Modèle concours enseignement (cadres AREF) — Spécialité et didactique - mathématiques - secondaire 2018

هذا النموذج هو اختبار في مادة التخصص وديداكتيك مادة التخصص — الرياضيات لمباراة توظيف الأساتذة بموجب عقود للتعليم الثانوي بسلكيه الإعدادي والتأهيلي، دورة يناير 2018 (المركز الوطني للتقويم والامتحانات والتوجيه). المدة: 4 ساعات، المعامل: 3. يتكوّن الاختبار من موضوعين: ديداكتيك الرياضيات (10 نقط) وأسئلة متعددة الاختيارات في الرياضيات (10 نقط). النسخة المتوفرة تضم الصفحات 1 إلى 3 من 8 فقط، أي موضوع الديداكتيك كاملا، أما صفحات الأسئلة المتعددة الاختيارات فغير موجودة، ولذلك يقتصر التصحيح على الموضوع الأول.

الموضوع الأول: ديداكتيك الرياضيات (الأعداد الأولية)

الجزء الأول

1-أ) المستوى المستهدف: الجذع المشترك العلمي والجذع المشترك التكنولوجي، كما يدل على ذلك مصدر النشاط (الوثيقة 1) والبرنامج (الوثيقة 2: «مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ومبادئ في الحسابيات»).

1-ب) عنوان الدرس: «مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ومبادئ في الحسابيات: الأعداد الأولية» (ويمكن الاكتفاء بـ«الأعداد الأولية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية»).

1-ج) جواب السؤال 3 من النشاط A:

• 1 ليس أوليا لأن له قاسما واحدا فقط هو 1، والعدد الأولي له قاسمان بالضبط.
• 0 ليس أوليا لأن كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم قاسم له (0 = n×0)، فله ما لا نهاية من القواسم.

1-د) تدبير تعثر بعض التلاميذ في السؤال 3:

• الرجوع إلى تعريف القاسم: «d يقسم a إذا وُجد k بحيث a = k×d»، وتطبيقه صراحة على 0 و1.
• مطالبتهم بكتابة قائمة قواسم 0 و1 كما فعلوا مع 2 و3 و5، ثم مقارنتها بعبارة «قاسمان فقط».
• العمل في مجموعات، وإعطاء مثال مضاد (0 = 7×0 إذن 7 يقسم 0)، ثم تصحيح التمثل الخاطئ «1 أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه» عبر مناقشة جماعية.
• تثبيت ذلك بتمرين قصير فردي لاحق، مثل «هل 1 و0 و9 و23 أولية؟ علّل».

2-أ) المعارف الأساسية للنشاط التمهيدي A: مفهوم القاسم وتحديد قواسم عدد؛ تعريف العدد الأولي (عدد له قاسمان بالضبط)؛ أن 0 و1 ليسا أوليين؛ التعرف على عدد غير أولي بإيجاد قاسم له مخالف لـ1 ولنفسه (مثل 187 = 11 × 17)؛ والأعداد الأولية الأولى (2 و3، وهما الأوليان الأصغران من 5).

2-ب) صياغة رياضية دقيقة:

• تعريف: نقول إن عددا صحيحا طبيعيا p أولي إذا كان يقبل قاسمين بالضبط هما 1 و p (أي p ≠ 1 وقواسمه الوحيدة 1 و p).
• نتيجة: 0 و1 ليسا أوليين؛ و2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
• خاصية: يكون عدد n ≥ 2 غير أولي إذا وفقط إذا وُجد قاسم d له بحيث 1 < d < n.

3) صياغة جديدة للنشاط A (مقترح أكثر ملاءمة لبناء المفهوم بدل تلقينه):

1. أتمم الجدول: لكل عدد من 0 إلى 20 اكتب قائمة قواسمه وعددها.
2. صنّف هذه الأعداد حسب عدد قواسمها (قاسم واحد، قاسمان، أكثر من قاسمين، ما لا نهاية).
3. تسمى الأعداد التي لها قاسمان بالضبط أعدادا أولية. اكتب الأعداد الأولية الأصغر من 20. هل 0 و1 أوليان؟ علّل.
4. بيّن أن 187 غير أولي. ثم ابحث عن طريقة سريعة لمعرفة إن كان عدد ما أوليا (تجربة القسمة على الأعداد الأولية التي مربعها أصغر من العدد أو يساويه).

