Modèle : Concours professeurs secondaire - mathématiques - épreuve de didactique - nov. 2022

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الاختبار : اختبار فى ديداكتيك مادة او مواد التخنصسس التخصص : الرياضيات

‎Le point de départ de la réflexion didactique qui la diffère de la réflexion pédagogique est :‏ ل

‎L’interrogation philosophique sur les finalités de l’enseignement

‎Ex La dimension relationnelle humaine de l'acte éducatif
La dimension socio-économique influençant l’activité éducative.

‎D | Le questionnement sur la nature des savoirs scolaires.

‏#سسيتس م
‎DEC‏

‎Le domaine d'investigation de la didactique s'intéressant à la relation élève-savoir est celui :
A | d'étude du curriculum.

‎| B| d'étude de l’enseignement.
d'étude de l'apprentissage.

‎[D | des interrelations entre les trois domaines précédents.

‎L'approche historique dans l'enseignement des mathématiques aide essentiellement à mieux
comprendre :

‎les défis de la confection des outils d'évaluation.
Ex l’origine de la mathophobie chez les élèves.
les rythmes d'apprentissage chez les élèves et leur aspect différentiel.

‎la genèse du savoir mathématique et les difficultés d'apprentissage chez les élèves.

‎L'approche instrumentale dans l’enseignement des mathématiques se propose d'étudier et de
Q comprendre les apports des instruments dans :

‎pores Pere pme re‏ | ذا
‎de re orne‏ سس ‎[D‏

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الاختبار : اختبار قي ديداكتيك مادة أو مواد التخصسس التخصص : الرياضيات

La démarche traditionnelle d'enseignement des mathématiques se situe, sur le triangle didactique,
du côté du pôle :

Les connaissances de l'élève sont en principe insuffisantes pour qu’il résolve immédiatement le
La connaissance visée doit être l'outil le plus adapté pour la résolution du problème au niveau de

La situation-problème ne doit pas permettre à l'élève de décider si une solution trouvée est
convenable ou pas.

Lorsqu'un groupe d'élèves met en œuvre une même représentation d’un concept dans une
situation donnée et que cette représentation présente une certaine stabilité, on parle de :

| تيمس اق

Lequel des outils suivants favorise la visualisation des concepts et l’interdépendance hiérarchique
09 de leurs notions constitutives ?

Le scénario conceptuel

| B| L’imagerie conceptuelle.
La trame conceptuelle.

D | Le cadrage conceptuel.

‎La théorie des champs conceptuels est créée par :‏ ازنازى
‎Régine Douady.‏

‎| B | Raymond Duval.
EX Gérard Vergnaud.

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‎AGENT‏ : اختبار قى ديداكتيك مادة أو مواد التخصسس التقخصص : الرياضيات

Les obstacles dus à des limitations neurophysiologiques de l’apprenant au cours ‏عل‎
‎apprentissage à un moment de son âge sont dits d'origine -

acique

(M Le domaine d'investigation de la didactique s'intéressant à la relation enseignant-savoir est celui :
d'étude du curriculum.
d'étude de l'enseignement.

d'étude de l'apprentissage.
|D | des interrelations entre les trois domaines précédents.

L'erreur (Ja* + ‏“م‎ =a+b où à et b sont des réels) récurrente au secondaire manifeste un
obstacle dû à la persistance d’un modèle lié à -

| B| la non-maîtrise du calcul littéral.

la non-maîtrise de la notion de la variable.

La transposition didactique selon laquelle un savoir savant est transformé en une connaissance à
enseigner est dite :

| B [intème à: |
| D [supplémentaire , —… |

‎Lors de quel stade Piagétien, parmi ce qui suit, apparaît le conflit socio-cognitif ?‏ أ

‎DECO
‎DOC

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الاختبار : اختبار فى ديداكتيك مادة أو مواد التخصسصس التخصص : الرياضيات

0
انه تس ستمسة يه ضف توه سس | 8[
#سيفسس | مه

Dans un parcours, le passage d’un niveau de formulation d’une notion à un autre niveau peut se
traduire par des ajouts ou par :

D'OCCOO

18 À propos des phénomènes d'apprentissage, les travaux sur le rôle des expériences personnelles
018 dans le développement spontané des schèmes fondamentaux sont dus principalement à :

C | Lev Vygotski
19 Les conflits sociocognitifs favorisent :
l'isolement individuel.
la dissolution dans le groupe.

| D | la dynamique du groupe.

