كما (ن) que (ON) et (OI) soient perpendieutaires SO"
Le repère {0:0,6ï) Ont un ropère orhonormal te ua
Soient x ui nombre réel ot M le point d'abicisse curvigne x ur la cercle مت ل
10004106 (U). LT ام
+ L'abeciise de M, dans ما repère )0:01,0([. s'appate cosinus x et se note cosx. © Ce:
L'ordonnée de M, dans le ropère{O;OÏ.OÏ), s'appote sinus x ot قد note sine \ À |
1) Déterminer ما © le صمل de محر des nomères suivants |
0 : 1 ج#-: 2-: 2 جر > 1566
2) 5611416 projeté ormogonal de M sur (OI) et 201 K ما projeté crinogona de M su (OU)
à) Dans te cas où 1 = 5 . montrer que OMI ent un triangle équiatéral.
En déduire tn% et csÿ
D) Dans le cas où = À , morérer que OMH est un angle roctangie isocète
En déchire cos et un
©) Dans ما cas où ©» À , mortrer que OIM est un iiangie équistéral Calculer cos À etSn 3
3) Montrer quo cor x + sel x = 1 (c'esté-dre (cosn) + (una) = 9
QE s
Soiert M1} un point de (U), d'abscisse curviiqne x, et ا un nombre entier rotatit
1) Sur {U), représenter les points )ها + k (2x 1 قفا - + | MS +) ديزلا زد + يي 1 - #ياة
2) Mortrer que : cosix + MPa)) = coëx et mix + (21) » د
3) Montrer que M, est le symétrique de M par rapport à l'ans des abscisses.
Bou مايرا projen cmogeral لاه ريد ذه (ON. one que Les barges OU 4١ OM, sort isométiques
4 sut qu et sort
61 étant le projeté crihogonal de 0 su (ON) ب
En cédure que cos($—x}=snx 0 اماع ا اانا
5( Mortrer que M, est le symétrique de M, نهم rapport à عددا des ةماه
5} Montrer que M, est le symétrique de M par rapport à l'axe des ondonnées et que M, est le symétrique de
M par rapport à 0. En déduire cos {x — 2} أن Sim د) — a}
Sotlmt=ietrel
1) a) Roprésenter, sur le cercie mgonométrique, les psirts dont l'abscisse curuigne à vérfie copx= 3
D) Indiquer, sur le cercie rigonométnque, les points dont l'abscisse curviligne 1 vérifie cos à à
En Ltksant une couleur Gférente, dessiner les points du cercie tigonométique dont l'abscisse
curélgne x vériler : 605 3 .ل
كن Dsterrener dns L وا sons del ويدوا à مه كه chacune des deux équations 05 € 3 mœsxx }
2) a) Rapréserter, عه le cercle Wigonométique, les points dont l'abscisse curvibgne à vêdie : En x » 2
b) Indiquer, par باصا دعوله بود les ponts du corde iigonométrique dort l'abicisse curvligne ب
مكار sina > et ceux tels que : Sn xD
إع Déterminer dans L les sotutions de l'équation Sin à = 2 Buts les solutions de chacune des néquatons
ا 2 .“ع 7
— صفحة 10 —
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8 مباريات لتوظيف الاطر النظامية للاكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- المرضوع
10 التخصص : الرياضبات - الاختبار : اختبار في ديداكتيك مادة التقصص الصفحة:
Les questions adressées au candidat (e) :
1) Donner un titre convenable à ce chapitre,
2) Proposer un titre pour chaque activité des deux documents 2 et 3.
3) Quelles sont les connaissances et les techniques essentielles pour traiter ces
activités ?
4) a) Traiter l'activité 4 du document 3.
— صفحة 11 —
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دا جاه ووو حت احاح لواحا لاح أده > اجاج اج اواج اال ne
مباريات لتوظيف الآطر النظامية للأكاديميات : أساتذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضوع
11 التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختيار في ديداكتيك مادة التقصصض الصفحة:
الى16
b) Quelles sont les difficultés que l'élève peut rencontrer lors du traitement de
l’activité 4 ?
c) Identifier deux causes à l’origine de ces difficultés ?