مبررات الاختيار: ينطلق المتعلم من بحث ومن تصنيف بدل تعريف جاهز؛ إدراج 0 و1 في الجدول يجعل حالتيهما تظهران طبيعيا؛ والسؤال الأخير يمهّد لمعيار الأولية ولتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية المذكور في البرنامج.

4) المعالجة الديداكتيكية للنشاط A داخل الفصل:

• التهييء (5 د): تذكير بمفهوم القاسم بسؤال شفهي، وتقديم التعليمة بوضوح.
• البحث الفردي ثم في مجموعات (15 د): دور التلميذ: يحسب القواسم ويصنّف ويصوغ ملاحظاته. دور الأستاذ: يتجول ويلاحظ الأخطاء (نسيان n كقاسم لنفسه، اعتبار 1 أوليا) دون أن يعطي الجواب، ويوجّه بأسئلة.
• العرض والمناقشة (10 د): تعرض المجموعات نتائجها، ويدير الأستاذ النقاش ويستثمر الأخطاء، خاصة حالتي 0 و1.
• المأسسة (10 د): يصوغ الأستاذ مع التلاميذ التعريف والخاصيات، ويُدوَّن الملخص في الدفاتر.
• التطبيق والتقويم (10 د): تمرين فردي قصير (هل 91 و97 أوليان؟ فكّك 84)، مع تصحيح فوري ودعم للمتعثرين.

5) أجوبة النشاط B (p و q أوليان، 3 < p < q، و n = p + q):

1. n غير أولي: بما أن p > 3 و q > 3 وهما أوليان، فهما فرديان (العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2). إذن n = p + q زوجي، و n ≥ 5 + 7 = 12 > 2. فالعدد 2 قاسم لـ n مخالف لـ1 ولـ n، إذن n غير أولي.
2. أكبر قاسم لـ n مخالف لـ n: هو n/2 = (p+q)/2. لأن كل قاسم d لـ n بحيث d ≠ n يحقق n = k·d مع k ≥ 2، أي d ≤ n/2؛ و n/2 قاسم لـ n لأن n زوجي.
3. كل قاسم d لـ n مخالف لـ n أصغر من q: من السؤال السابق d ≤ (p+q)/2، وبما أن p < q فإن p + q < 2q، أي (p+q)/2 < q. إذن d < q.
4. هل p قاسم لـ n؟ لا. بالخلف: لو كان p يقسم n = p + q، ولأن p يقسم p، لكان p يقسم الفرق q. لكن q أولي، فقاسماه 1 و q، و p ≠ 1 و p ≠ q (لأن p < q). تناقض، إذن p لا يقسم n.

6) الهدف من النشاط B: توظيف خاصيات الزوجية والأعداد الأولية وقواسم عدد في حل مسألة بسيطة، والتدرب على أنماط من البرهان (الاستنتاج المباشر، البرهان بالخلف، التأطير)، وهو ما تنص عليه التوجيهات: «استئناس التلاميذ ببعض أنماط البرهنة… دون إفراط».

7-أ) الصعوبات المحتملة ومصادرها:

• عدم استحضار أن كل عدد أولي أكبر من 2 فردي (المصدر: معرفة سابقة غير مثبتة).
• الخلط بين «أكبر قاسم» و«أكبر قاسم مخالف لـ n»، وصعوبة الانتقال من n = k·d إلى d ≤ n/2 (المصدر: ضعف التعامل مع المتفاوتات والحساب الحرفي).
• صعوبة البرهنة على حالة عامة بأعداد رمزية p و q بدل أمثلة عددية (المصدر: الانتقال من الحساب إلى الجبر، والاكتفاء بالتحقق على أمثلة).
• عدم التمكن من البرهان بالخلف في السؤال 4 (المصدر: نمط استدلال جديد على المتعلم).