(oyhM La pédagogie par projet appliquée en mathématiques développe essentiellement :

[5 [ire eee

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الاختبار : اختبار قى ديداكتيك مادة أو مواد التخصصس التخصص : الرياضيات

2

‎Le choix du tableau par l'enseignant (e) comme un support de travail exige essentiellement :‏ لطر

‎l'interactivité et l'usage des couleurs.

‎[ B| la clarté de l'écriture et l’organisation.
: | l'implication des apprenants.
l'usage parallèle du manuel scolaire.

‎L'intégration des TIC dans l'enseignement des mathématiques relève de l'approche :‏ زغرى

‎instrumentale

‎historique.

‎l'adaptation de la théorie du jeu en situation de classe.

‎l'effort personnel de l'élève et sa capacité d'auto-apprentissage.

‎le degré d’implication de l'élève dans la vie scolaire
l'intégration des TIC dans le processus d'enseignement apprentissage.

‎Parmi les démarches pédagogiques suivantes. laquelle est censée favoriser, le plus.
l'apprentissage actif en mathématiques ?

‎DECO
‎DECO

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‎SANT‏ : اختبار فى ديداكتيك مادة او مواد التخصسصس التخصص : الرياضيات

les orientations pédagogiques des mathématiques au secondaire marocain précisent que la
‏ولق‎ formation mathématique des élèves ne devrait pas se limiter à la seule possession fictive des
définitions. des théorèmes et des techniques. mais irait au-delà pour :

rendre ces acquis vivants et significatifs.

structurer théoriquement ces acquis.

fonder des mathématiques visuelles.

[D | fonder épistémologiquement les contemus mathématiques.

Selon les orientations pédagogiques, les objectifs généraux de l'enseignement des mathématiques
au secondaire marocain reflètent l'importance de la culture mathématique et sa contribution à :

La maîtrise du savoir mathématique dispensé dans les deux cycles.

| B| L'intégration du citoyen dans une société en constante évolution.

La transférabilité interdisciplinaire des mathématiques.
[D | La formation de la personnalité de l'élève.

Selon les orientations pédagogiques des mathématiques au secondaire marocain, l'appréciation de
la valeur et du rôle du symbolisme mathématique s'insère dans le contexte de l'objectif général
d'enseignement des mathématiques visant à :

développer la capacité de l'élève à établir des interconnexions
développer la capacité de l'élève à communiquer par le biais des mathématiques.
qualifier l'élève pour accéder aux études futures et s'intégrer dans la vie active.

développer. chez l'élève, des attitudes positives envers les mathématiques.

Selon les orientations pédagogiques, toute démonstration artificielle, même remarquable, est à
éviter car :

ce genre de démonstrations n’a pas d'extensions futures.
| 8 | ce caractère artificiel n’est pas compatible avec l'approche par compétences

11 ne faut pas assurer l'élégance dans les raisonnements au détriment de la clarté.
[D | elle ne peut pas être transposée didactiquement.

30 Selon les orientations pédagogiques, la présentation d'une multitude d'exercices similaires dans
DEN les séances des mathématiques est :

bénéfique pour les élèves.
B | à adopter avec modération.
C | laissée au soin de l'enseignant (e).

[D | à éviter.

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الاختبار : اختبار فى ديداكتيك مادة أو مواد التخصصس التخصص : الرياضيات

Les orientations pédagogiques relatives au programme de mathématiques de la première année de
l'enseignement secondaire collégial, stipulent que (document 1) - Document