5) Le maniement du cercle trigonométrique est un objectif principal de ce chapitre.
Mentionner deux logiciels en géométrie qui pourraient y contribuer, en justifiant
cette possibilité.
— صفحة 12 —
هذا الاطا à
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ححا الات لالد يدالو واه للا واه كاه احا تالاه اسه جاه حت دجاه
6) On vous propose, dans cette question, l'énoncé d'une situation présenté par un
enseignant de mathématiques à ses élèves dans une classe du tronc commun
scientifique, accompagné de la réponse d'un élève :
L'énoncé de la situation (document 4) : MENT |
Soit x un réel de l'intervalle b 1 tel que : cos(x}sin(x) = 1
Montrer que cos(x) = sin(x) puis déduire la valeur de x. 8
La réponse de l'élève
On considère le cercle trigonométrique (C) et le
repère orthonormé qui lui est attaché (O,/,7).
Soit M{x) un point du cercle (C) et H et K )© M. À
ses projetés orthogonaux respectifs sur (O/)et Æ 2 4
00 إ م
On considère le point 7)1:1( EN I
On remarque que l'aire du rectangle OHMK لي
vaut la moitié de l'aire du carré ل0/7 quand le
point M appartient à la droite (OT). Dans ce
cas, le rectangle OHMK est un carré et son aire
devient minimale. On obtient donc :
cos(x)=sin(x). Par suite : x= 45°
— صفحة 13 —
بطب أي سي ع
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التخصص : الر ياضيات - الاختبار : اختيار في ديداكتيك مادة التغصص الصفحة: 13
a) Dans quel cadre s'inscrit la réponse de l'élève ?
b) Quels outils l'élève a-1-il utilisés dans la solution ?
c) Identifier les erreurs contenues dans la réponse de l'élève ?
d) Apporter les modifications nécessaires à la réponse de l'élève en s’aïdant d'une
interprétation géométrique de la situation proposée ?
— صفحة 14 —
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مباريات لترظيف الأطر اللظامية للاكاديميات : أسائذة التعليم الثانوي -دورة دجنبر 2021- الموضوع |
التخصص : الرياضيات - الاختيار : اختيار في دبداكتيك مادة التخصص الصفحة: 14
Troisième partie :
Un enseignant a proposé à ses élèves d'une classe de la première année du baccalauréat,
كته : )5 section sciences économiques, la situation suivante (document
Le mobilier d'une bibliothèque doit être changé pour contenir au moins 4400 livres de
petit format et 2600 livres de grand format.
Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 110 livres de
petit format et 100 livres de grand format pour un prix de 4000 DH,
B nouvant contenir 220 livres عدب Un deuxième fournisseur propose des meubles de
OUU/DH. عم نعضي ports 161 تام ماده عدا 100 de petit format et
Par ailleurs le responsabie de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune
commande supérieure à 96000 DH chez un même fournisseur.
Déterminer le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour
que la dépense soit minimale.
Tâches de l'enseignant Tâches de l'élève
Présentation et | |
appropriation de la |
situation |
— صفحة 15 —
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وجا رمج نج اجا ئس ججح NE اه داه الاج اجاج مج نوات لت
مباريات لتوظيف الآطر النظامية للاكاديميات : أسائذة التعليم الثانوي سدورة دجنبر 2021- الموضوع 5
التخصص : الرياضيات — الاختبار : اختبار في ديداكتيك مادة التخصص الصفحة: 15
16,5
Recherche | | |
Partage et échange | |
Institutionnalisation du ١
résultat |
En ee
Proposer une solution à cette situation. )2
— صفحة 16 —
GAS pal -دورة ps 2021- الموضوع
لصي : الرياضيك = الاختبار : اخلبار في دي تيك مايا التخمس
«وجومويرووجييرجو<«؟
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de didactique de la matière de spécialité — Mathématiques du concours de recrutement des cadres des Académies régionales d'éducation et de formation (professeurs de l'enseignement secondaire), session de décembre 2021, élaborée par le Centre national de l'évaluation et des examens. Durée : 2 heures, coefficient 1, notée sur 25 points. Elle comprend un QCM de 8 questions, une deuxième partie sur documents (symétrie axiale au collège, puis trigonométrie au tronc commun) et une troisième partie sur la gestion d'une situation-problème. Voici une correction proposée.
