Modèle concours enseignement (cadres AREF) — Épreuve de spécialité - mathématiques - secondaire 2021
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de recrutement organisé par Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports — AREF (2021), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports — AREF
- Grade
- Cadres AREF — ثانوي (إعدادي وتأهيلي)
- Spécialité
- الرياضيات
- Année
- 2021
- Pages
- 26
- Langue des questions
- arabe et français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 —
مباريات لتوذليف الأطر النظامية للأكاديميات :
مباراة توذليف اساتذة التعليم الثانوى
دورة دجنبر 2021
الموضوع
الاسم الشخصي والعائلي :
ام عام ماع م يام م وا ع م امع هوم ما مج مي مع ةج ع م ع مم م مج م ع وم م مه وم م ع عوط ع وعم وه موف وم يع مرو ع م زوع مجو يع مو وجو ع ف
الساساة المعربة م
٠ تهيله 19026 ARNO 4 201 Rd 3405 وزار3
اليم الأرلير ntfs #ضياء بصعم اقرط مام عام
المركز الوطني للنفويم والامتحانات
reserve
الاختبار : اختبار في مادة التخصص
التخصص : الرياضيات
الإختبار : اختبار في مادة التخصص -١ نقطة مادة التخصص بالأرقام .. ...على 75
. ص وبالحروف.... م م جوع مع ممع ممه مهو م م مومع ممه ممع هج مهم مويف ومو و وو موموا ا
( لموضوع ورفقة اسم المصحج وتوقيعه : ... étonnée tree
الإجابة
Consignes et instructions aux candidats
. La feuille sujet c’est unc feuille de réponse :le candidat(e) répond sur la copie du sujet ;
2. Transerire toutes les informations personnelles demandées à l'entête de la première page ;
. L'épreuve comporte 50 questions de la Question! à la Question50 ;
. Chaque candidat(e) n’a le droit d'utiliser qu’une seule copie sujet/réponse ;
. Chaque question comporte 4 choix de réponses (A, B, C, D) dont une seule réponse est juste ;
On coche la lettre correspondante à la réponse correcte de la façon suivante :
Question :
A. 13
B. 11
12
D. 14
. Larature ou l’utilisation du Blanco sont strictement INTERDITES ;
Aucun document de quelque nature que ce soit n'est autorisé ;
. L'usage de la calculatrice non programmable est permis ;
. L'usage des téléphones mobiles, des tablettes et de tout appareil électronique intelligent est strictement
INTERDIT ;
11. Toute réponse ne respectant pas les règles citées ci-dessus sera annulée.
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التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار في مادة التخنصصض الصفحة: 2 على 26
QUESTION 1 :
Soit (#,),., là suite numérique définie par حرا let 1,4 = 0 + )ّ pour tout n عل I’.
On aalors :
A. Yn›lu,= انمث
1
ور - ور + 2 10-١
© 77112 2,1 jet
2
n-n+l
QUESTION 2 :
Soit f une fonction numérique paire et dérivable sur ا
3
définie sur 12 par : g(x)= (& + م +x
et g la fonction numérique
La valeur de g'(0)est égale à :
B.0
C.1
D.2
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QUESTION 3 :
La valeur de l’intégrale ff cos(x)cos(2x)sin(x)dx est égale à :
QUESTION 4 :
In(l+x 1
On considère la fonction / définie sur [-1:+ ]م par : f(x)= Te
On donne au voisinage de 0 :In(l+x)=x- À + 4 +o(x*)
Le “ودس limité à l’ordre 3 de / en 0 est :
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التخصص : الرياضيات - الاختبار: اختبار في مادة التخصص Ses Le)
QUESTION 5 :
La série 2 =" converge et a pour somme :
QUESTION 6 :
On considère la suite de fonctions (/,),., définie sur R par: f,(x)=e"
On aalors :
A. (f,),.. Converge simplement vers la fonction f définie par : /(x)= | sixe[o:I[
0 six21
1 sixe[0:1[
B. (f, deu converge uniformément vers la fonction / définie par : f(x)= 1 sivel
0
0 six›1
| sixe[0;1[
0 sixz1
1 sixe[0;I[
C. (f,),.n converge uniformément vers la fonction / définie par : / (x) = |
D. dun converge simplement vers la fonction / définie par : /(x)= = Six=1
0 six›1
ممم م ههه ههه › › ‹› › ا ا يح + .يو ...سس Â
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التخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار
QUESTION 7 :
On considère la fonction / définie sur ]0;+0[x ]0;+c[ par : f(x,y)= (جاماج
On aalors :
agp (53) = (وإملج
sata
QUESTION 8 :
On considère les ensembles suivants : H ={37+2k7/keZ} et K= { 5 #0 /ke 2}
On a alors :
A. HcK
3. KcH
C.HnK=0
D. H=K
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QUESTION 9 :