« La résolution d'équations vise à accoutumer les élèves à la résolution de problèmes émanant
de la réalité vécue, et les entraîner à mathématiser différentes situations ; et ce :
- En déterminant et en analysant (hnguistiquement et conceptuellement) les données ;
- En choisissant l’inconnue convenable ;
- En sélectionnant les outils mathématiques nécessaires et en les utilisant pour résoudre le
problème proposé ;
- En interprétant les résultats obtenus.
Pour y parvenir, on présente ces concepts en se basant sur des activités variées par lesquelles
on sensibilise les élèves aux concepts d’inconnue et d’équation puis on passe à la définition et
à l’utilisation des propriétés des égalités dans la résolution de quelques équations.
En outre, on présente des problèmes divers pour que les élèves se rendent compte de l'objectif
poursuivi par l'introduction des équations dans la résolution de problèmes afin de dépasser le
stade caleulatoire, auquel les élèves sont habitués, au stade algébrique.
« Ne pas recourir excessivement à résoudre des équations dont l'objectif est purement
technique.
* On donne la solution ou les solutions en uhlisant la phrase : La solution de l’équation est …

En vous référant aux orientations pédagogiques avancées dans le document 1, répondez aux questions
suivantes :

(0x3 En première du cycle collégial, la notion d’équation a un statut :

- | protomathématique

paramathématique

La présentation des concepts d'inconnue et d'équation est basée sur des activités variées car :

A | Ces deux concepts ont été vus implicitement au primaire.
B | Le coût de cette présentation est faible.
0

› | Ces deux concepts sont abstraits.

D | Elle garantit l'implication totale des élèves.

L'introduction des équations en première du cycle collégial vise à :
hausser le niveau d’abstraction chez les élèves.
aider les élèves à manipuler davantage les égalités.

٠ | parfaire le côté technique calculatoire chez les élèves.

poursuivre l'objectif de la résolution des problèmes.

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الاختبار : اختبار قى ديداكتيك مادة أو مواد التختصص التخصص : الرياضيات

opter pour l’excès dans les séances du cours
se soucier du côté purement technique.

se restreindre à un nombre limité d'équations.

opter pour l'excès dans les devoirs à domicile.

Nous vous proposons les documents 2 et 3 (extraits d'un manuel scolaire) constitués de quatre
exemples relativement à un chapitre prévu pour les filières scientifiques et technologiques d’un niveau
du secondaire.

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الاختبار : اختبار فى ديداكتيك مادة أو مواد ‎ana bill‏
‎Document 2‏

ÉQUATION SE RAMÈNE À UNE ÉQUATION PRODUIT
Exemple FD

Résoudre dans R l'équation (E): 7124-31

* L'équation (E) est définie si: 3x + 17 0 équivaut à : x # -} . c'est-à-dire que : x eR\ -#)
* Ona: ‏دبع بقل‎
équivaut à 16 = (3v + 1)(3x— 1)
16 92-1
9-17 « 0 # On faclorise lexpresson pour s8

‎rambner à une équation produit‏ جوم م
‎{3x +17 ()3«- /17)=0 eaxb=Osignfieque:a=00ub=9‏

‎3x+/17=0 Ou 3-17 =0
17

‎ou Ë Ï 17. appartient à R\ { - 3) ]

‎Donc l'ensemble de solutions de l'équation (E) est :

‎@ RÉSOUDRE UNE ÉQUATION AVEC LA VALEUR ABSOLUE

‎Exemple D
Résoudre dans R l'équation (E): |x|-2/x-1|=2r+3.

‎Etudions le signe de chacun de x et x— 1.
On a donc trois cas à étudier
L'équation (E) devient : ‏د -) 2 -ع-‎ + 1( ‹ 2» + 3
l'équation (E) devient: - 2) + 1 2 +3
c'est-à-dire: x+2x-2=2r+3, donc: r=5 et 5*»]0,1[

‎l'équation (E) devient: x— 2(r- 1)=2r+3,c'estä-dre: 1-Zc+2=21+3

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الاختبار : اختبار فى ديداكتيك مادة أو مواد التخنصصس التخصص : الرياضيات
100113

l'équation (E) devient: - 3+ 8 1, donc: x=- 3 et - 1 &[1, +i

D'où l'ensemble de solutions de l'équaton (E) est: 5=(-5}
) RÉSOUDRE UNE INÉQUATION
Exemple 8

Résoudre dans R l'inéquation 7 pes ‹2

* L'inéquation (1) est définie ‏:نه‎ 1-x#0 c'est-à-dire: x+1, donc

* Ona: ‏م‎ › 2 estéquivaut à : 111-2‹o

c'est-à-dire Bt ‹0
Etucions le signe de 1 (voir le tableau)

On peut représenter l'ensemble de solutions sur une droite graduée :

‎que‏ ارت الود ‎dast bures‏ دي

‎D'où l'ensemble de solutions de l'inéquation (I) est : 5 ‏مرح‎ : + ] 11 : +.