💡 Méthode : dans les questions ouvertes, le correcteur attend des réponses courtes, appuyées sur le document fourni et formulées avec le vocabulaire de la didactique (cadre, outil/objet, obstacle, variable didactique, institutionnalisation). Citez le document chaque fois que la question dit « à partir du document ».
Première partie — QCM
| Question | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1. Le contrat didactique | C | Selon Brousseau, c'est l'ensemble des comportements de l'enseignant attendus par l'élève et des comportements de l'élève attendus par l'enseignant, à propos du savoir en jeu. Les autres propositions parlent de savoirs transmis ou de compétences, pas d'attentes réciproques. |
| 2. La variable didactique | B | C'est un paramètre de la situation que l'enseignant peut faire varier et dont le changement de valeur provoque un changement de la stratégie de résolution de l'élève (et donc de l'apprentissage visé). |
| 3. L'obstacle épistémologique | D (réponse probable) | La proposition D reprend la formulation de Bachelard, pour qui les obstacles épistémologiques sont des causes de stagnation et même de régression apparaissant dans l'acte même de connaître, et que le progrès de la connaissance doit surmonter. A décrit une difficulté liée à la consigne (obstacle didactique), B une limite liée au développement de l'élève (obstacle ontogénique), C une simple difficulté : un obstacle ne « facilite » pas l'apprentissage. |
| 4. La transposition didactique | A | Chevallard : passage du savoir savant au savoir à enseigner (puis au savoir enseigné). |
| 5. Le conflit socio-cognitif | C | Il désigne la confrontation de points de vue entre individus (ou groupes) en interaction sociale, confrontation qui fait progresser la construction du savoir. |
| 6. La trame conceptuelle | B | En organisant les notions d'un domaine et leurs liens, elle permet de prévoir de façon raisonnée une progression pédagogique. Elle ne « garantit » pas l'assimilation (A). |
| 7. Le manuel scolaire, outil d'apprentissage pour… | B. l'élève | Pour l'enseignant, le manuel est un outil d'enseignement ; c'est pour l'élève qu'il est un outil d'apprentissage. |
| 8. Le manuel, outil d'enseignement et d'apprentissage | C | Il met en œuvre les programmes et les directives pédagogiques sans se substituer à eux : la référence reste le programme officiel, et le manuel ne dispense pas l'enseignant de préparer ses cours. |
Deuxième partie
I. La symétrie axiale en deuxième année du collège (document 1)
1) Où se manifeste l'importance de la symétrie axiale ? Pourquoi ?
D'après le document 1, son importance se manifeste dans l'étude des figures géométriques (en particulier
les figures symétriques), dans la résolution de problèmes géométriques variés et dans l'entraînement des
élèves à la démonstration et à la justification des constructions et des résultats. Pourquoi : c'est un
« outil fort » et c'est un acquis des élèves, déjà traité au primaire ; on peut donc s'appuyer sur lui, le
renforcer et l'employer, et ses propriétés de conservation fournissent des arguments simples pour justifier.
2) Relation dialectique entre la démonstration mathématique et la symétrie axiale.
La relation joue dans les deux sens :
- La symétrie au service de la démonstration : on l'emploie dans la résolution de problèmes « en vue d'entraîner les élèves à la démonstration et à la justification » ; ses propriétés (conservation des distances, de l'alignement, des aires, des mesures d'angles) servent d'arguments.
- La démonstration au service de la symétrie : les activités qui font découvrir ces propriétés par l'observation, l'expérience et la mesure sont exploitées « pour élaborer des démonstrations simples » ; les propriétés de la symétrie deviennent ainsi des résultats justifiés.
