Modèle : Épreuve de didactique de la spécialité - Mathématiques — Ministère de l'Éducation nationale - Examen d'aptitude professionnelle, 1er grade des enseignants du secondaire qualifiant 2020

هذا النموذج هو اختبار ديداكتيك مادة التخصص — الرياضيات في امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أساتذة التعليم الثانوي التأهيلي، دورة دجنبر 2020. يتكون من ثلاثة مواضيع: الأول (11 نقطة) حول درس المتتاليات العددية بالسنة الثانية بكالوريا، والثاني (4 نقط) حول الأطر المرجعية للامتحانات الإشهادية، والثالث (5 نقط) تحليل إنتاجات تلميذين في تمرين من الجذع المشترك العلمي. المرجع الرسمي المعتمد: التوجيهات التربوية والبرامج الخاصة بتدريس مادة الرياضيات بسلك التعليم الثانوي التأهيلي (نونبر 2007).

الموضوع الأول (11 نقطة)

المبرهنة المدروسة: ليكن a عددا حقيقيا؛ إذا كان −1 < a < 1 فإن lim aⁿ = 0 (عندما يؤول n إلى +∞).

الجزء الأول (7 نقط)

1) موقع الدرس (0,5 ن): السنة الثانية من سلك البكالوريا، شعبة العلوم التجريبية وشعبة العلوم والتكنولوجيات (مسلكا العلوم والتكنولوجيات الميكانيكية والكهربائية)، مجال التحليل، الفصل الأول «المتتاليات العددية»، ضمن فقرة نهاية متتالية — نهايات المتتاليات المرجعية. تنص التوجيهات على أنه «تتم دراسة نهاية المتتالية (aⁿ)... على أن تعتبر فيما بعد نهاية اعتيادية». وهو امتداد لما دُرس في الأولى باكالوريا (عموميات المتتاليات، المتتاليات الحسابية والهندسية، البرهان بالترجع).

2) القدرات المنتظرة (1 ن) كما في البرنامج الرسمي:

• استعمال المتتاليات الهندسية والمتتاليات الحسابية في دراسة أمثلة من متتاليات من الشكل u_n+1 = a u_n + b و u_n+1 = (a u_n + b)/(c u_n + d)، ومتتاليات ترجعية أخرى بسيطة؛
• استعمال نهايات المتتاليات المرجعية ومصاديق التقارب لتحديد نهايات متتاليات عددية؛
• استعمال المتتاليات في حل مسائل متنوعة من مجالات مختلفة؛
• تحديد نهاية متتالية متقاربة من الشكل u_n+1 = f(u_n) حيث f دالة متصلة على مجال I وتحقق f(I) ⊂ I.

3) ثلاثة امتدادات لنتائج الدرس (0,75 ن):

• المتتاليات الترجعية u_n+1 = a u_n + b: بوضع v_n = u_n − l (l النقطة الصامدة) نحصل على متتالية هندسية أساسها a، فـ u_n = l + (u₀ − l)aⁿ، ونهايتها l إذا كان |a| < 1 — تطبيق مباشر للمبرهنة. وكذلك مجموع حدود متتالية هندسية: 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) يؤول إلى 1/(1 − q).
• التأطير والتقريب: في طريقة التفرع الثنائي يكون طول مجال التأطير بعد n مرحلة هو (b − a)/2ⁿ فيؤول إلى 0؛ وفي المتتاليات u_n+1 = f(u_n) نحصل غالبا على |u_n − l| ≤ kⁿ|u₀ − l| مع 0 < k < 1 فنستنتج التقارب ونحدد عدد المراحل اللازم لدقة معينة.
• مواد التخصص والاحتمالات: نماذج التناقص الأسي (التفتت الإشعاعي، تفريغ مكثف، إقصاء دواء بنسبة ثابتة في كل فترة) وفي الاحتمالات: احتمال عدم تحقق حدث احتماله p في n تجربة مستقلة هو (1 − p)ⁿ ويؤول إلى 0.

4) أ- البرهان (0,5 ن): لنفترض أن لكل n ≥ p: 2u_n+1 = u_n + u_n+2. إذن u_n+2 − u_n+1 = u_n+1 − u_n لكل n ≥ p. المتتالية (d_n) المعرفة بـ d_n = u_n+1 − u_n تحقق إذن d_n+1 = d_n، فهي ثابتة (بالترجع: d_n = d_p لكل n ≥ p). بوضع r = u_p+1 − u_p نحصل على u_n+1 = u_n + r لكل n ≥ p، إذن (u_n)_n≥p متتالية حسابية أساسها r. (والعكس صحيح أيضا: إذا كانت حسابية أساسها r فإن u_n + u_n+2 = (u_n+1 − r) + (u_n+1 + r) = 2u_n+1.)