‎) MATHÉMATISATION DE SITUATION COMPORTANT DES SYSTÈMES

‎Exemple ED

‎Un montant 20000 dirhams à été divisé à deux montants placäs dans une banque pendant un an à un taux
de 10% peur lo promior et à un taux de 8 3% pour la second montant

‎Calculer les deux montant, sachant que l'entérét total est de 1840 dirhams

‎Soit x la valeur du premier montant montant et y la valeur du second montant.

‎Lintérêt du premier montant est : x * A =0,10r et l'intérêt du 506000 montant est: y * EE ] =0,08y
Ce problème se traduit au système sulvant : | tés
P à 0801 lo,10x+0,08y = 1840

‎0,10 8

‎=1600-1840=-240 et à,

| 1 0
0,10 1840

‎Le déterminant de ce systéme est: A = |

‎20000 1

‎9037 9.7|4840 0.08|

‎= 1840 — 2000 = —160
Puisque: 20 alors: x= 4 = “245 =12000 et y= y = =5 = 8000

‎D'où le premier montant est : 12000 dirnams et le second montant est : 8000 dirhams.

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DEA S ce ‏حأ | ل‎

Le chapitre en question est sous le titre :

Ordre dans l’ensemble R.
rire et inéquations du premier degré — Systèmes.

D | Equations et méquations du second degré à une inconnue.

fox} Les exemples traités peuvent être catégorisés sous le Libellé :

ااا ساف

‎D | Approfondissement

‎Q40 La technique fondamentale de l'exemple 1 consiste à :

‎Définir le domaine de définition de l'équation à résoudre.

‎[| B | Ramener l'expression avec quotient de l'équation à une expression sans quotient.
Ramener l'expression algébrique d'une équation à celle d'une équation-produit.

‎[D | Ramener l'expression de l'équation à résoudre à celle d’une équation de premier degré.

‎Qu La technique fondamentale de l'exemple 2 consiste à :
développer et à simplifier l'expression de l'équation

‎raisonner par disjonction des cas.

‎étudier le signe de l'expression algébrique x|-2|x-1|

‎raisonner par abduction.

‎La technique fondamentale de l'exemple 3 consiste à :

‎raisonner par disjonction des cas.

‎5 définir le domaine de définition de l'inéquation.
| € | chercher un domaine d'étude plus restreint (au sens de l'inclusion).

‎ramener la résolution de l’inéquation à l'étude du signe d’une fonction homographique.

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3
0 مسيسسسسا ف
#ساف

Le tableau est utilisé comme un outil dans les exemples 2 et 3. L'un de ses rôles dans ce contexte
réside dans son caractère :

A | synthétique.

[age
[sit |

La difficulté majeure que les élèves trouveraient en traitant la situation de l'exemple 4 réside
dans :

le développement technique des calculs intermédiaires.
la transformation des données de la situation en des équations.

l'interprétation des résultats trouvés.
[D | la lecture du texte de la situation

La résolution des équations avec valeur absolue du type de l'exemple 2 poserait, au niveau des
élèves, des difficultés d'ordre essentiellement :

B | conceptuel quant aux entiers relatifs.
C | logico-stratégique.
[D | conceptuel quant à la notion d'équation.