La symétrie est donc à la fois objet d'étude et outil de preuve (dialectique outil-objet).
3) Pourquoi éviter de présenter la symétrie axiale comme application du plan ?
Parce que cette présentation est formelle et abstraite pour un élève de deuxième année du collège : elle
suppose la notion d'application (à tout point du plan on associe un point image), qu'il ne possède pas encore.
L'élève conçoit la symétrie comme une action sur des figures (pliage, superposition), non comme une transformation
de tout le plan. Une présentation ensembliste détournerait du but fixé par les directives : faire de la symétrie un
outil d'étude des figures et d'initiation à la démonstration, à partir de l'observation et de l'expérience.
4) Outils à adopter pour présenter les propriétés de la symétrie axiale.
Le document indique que les propriétés doivent être déduites d'activités bien choisies s'appuyant sur :
- l'observation : figures symétriques, figures de l'environnement, quadrillage ;
- l'expérience : pliage, papier calque, miroir, constructions à la règle, à l'équerre et au compas ;
- la mesure : comparer des longueurs et des angles (règle graduée, compas, rapporteur), comparer des aires.
On peut y ajouter un logiciel de géométrie dynamique, qui permet d'observer ce qui se conserve quand on déplace la figure.
5) Types d'activités appropriés pour ce chapitre. (réponse probable)
Comme la symétrie axiale est un acquis du primaire, il ne s'agit pas d'introduire une notion nouvelle : les
activités d'introduction ne sont donc pas les plus adaptées. Conviennent :
- des activités de rappel, pour réactiver et diagnostiquer les acquis (le document demande de « renforcer » la notion) ;
- des activités de construction, pour dégager les propriétés de conservation à partir de l'observation, de l'expérience et de la mesure ;
- des activités d'enrichissement et d'expansion, pour « rehausser » la notion et l'« employer » dans la résolution de problèmes et dans des démonstrations simples.
6) Une situation-problème où la symétrie axiale est un outil de résolution.
Deux villages A et B sont situés du même côté d'une rivière rectiligne (D). On veut installer sur la rive une
station de pompage M reliée aux deux villages. Où placer M pour que la longueur totale de canalisation AM + MB
soit la plus petite possible ?
Résolution : soit A' le symétrique de A par rapport à (D). Pour tout point M de (D), AM = A'M (la symétrie conserve les distances), donc AM + MB = A'M + MB. Or A'M + MB ≥ A'B (inégalité triangulaire), avec égalité seulement lorsque M est sur le segment [A'B]. Le point cherché est donc l'intersection de (D) et de (A'B). La symétrie n'est pas demandée dans l'énoncé : c'est l'élève qui doit la mobiliser comme outil.
II. Activités préparatoires du tronc commun (documents 2 et 3)
1) Titre du chapitre : « Calcul trigonométrique » (cercle trigonométrique, abscisses curvilignes, cosinus et sinus d'un nombre réel, équations et inéquations trigonométriques fondamentales).
2) Un titre pour chaque activité :
- Activité 1 : le radian — longueur d'un arc et conversion entre degrés et radians.
- Activité 2 : le cercle trigonométrique — abscisses curvilignes d'un point.
- Activité 3 : cosinus et sinus d'un nombre réel — valeurs remarquables et relation cos²x + sin²x = 1.
- Activité 4 : relations entre les cosinus et sinus des nombres x + 2kπ, −x, π − x, π + x, π/2 − x et π/2 + x (angles associés).
- Activité 5 : équations et inéquations trigonométriques fondamentales — lecture sur le cercle trigonométrique.
3) Connaissances et techniques essentielles pour traiter ces activités :
- Connaissances : périmètre du cercle et proportionnalité (activité 1) ; angles et leurs mesures en degrés ; rapports trigonométriques d'un angle aigu dans le triangle rectangle et théorème de Pythagore (collège) ; triangle équilatéral, triangle rectangle isocèle ; repère orthonormé, coordonnées et projection orthogonale ; symétrie axiale et symétrie centrale ; triangles isométriques ; nombres réels et intervalles.