ب- مثال تطبيقي (0,5 ن): حدد العدد الحقيقي x لكي تكون الأعداد ln 2 و ln(2^x − 1) و ln(2^x + 3) حدودا متتابعة لمتتالية حسابية. الشرط: 2 ln(2^x − 1) = ln 2 + ln(2^x + 3) مع 2^x > 1، أي (2^x − 1)² = 2(2^x + 3). بوضع t = 2^x: t² − 4t − 5 = 0 فـ t = 5 (t = −1 مرفوض)، إذن x = ln 5 / ln 2.

5) أهمية المتتاليات الحسابية والهندسية في برامج التأهيلي (0,5 ن):

• أداة لنمذجة ظواهر متقطعة: النمو الخطي (حسابية) والنمو أو التناقص بنسبة ثابتة (هندسية): الفوائد البسيطة والمركبة، الساكنة، التفتت...؛
• مدخل لمفهوم النهاية ولمجاميع الحدود، وأداة أساسية لدراسة المتتاليات الترجعية u_n+1 = a u_n + b بمتتالية مساعدة هندسية؛
• مجال لممارسة الاستدلال (البرهان بالترجع) والربط بين المتقطع والمتصل: المتتالية الحسابية نظيرة الدالة التآلفية، والهندسية نظيرة الدالة الأسية.

6) برهان المبرهنة (1 ن):

• إذا كان a = 0 فإن aⁿ = 0 لكل n ≥ 1، والنتيجة واضحة.
• إذا كان 0 < |a| < 1 فإن 1/|a| > 1، فنضع 1/|a| = 1 + x مع x > 0.
• متفاوتة برنولي: لكل n ∈ ℕ: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. بالترجع: صحيحة لـ n = 0؛ وإذا كانت صحيحة لـ n فإن (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.
• إذن |aⁿ − 0| = |a|ⁿ = 1/(1 + x)ⁿ ≤ 1/(1 + nx) ≤ (1/x)·(1/n) لكل n ≥ 1.
• بما أن lim 1/n = 0 (نهاية مرجعية) و1/x ثابت موجب، فحسب مصداق التقارب «إذا كان |v_n − l| ≤ α u_n ابتداء من رتبة معينة و lim u_n = 0 فإن lim v_n = l» نستنتج أن lim aⁿ = 0.

7) صعوبة البرهنة في هذا المستوى وهذه الشعبة (0,5 ن): التعريف الدقيق لنهاية متتالية (بـ ε و N) خارج البرنامج («كل دراسة نظرية لمفهوم نهاية متتالية تعتبر خارج البرنامج»)، فلا يمكن البرهان إلا بالاعتماد على مصاديق تقارب مقبولة دون برهان. ثم إن البرهان يتطلب فكرة غير بديهية للتلميذ (الكتابة 1/|a| = 1 + x ومتفاوتة برنولي بالترجع)، ومعالجة الحالة السالبة بالقيمة المطلقة، وتلاميذ هذه الشعبة قليلو التمرس بالتعامل مع المتفاوتات. لذلك يُكتفى غالبا بتخمينها بالحاسبة أو بمجدول ثم إثباتها في حالة خاصة.

8) وضعية توظف المتتاليات في التقريب (1 ن):

نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة بـ u₀ = 1 و u_n+1 = 1 + 1/(1 + u_n).

1. بيّن بالترجع أن 1 ≤ u_n ≤ 2 لكل n. (إذا كان 1 ≤ u_n ≤ 2 فإن 1/3 ≤ 1/(1 + u_n) ≤ 1/2، إذن 4/3 ≤ u_n+1 ≤ 3/2.)
2. تحقق أن √2 = 1 + 1/(1 + √2) ثم بيّن أن u_n+1 − √2 = (√2 − u_n) / ((1 + u_n)(1 + √2)).
3. استنتج أن |u_n+1 − √2| ≤ (1/4)|u_n − √2| (لأن (1 + u_n)(1 + √2) ≥ 2(1 + √2) > 4)، ثم أن |u_n − √2| ≤ (1/4)ⁿ.
4. استنتج أن (u_n) تتقارب نحو √2 (باستعمال المبرهنة لأن 0 < 1/4 < 1)، وحدد n الذي يعطي u_n قيمة مقربة لـ √2 بدقة 10⁻³: يكفي 4ⁿ ≥ 1000 أي n = 5، و u₅ ≈ 1,41429.