Pour permettre aux élèves du niveau sus-précisé de traiter avec succès la résolution des équations
avec valeur absolue, une solution consiste à -

A | travailler avec excès ce genre d'équations.

présenter le cours avec une approche dogmatique.

administrer ces équations dans les devoirs du contrôle continu
instaurer une procédure algorithmique de résolution

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En guise d'entraînement, un enseignant a proposé l'exercice suivant (Document 4) à une classe
scientifique du niveau précisé dans la question Q37 :
Document 4

Résoudre dans Æ l'équation suivante : || - +3

Deux élèves À et B de cette classe ont répondu comme suit :

Réponse de l’élève A :
On sait que |x|=x ou |x|=-x donc l'équation [x|=2x+3 signifie x=2x+3 où —x=2r+3
Ce qui équivaut à: x—2y=3 ou —x—2x=3

C'est-à-dire : —x=3 ou 3-3 ; donc : x=-3 ou x=

3
1

D'où l’ensemble de solutions de l'équation est $ = {+3 ;

Réponse de l'élève B :

qui signifie : 3x" +12 +9 - 0 qui peut s’écrire encore : Max" +4x+3)=0
c’est-à-dire : M(x+1(x+3)=0 donc: x+1=0 ou x+3=0 d'où x=—1 ou x=—3
donc l’ensemble de solutions de l'équation est S = {-3 :—1}

En consultant ces deux réponses, l'enseignant a fait remarquer aux deux élèves À et B que le nombre
(-3)n’est pas une solution de l'équation donnée.

Q48 L'erreur commune commise par les deux élèves concerne essentiellement :

[8 | ‏موصينة ستسقة حسما‎ ds termes |
D | Fan d'un ut ‏متسجونة‎ dep)

‏#سسس اف‎
‏ماقف‎

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En examinant de près les réponses des autres élèves, l'enseignant a remarqué qu'environ 60%
d'entre eux ont opté pour la méthode de l'élève À avec la même erreur commise. Ceux qui restent
ont opté pour des démarches différentes non réussies
L'étape suivante à celle du repérage et de l'analyse de l'erreur est :

L'exercice accentué sur la résolution des équations avec valeur absolue.

| B | Ré-explication de la partie du cours sur la valeur absolue.
Proposition des activités de soutien.
[D | Formation des groupes de besoin suivant le degré de maîtrise de l’outil valeur absolue.

L'alignement avec les devoirs surveillés à venir

Au niveau du contrôle continu. l’exploitation du travail précédent de l'enseignant. qui a ciblé des
capacités bien spécifiques. peut s’opérer comme suit :

Traiter des situations similaires dans un devoir libre et les redonner en devoir surveillé.

[ B | Proposer les mêmes situations traitées et les noter faiblement.

Dans le contexte du processus d'apprentissage et les thèmes de cet apprentissage chez les élèves,
les orientations pédagogiques des mathématiques du secondaire qualifiant soulignent trois
principes qui guideront l'enseignant(e) dans son travail. On peut en citer :

- la facilitation et l'encouragement de la participation effective des élèves à tout ce qui touche au
sujet de l'apprentissage.

- l'encouragement de l’utilisation des technologies modernes de communication et d'information.
Le troisième principe consiste à :

privilégier le recours à la méthode de résolution de problèmes.

approcher les concepts mathématiques par des activités ludiques.

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Selon les orientations pédagogiques du secondaire qualifiant. les raisonnements plausibles
peuvent être utilisés dans la catégorie des problèmes :

Q54
nécessitant la création d'une nouvelle combinaison de connaissances et d’habiletés.

| B | nécessitant le recours à des références documentaires convenables.

nécessitant une assistance directe de l'enseignant (e).

nécessitant l'orientation implicite de l'élève vers des pistes de réflexion.

Un enseignant a proposé à ses élèves d'une classe de la troisième année du cycle collégial la situation
suivante (document 5) :

Document 5
Les élèves de deux classes de la troisième année du cycle collégial décident d'organiser
une sortie en bus sous la supervision de leur établissement. Tous les élèves s'inscrivent
à cette sortie qui leur coûtera 120 DH par personne. Le jour de la sortie, 4 élèves

s'absentent et chaque participant devrait payer un supplément de 9,60 DH
Quel est le nombre d'élèves inscrits au début ?

‎Lors de la phase de recherche individuelle, la tâche assignée à l'élève est de :‏ الح

‎A | demander des éléments d'indice à l'enseignant

‎s'approprier la situation.
se réfêrer à la partie du cours correspondante

‎chercher des exercices similaires traités.

‎prolonger la phase de recherche et changer de mode de travail : individuel/collectif.

‎collecter les résultats des élèves sans leur porter de modification

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L’explicitation des indices décisifs de la résolution et prolongation de la recherche hors classe.

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