7-ب) نموذج لوضعية دعم:

1. أتمم الجدول لـ(p, q) = (5, 7) و(5, 11) و(7, 13): احسب n، واكتب قواسمه، وحدد أكبر قاسم مخالف لـ n، وقارنه بـ q، وهل p يقسم n؟
2. ماذا تلاحظ؟ صُغ تخمينا.
3. أثبت أن مجموع عددين فرديين زوجي، ثم أن كل قاسم d ≠ n لعدد n يحقق d ≤ n/2 (اكتب n = k·d وقارن k بـ2).
4. افترض أن p يقسم p + q. ماذا تستنتج عن q؟ هل هذا ممكن؟

تنتقل الوضعية من المثال العددي إلى التخمين ثم إلى البرهان، وتفكك كل صعوبة في خطوة مستقلة.

8) الترجمة إلى الفرنسية:

• النص 1: « Tout entier relatif non premier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers. »
• النص 2: « Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux entiers naturels a et b est le plus petit multiple commun non nul des deux nombres a et b. »
• النص 3: « La partie entière du nombre réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. »

الجزء الثاني

1) تطور مفهوم العدد في التعليم الثانوي:

المنطق العام: توسيع تدريجي للمجموعات كلما عجزت مجموعة عن حل مسألة (الطرح ← ℤ، القسمة ← ℚ، الجذر ← ℝ، x² = −1 ← ℂ)، مع الانتقال من الاستعمال الإجرائي إلى البناء والبرهان.

2) ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ:

• أ) خاصية محققة في ℝ وغير محققة في ℂ: ℝ مرتبة ترتيبا منسجما مع الجمع والضرب، وخاصة لكل x من ℝ لدينا x² ≥ 0. أما في ℂ فـ i² = −1، ولا يوجد ترتيب منسجم مع العمليات.
• ب) خاصية محققة في ℚ وغير محققة في ℝ: لكل عدد جذري نشر عشري منته أو دوري (يُكتب a/b مع a ∈ ℤ و b ∈ ℕ*). أما في ℝ فتوجد أعداد نشرها العشري غير منته وغير دوري، مثل √2 وπ. (جواب مقبول آخر: ℚ قابلة للعد وℝ غير قابلة للعد).

الجزء الثالث: المعادلة (E): 2^x + 1 = y² في ℕ

1) ملاحظة التلميذ (x = 3 و y = 3): ليست جوابا عن السؤال. صحيح أن 2³ + 1 = 9 = 3²، لكن هذا التحقق يعطي حلا واحدا فقط، والسؤال يطلب تحديد جميع الأزواج، أي إثبات أنه لا توجد حلول أخرى.

2-أ) نوع الاستدلال: استدلال استقرائي تجريبي، انطلق فيه التلميذ من تجريب قيم صغيرة وعمّم منها، مع تعليل ناقص.

2-ب) هل هو برهان؟ ما قدّمه تعليل وليس برهانا: كون x > 3 يعطي y > 3 لا ينفي وجود حل آخر بقيم أكبر من 3.

2-ج) الخلل: لم يبيّن أن (E) لا تقبل حلا عندما x > 3 (القول بأن y > 3 لا يُقصي شيئا)، ولم يدرس الحالات x = 0 و1 و2. فالنتيجة صحيحة، لكنها غير مبرهنة.

2-د) حل مقترح لتلاميذ الجذع المشترك العلمي:

• (E) تكافئ y² − 1 = 2^x، أي (y − 1)(y + 1) = 2^x.
• إذا كان x = 0 فإن y² = 2، ولا يوجد y في ℕ. إذن x ≥ 1، فالعدد y² = 2^x + 1 فردي، و y فردي، و y ≥ 3 (لأن y = 1 يعطي 2^x = 0).
• العددان y − 1 و y + 1 قاسمان لـ 2^x، والقواسم الوحيدة لـ 2^x هي قوى العدد 2 (لأن 2 أولي). إذن y − 1 = 2^a و y + 1 = 2^b مع a < b و a + b = x.
• بالطرح: 2^b − 2^a = 2، أي 2^a(2^b−a − 1) = 2. بما أن 2^b−a − 1 فردي، فإن 2^a = 2 و 2^b−a − 1 = 1، إذن a = 1 و b = 2.
• ومنه y − 1 = 2، أي y = 3، و x = a + b = 3. التحقق: 2³ + 1 = 9 = 3².
• خلاصة: الزوج الوحيد هو (x, y) = (3, 3).