9) ثلاث فوائد لتوظيف الأداة المعلوماتية (0,75 ن) (التوجيهات تنص على أنه «ينبغي العمل على توظيف الأداة المعلوماتية في هذا الفصل»):

• التخمين: حساب عدد كبير من الحدود بمجدول أو حاسبة وتمثيلها (ومخطط «الدرج/الحلزون» لـ u_n+1 = f(u_n) ببرنام هندسي ديناميكي) لتخمين الرتابة والنهاية قبل البرهان.
• التقريب والخوارزميات: تحديد أصغر n يحقق شرطا (مثلا aⁿ < 10⁻⁶) ببرنامج بسيط، والحصول على قيم مقربة بدقة مطلوبة.
• التحفيز والتفريق: تغيير الوسائط (قيمة a، الحد الأول) ومشاهدة الأثر فورا، مما يسمح بعمل فردي أو في مجموعات وبمعالجة تمثلات خاطئة (مثلا a = −1 أو a = 1,01).

الجزء الثاني (4 نقط)

1) بطاقة تقنية لدرس المتتاليات العددية — الثانية باكالوريا علوم تجريبية (2 ن):

2) الصعوبات المعرفية المنتظرة (1 ن):

• الطابع اللانهائي والديناميكي لمفهوم النهاية («تقترب ولا تصل»)، وصعوبة تقبل أن متتالية ثابتة متقاربة.
• الخلط بين «مكبورة» و«متقاربة» وبين «رتيبة» و«متقاربة» (تزايدية لا يعني متقاربة، ومحدودة لا يعني متقاربة).
• الخلط بين u_n = f(n) و u_n+1 = f(u_n)، والمرور إلى النهاية في العلاقة الترجعية دون إثبات التقارب.
• الاعتقاد أن المتفاوتة الصارمة تبقى صارمة عند النهاية، وأشكال عدم التحديد، وحالة aⁿ عندما a ≤ −1.
• صعوبات صياغة البرهان بالترجع (خلط الافتراض بالمطلوب).

3) وضعية لمعالجة إحدى الصعوبات (1 ن) — صعوبة المرور إلى النهاية دون إثبات التقارب:

نعتبر u₀ = 2 و u_n+1 = 2u_n − 1. قال تلميذ: «إذا كانت l النهاية فإن l = 2l − 1 إذن l = 1».

1. احسب u₁، u₂، u₃، u₄ (3، 5، 9، 17). هل تقترب الحدود من 1؟
2. بيّن أن v_n = u_n − 1 متتالية هندسية أساسها 2، واستنتج u_n = 1 + 2ⁿ ونهايتها +∞.
3. أين الخطأ في استدلال التلميذ؟ (افترض وجود النهاية؛ العلاقة l = f(l) شرط لازم لا كاف.)
4. أعد الدراسة مع u_n+1 = (1/2)u_n + 1: بيّن أولا التقارب (رتيبة ومحدودة، أو عبر متتالية هندسية أساسها 1/2) ثم احسب النهاية 2.

الموضوع الثاني (4 نقط)

1) معيار المطابقة (1 ن): أن يكون موضوع الامتحان مطابقا للإطار المرجعي: كل سؤال يقيس قدرة أو أداء منصوصا عليه في الإطار، ضمن المجالات والمجالات الفرعية المحددة، وبمستويات الأداء المطلوبة، مع احترام نسب الأهمية المخصصة لكل مجال؛ فلا يُقوَّم ما هو خارج الإطار ولا يُغفل ما هو أساسي فيه.

2) أهداف الأطر المرجعية وعلاقتها بالبرنامج (2 ن):

• الأهداف: تحديد ما يُقوَّم في الامتحان الإشهادي (مجالات، مضامين، مهارات، مستويات أداء، أوزان)؛ توحيد مرجعية بناء المواضيع بين الدورات والجهات وضمان تكافؤ الفرص؛ الرفع من صدق الاختبار وثباته؛ الشفافية أمام الأساتذة والتلاميذ لتوجيه الاستعداد؛ توجيه لجان إعداد المواضيع والتصحيح.
• العلاقة بالبرنامج: الإطار مشتق من البرنامج الدراسي وليس بديلا عنه؛ البرنامج مرجع التعليم والتعلم بكامله، والإطار مرجع التقويم الإشهادي يختار منه ما هو قابل للقياس في وضعية امتحان ويحدد أوزانه؛ فلا يجوز اختزال التدريس في الإطار المرجعي.