- Techniques : utiliser un tableau de proportionnalité ; placer un point sur le cercle à partir de son abscisse curviligne (positive ou négative, supérieure à 2π) ; lire des coordonnées ; reconnaître une symétrie sur une figure ; calculer des longueurs dans un triangle particulier ; représenter un ensemble de points du cercle et le traduire en intervalle.
4) a) Traitement de l'activité 4. On note M(x) le point de (U) d'abscisse curviligne x ; ses coordonnées dans le repère (O ; OI, OJ) sont (cos x ; sin x). On note I' le point diamétralement opposé à I.
- Représentation : M1(x + 2kπ) est confondu avec M ; M6(−x) est le symétrique de M par rapport à (OI) ; M4(π − x) son symétrique par rapport à (OJ) ; M5(π + x) son symétrique par rapport à O ; M2(π/2 − x) son symétrique par rapport à la première bissectrice ; M3(π/2 + x) le symétrique de M2 par rapport à (OJ).
- cos(x + 2kπ) et sin(x + 2kπ) : d'après l'activité 2, x et x + 2kπ sont deux abscisses curvilignes du même point (on a fait k tours complets). M1 = M, donc ils ont les mêmes coordonnées : cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- M6(−x) : à partir de I, on parcourt le même arc que pour atteindre M, mais dans le sens contraire. La symétrie d'axe (OI) laisse I fixe, conserve les longueurs et inverse le sens de parcours : l'image de M est donc M6. Deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ont la même abscisse et des ordonnées opposées : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x.
- M2(π/2 − x) : on raisonne sur la figure, avec x dans ]0 ; π/2[. Le triangle OMH est rectangle en H, avec OM = 1 et l'angle HOM de mesure x. Le triangle OM2H2 est rectangle en H2, avec OM2 = 1 et l'angle H2OM2 de mesure π/2 − x ; son troisième angle OM2H2 mesure donc π/2 − (π/2 − x) = x. Les deux triangles rectangles ont des hypoténuses de même longueur et un angle aigu de même mesure : ils sont isométriques. D'où OH2 = MH et M2H2 = OH, c'est-à-dire cos(π/2 − x) = sin x et sin(π/2 − x) = cos x.
- M3(π/2 + x) : à partir de J (abscisse curviligne π/2), M3 est obtenu en parcourant l'arc x dans le sens positif et M2 en parcourant le même arc dans le sens négatif ; comme au point 3, M3 et M2 sont symétriques par rapport à (OJ). Ils ont donc la même ordonnée et des abscisses opposées : cos(π/2 + x) = −cos(π/2 − x) = −sin x et sin(π/2 + x) = sin(π/2 − x) = cos x.
- M4(π − x) et M5(π + x) : la symétrie d'axe (OJ) envoie I sur I' (abscisse curviligne π) et inverse le sens de parcours ; l'image de M(x) est donc le point obtenu depuis I' en parcourant l'arc x dans le sens négatif, soit M4(π − x). D'où cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x. Ajouter π à l'abscisse curviligne revient à faire un demi-tour : M5 est diamétralement opposé à M, donc symétrique de M par rapport à O, et cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x.
b) Difficultés que l'élève peut rencontrer :
- placer les six points pour un x quelconque (l'élève choisit un x particulier, aigu, ou ne sait pas traiter les abscisses négatives et le sens de parcours) ;
- confondre le nombre x, le point M(x) et l'angle, ou confondre longueurs (OH, MH) et coordonnées (qui ont un signe) ;
- justifier rigoureusement une symétrie qu'il « voit » sur la figure, et prouver que deux triangles sont isométriques ;
- passer du cas de figure (x aigu) au cas général ;
- gérer le grand nombre de points et de notations, et enchaîner les déductions (la question 5 repose sur la question 4).
c) Deux causes à l'origine de ces difficultés :
- La nouveauté des notions : le radian, l'abscisse curviligne et le cosinus d'un réel quelconque viennent d'être introduits ; l'élève reste attaché à la trigonométrie du triangle rectangle, avec des angles aigus en degrés et des rapports positifs (conception ancienne qui fait obstacle).