3) الأطر المرجعية المكيفة 2019-2020 لشعبة العلوم التجريبية (1 ن): شملت مجالين رئيسيين:

• التحليل: المتتاليات العددية؛ الاتصال والاشتقاق ودراسة الدوال (بما فيها الدالتان اللوغاريتمية النيبيرية والأسية النيبيرية) والدوال الأصلية والحساب التكاملي.
• الجبر والهندسة: الأعداد العقدية.

واستُبعدت المضامين التي لم تُدرَّس حضوريا بسبب توقف الدراسة (الهندسة الفضائية، حساب الاحتمالات، المعادلات التفاضلية). نسب الأهمية (إجابة مرجّحة): يستأثر التحليل بالحصة الكبرى من النقطة والأعداد العقدية بالباقي؛ النسب المئوية الدقيقة لم تُطبع في النسخة الرسمية من الإطار المكيف التي أمكن الاطلاع عليها.

الموضوع الثالث (5 نقط)

الحل المرجعي للتمرين: معادلة D_m تكتب m(x − 2y − 4) + (x + y + 2) = 0. (لا ينعدم المعاملان m + 1 و 2m − 1 في آن واحد، فـ D_m مستقيم دائما.)

• النقطة (x, y) تنتمي إلى جميع D_m ⇔ x − 2y − 4 = 0 و x + y + 2 = 0 ⇔ (x, y) = (0, −2). إذن A(0, −2) هي النقطة الثابتة.
• لنقطة M(x, y): إذا كان x − 2y − 4 ≠ 0 فإن m = −(x + y + 2)/(x − 2y − 4) يعطي مستقيما D_m مارا منها. وإذا كان x − 2y − 4 = 0 فلا يمر منها أي D_m إلا إذا كانت M = A. المجموعة المطلوبة هي المستوى محروما من نقط المستقيم Δ: x − 2y − 4 = 0 باستثناء A.

1) تحليل جواب التلميذ A (2 ن):

• السؤال 1: المنهجية سليمة كخطوة أولى والحسابات صحيحة (D₀: x + y + 2 = 0، D₁: 2x − y − 2 = 0، تقاطعهما A(0, −2)). لكن التلميذ أثبت فقط شرطا لازما: إن وجدت نقطة ثابتة فهي A. ولم يتحقق من أن A تنتمي فعلا إلى كل المستقيمات D_m، فالجواب ناقص من حيث الاستدلال.
• السؤال 2: الحساب صحيح بالنسبة لـ B(2, 5) (−12m + 9 = 0 أي m = 3/4)، لكنه عمم انطلاقا من مثال واحد (استدلال استقرائي)، والنتيجة خاطئة: مثلا النقطة C(4, 0) تعطي 6 = 0، فلا يمر منها أي مستقيم D_m. كان عليه حل المعادلة ذات المجهول m لنقطة عامة (x, y) ومناقشة حالة انعدام معامل m.

2) توضيح إضافي يتمم جواب A على السؤال 1 (1 ن): التعويض بإحداثيتي A في معادلة D_m لكل m: (m + 1)·0 − (2m − 1)(−2) − 4m + 2 = 4m − 2 − 4m + 2 = 0، إذن A ∈ D_m لكل m. ويُبيَّن للتلميذ الفرق بين الشرط اللازم (التقاطع بين مستقيمين خاصين) والشرط الكافي (الانتماء إلى جميع المستقيمات)، أو تُقترح عليه الطريقة المباشرة: كتابة المعادلة على شكل m(x − 2y − 4) + (x + y + 2) = 0 والقول إن هذه المساواة تتحقق لكل m إذا وفقط إذا انعدم المعاملان.

3) أخطاء التلميذ B (2 ن):

• في السؤال 1: اعتمد على الرسم وعلى ثلاث قيم خاصة لـ m (−2، 1، 3) ليستنتج خاصية عامة: ملاحظة بصرية وحالات خاصة لا تشكل برهانا (تخمين مقبول لا غير). كما أن مرور ثلاثة مستقيمات من نقطة لا يضمن مرور باقي المستقيمات منها، والقراءة المبيانية لا تعطي إحداثيات مضبوطة.
• في السؤال 2: استدلال خاطئ: «عدد المستقيمات كبير جدا إذن كل نقطة يمر منها مستقيم». كون المجموعة لا منتهية لا يعني أنها تغطي المستوى؛ فكل المستقيمات D_m تمر من A، ولا يمر أي منها من نقط Δ غير A. والنتيجة نفسها خاطئة.
• الخطأ المشترك: الخلط بين التخمين والبرهان، وغياب مناقشة المعادلة ذات الوسيط m.