- La conception de l'activité : elle est longue, formelle et littérale, sans figure fournie, et elle mobilise en même temps plusieurs prérequis fragiles (symétries, triangles isométriques, coordonnées).
5) Deux logiciels de géométrie utiles pour le maniement du cercle trigonométrique : GeoGebra et Cabri-Géomètre. Ce sont des logiciels de géométrie dynamique : on y construit le cercle trigonométrique et un point M mobile, on affiche en temps réel son abscisse curviligne et ses coordonnées (cos x ; sin x), on visualise l'enroulement de la droite réelle sur le cercle et les symétries entre M(x), M(−x), M(π − x)… L'élève peut ainsi conjecturer les relations avant de les démontrer et lire les solutions d'équations et d'inéquations.
6) Analyse d'une réponse d'élève (document 4). Énoncé : x est un réel de ]0 ; π/2[ tel que cos(x) sin(x) = 1/2 ; montrer que cos(x) = sin(x), puis en déduire x.
a) Cadre de la réponse : le cadre géométrique (celui des grandeurs : les aires). L'élève a opéré un changement de cadre : il traduit une égalité trigonométrique en une égalité d'aires sur le cercle trigonométrique.
b) Outils utilisés : le cercle trigonométrique et son repère (O, I, J) ; les projetés orthogonaux H et K de M, avec OH = cos x et OK = sin x ; l'aire du rectangle OHMK (égale à cos x × sin x) et l'aire du carré OITJ (égale à 1) ; la droite (OT), diagonale du carré ; la propriété « un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux est un carré » ; la lecture de la figure (« on remarque »).
c) Erreurs contenues dans la réponse :
- Confusion entre une implication et sa réciproque : l'hypothèse dit que l'aire de OHMK vaut 1/2 ; il faut en déduire que M est sur (OT). L'élève affirme l'inverse (« l'aire vaut la moitié quand M appartient à (OT) »), ce qui ne prouve pas que ce soit le seul cas.
- Affirmation non démontrée : il s'appuie sur une constatation visuelle (« on remarque ») qui ne tient pas lieu de preuve.
- Erreur mathématique : il écrit que l'aire du rectangle « devient minimale » lorsqu'il est un carré ; elle est au contraire maximale (elle vaut alors 1/2 et tend vers 0 quand M s'approche de I ou de J).
- Erreur d'unité : x est un réel de ]0 ; π/2[, la réponse attendue est x = π/4 et non « x = 45° ».
d) Réponse corrigée, avec interprétation géométrique :
Comme x est dans ]0 ; π/2[, cos x > 0 et sin x > 0, donc OH = cos x et OK = HM = sin x. L'hypothèse
signifie : aire(OHMK) = OH × OK = 1/2, soit la moitié de l'aire du carré OITJ.
Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore donne OH² + HM² = OM² = 1. Alors :
(OH − OK)² = OH² + OK² − 2 × OH × OK = 1 − 2 × (1/2) = 0.
Donc OH = OK, c'est-à-dire cos(x) = sin(x) : le rectangle OHMK est un carré. M est alors équidistant des
droites (OI) et (OJ), donc M appartient à la bissectrice (OT) de l'angle IOJ ; l'angle IOM mesure π/4 et, comme
x est dans ]0 ; π/2[, x = π/4.
Vérification : cos(π/4) × sin(π/4) = (√2/2) × (√2/2) = 1/2.
Remarque pour la classe : l'aire du rectangle vaut deux fois celle du triangle OHM, qui est rectangle en H et donc inscrit dans le demi-cercle de diamètre [OM], de rayon 1/2. Sa hauteur issue de H est au plus 1/2 ; son aire est au plus (1 × 1/2)/2 = 1/4 et celle du rectangle au plus 1/2. Le maximum n'est atteint que si le triangle est isocèle (OH = HM) : c'est ce que l'élève avait perçu, en se trompant sur le mot « minimale ».
Troisième partie — Gestion d'une situation-problème (document 5)
1) Tâches de l'enseignant et de l'élève selon les phases :
| Phase | Tâches de l'enseignant | Tâches de l'élève |
|---|---|---|
| Présentation et appropriation de la situation | Présente l'énoncé et fait lire ; s'assure de la compréhension du contexte et du vocabulaire (meuble, format, fournisseur, commande) ; fait reformuler la consigne et les contraintes ; organise le travail (individuel puis groupes, durée) ; ne donne aucune piste de résolution. | Lit l'énoncé, pose des questions de compréhension, reformule le problème ; repère les données, les contraintes et ce qui est demandé (minimiser la dépense). |
| Recherche | Observe les groupes, repère les procédures et les erreurs ; relance et encourage sans donner la solution ; aide à débloquer (choix des inconnues, mise en tableau des données) ; choisit les productions à présenter. | Choisit les inconnues x et y ; traduit les contraintes par des inéquations ; fait des essais, représente graphiquement le système, cherche la dépense minimale ; rédige une solution de groupe. |
| Partage et échange | Organise la présentation des productions ; anime le débat, fait expliciter et comparer les procédures ; fait valider ou réfuter par la classe ; gère les erreurs comme objets de discussion. | Présente et explique la démarche de son groupe ; argumente, écoute et critique les autres solutions ; corrige ses erreurs ; valide la solution retenue. |
| Institutionnalisation du résultat | Dégage et formule, avec les élèves, le savoir visé : mise en système d'inéquations du premier degré à deux inconnues, résolution graphique (régionnement du plan), recherche de l'optimum ; fixe le vocabulaire et la méthode ; propose des exercices d'application. | Participe à la formulation de la synthèse ; note la méthode dans son cahier ; la relie à ses connaissances ; la réinvestit dans des exercices. |
2) Une solution de la situation. Le prix du meuble de type B est partiellement recouvert sur l'énoncé ; il se lit 6000 DH, valeur retenue ici.
Choix des inconnues : x = nombre de meubles de type A, y = nombre de meubles de type B (entiers naturels).
Contraintes :
- petit format : 110x + 220y ≥ 4400, soit x + 2y ≥ 40 ;
- grand format : 100x + 100y ≥ 2600, soit x + y ≥ 26 ;
- fournisseur A : 4000x ≤ 96000, soit x ≤ 24 ;
- fournisseur B : 6000y ≤ 96000, soit y ≤ 16.
Dépense à minimiser : D = 4000x + 6000y = 2000(2x + 3y).
Résolution graphique : dans un repère, on trace les droites x + 2y = 40, x + y = 26, x = 24 et y = 16. L'ensemble des solutions du système est le quadrilatère de sommets (12 ; 14), (24 ; 8), (24 ; 16) et (10 ; 16). Les droites de dépense constante 2x + 3y = c sont parallèles ; la dépense est minimale pour la droite la plus basse qui rencontre encore ce quadrilatère, donc en un sommet :
| Sommet (x ; y) | Dépense D = 4000x + 6000y |
|---|---|
| (12 ; 14) | 48 000 + 84 000 = 132 000 DH |
| (10 ; 16) | 40 000 + 96 000 = 136 000 DH |
| (24 ; 8) | 96 000 + 48 000 = 144 000 DH |
| (24 ; 16) | 96 000 + 96 000 = 192 000 DH |
Justification par le calcul : 2x + 3y = (x + 2y) + (x + y) ≥ 40 + 26 = 66, avec égalité seulement si x + 2y = 40 et x + y = 26, c'est-à-dire y = 14 et x = 12.
Vérification : 12 meubles A et 14 meubles B contiennent 110 × 12 + 220 × 14 = 1320 + 3080 = 4400 livres de petit format et 100 × 12 + 100 × 14 = 2600 livres de grand format ; la commande chez le premier fournisseur est de 48 000 DH et chez le second de 84 000 DH, toutes deux inférieures à 96 000 DH.
Conclusion : il faut commander 12 meubles de type A et 14 meubles de type B, pour une dépense minimale de 132 000 DH.
Questions fréquentes sur ce sujet
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