On considère deux points A et B du plan tels que 18=6 et / est le milieu de [AB]
L'ensemble des points M du plan vérifiant MLAB=-5 est :
A. Le cercle de centre / et de rayon 2
B. Le cercle de centre / et de rayon 4
C. La médiatrice du segment [4B]
D. La droite qui passe par /et de vecteur directeur -7
QUESTION 10 :
On considère les droites :
y=2
La distance entre les droites (D,) et (D,)est égale à :
A.0
p. 2
2
0-42
D. 5
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: ait 2 …. 4 2,04 ete
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26 النتخصص : الرياضيات - الاختبار : اختبار 2 الصفحة: 7 على
QUESTION 1:
Soit z, , 7, et z, des nombres complexes tels que :
él “2 #3
La valeur de |z, + z, + z,| est égal à :
2
On considère deux fonctions numériques fet g à variables réelles telles que :
La valeur de (3) est égale à :
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التخصص : الرياضيات - الاختبار: اختبار في مادة التخصص
QUESTION 13:
Pour tout entier naturel n, l’un des trois entiers naturels n,n+10 ct n+20 est un multiple
A.2
B.5
C. 4
0.5
QUESTION 14 :
Soit x un nombre réel.
1+x° x x
On considère la matrice M(x) définie par : Mf(x)=| x-2022 x-2021 x-2022
xX+2022 x+2022 x+2023
Le déterminant de la matrice كا (x) est égal à :
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QUESTION 15:
Soit F la fraction rationnelle définie par : F(X)= œ
La décomposition de F(.Y) en éléments simples dans R(X')est :
NE MORE I.
art era rm
3 1
1
QUESTION 16 :
On note par M, (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.
On rappelle que(M, (R),+.-) est un espace vectoriel de dimension 4.
a-b a-c
b-c b-a
A. (E,+,.) n’est pas un espace vectoriel surR
On considère l’ensemble E= { ) /(a;b;c)eR . On aalors :
B. (E,+,.) est un espace vectoriel de dimension 3
C. (E,+,.) est un espace vectoriel de dimension 2
D. (E,+,.) est un espace vectoriel de dimension 4
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QUESTION 17 :
0 0 1
On considère la matrice M=|0 O ٠
1 1 1
Les valeurs propres de la matrice M sont :
A.0,1et2
B. 0,-—1let 2
C.0et1l
D. -1 et —2
QUESTION 18 :
Soit neH :
La valeur de ع est égale à :
A. 2
c. nm"
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QUESTION 19 :
Soient Eet F deux événements tels que : P(E)= P(F)= 8 8
On aalors :
5 5
QUESTION 20 :
Une ume contient trois boules : une blanche, une noire et une verte.
On tire successivement et avec remise une boule de cette urne jusqu'à ce que l’on
obtienne une boule blanche pour la première fois. Ç
On note X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une première boule blanche.
On aalors :
2
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QUESTION 21 :
x + y* a
La valeur de l’intégrale 7, est égale à :
QUESTION 22 :
On considère les fonctions fet ع définies sur R par :
La valeur de f'(2) est égale à :
5
3v2
5
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QUESTION 23 :
Soit f la fonction numérique définie sur 22 par : f(x,y)=20+6xy-3y"+2
On a alors :
A. f n’admet pas d’extremums
B. f'admet un maximum local en (-1;-1)
C. f'admet un minimum local en (-1;-1)
D. f admet un maximum local en (0;0)
Soit f une fonction numérique de classe C*sur R et f"(0)=5.
Ona lim est égale à :
A. 15
B. 10
C.5
D. 20
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QUESTION 25 :
On note par M, (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre2 à coefficients réels.
On pose H = le ل Ixe 2} . Le produit x de M, (R) induit sur Æ une loi de
composition interne dont l’élément neutre est :
1
نم_اثذ دانم م نم b|— مذ|رم
QUESTION 26 :
1
lim(2 +3*—4 )- est égale à :
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QUESTION 27 :
Soit x , y et @ des nombres réels tels que : se” x+iy.
La valeur de l'expression (2-د) + y* est égale à :
B. 0
C.1
D.2
QUESTION 28 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que aab=1.
On note par ab le plus grand diviseur commun de a et b.
On aalors :
A. 2mab=(2ma)x(2Ab)
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QUESTION 29 :
On lance 115 fois de suite un dé équilibré à six faces numérotées ا عل à 6.
Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de 6 obtenus sur les 115 lancers.
P(X ›2) est égale à :
1 115
6
D. 20(
6
QUESTION 30 :
: : A ._ 06 - 0005+ 677
Soit a,b ete trois nombres réels tels que : lim es SE SES
xsinx
La valeur de a+b+c est égale à :
A. 4
B. 5
C.6
D. 7
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QUESTION 31 :
On pose : w =e *. Soit a,b et c des nombres réels tels que :
5
1 1 1 ل 1 !
— et جاب
La valeur de l'expression ا 1" بل —— est égale à :
a+l b+l c+l
A. 0
QUESTION 32 :
On considère les ensembles :
On a alors :
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QUESTION 33 :
Une urne contient » boules numérotées de 1 à n. On tire une boule au hasard.
On note X la variable aléatoire égale au chiffre obtenu. Alors À suit :
A. La loi binomiale de paramètres n et À,
3. La loi géométrique sur N° de paramètre —.
C. La loi uniforme de paramètre À :
D. La loi de Bernoulli de paramètre : 7
QUESTION 34 :
2
: 2 2
3
La valeur de / est égale à :
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QUESTION 35 :
On construit d’un même côté de la droite (4B) les demi-cercles de diamètre
[48],[BC]et [AC].Soit D un point du demi-cercle de diamètre [AC]
tel que (4C) L(BD) et BD = 4 (Voir figure)
L’aire de la région grise est :
A. 27
B. 47 7 ١“
C. 67 A B C
87
QUESTION 36 :
On note par M, (R)l'ensemble des matrices carrées d’ordre3 à coefficients réels.
100
Soit M la matrice de M, (R) telle que M*=M-/ où /=|0 1 0
0 0 1
Le déterminant de la matrice M est égal à :
B.0
C.1
D. 2
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QUESTION 37 :
Soit Æ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0.1].
Onpose Y=-InX. Alors Y suit :
A. La loi uniforme sur [0,1]
B. La loi uniforme sur [-1,0]
C. La loi exponentielle de paramètre 1
D. La loi exponentielle de paramètre(-1)
QUESTION 38 :
Soit (a,),,, une suite numérique. On a :
converge. مدزل A. Si lim a, =0 alors la série
مبرم
B. Si a, ›0et la série Sa converge alors la série 2 4 Ja, converge.
converge. = د C. Si la série 0 a, converge alors la série
8 ا لاد اعم
D. Si a, ›0 et la série مزج converge alors la série 5 (-1)" a, converge.
rl ml
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QUESTION 39 :
Soit ABC un triangle tel que :
BD=5; 00-7 ; 00-8 : AC=13 et AD=x
La valeur de x est égale à :
A. 12
B. 11
C.10
D.9
QUESTION 40 :
Dans l’anneau (A,+,x)tel que حب (a +V2b/a,be 7) ;
L'élément a + /2b (diffèrent de 0) est inversible si :
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QUESTION 41 :
Soit a›1 .Une variable aléatoire continue suit une loi de densité / définie sur R par :
1+4Inx
sixe[l; a]
0 sinon
La valeur de a est égale à :
QUESTION 42 :
Soit (a,),,, une suite numérique. On a :
A. Si a, ›0et la série » 4, converge alors lim feu = L‹1
si n—+e a,
np Q .
3. Si ونا === Z ‹1 alors la série Sa, converge.
n-—æe a
C. Si la série 2 a, diverge alors la suite (a, Li est divergente.
D. Si la série › a, converge alors la série = = converge.
Le n°
n=l “an
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QUESTION 43 :
Soit l'application de R dans R tel que: VxreR, /o f(x) =-x.
On a alors :
A. f est bijective.
B. / est croissante sur R
C. f est décroissante sur R
QUESTION 44 :
On pose : 1 = ]-o;I[ et مال حل )2(-1:+ œ| etsoit f:1—›J
Soit 77 la fonction réciproque de / définie sur ل
Le développement limité à l’ordre 4 de /' en 0 est :
1 7
1 › = 2 34! 4 4
la 74 4
9
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QUESTION 45 :
On considère l’application / définie de R*dans R* par :
f(x,y)=(x-2y,-3x+4y). Sachant que / est bijective, sa bijection réciproque
f'est définie pour tout (x,y) € R* par :
1 (sy) ( z 60
5 10
ادم (2x (رم) 2.7
QUESTION 46 :
Soit ري (ماا) Une suite arithmétique ne s’annulant pas telle que : 2, =1.
Alors pour tout entier naturel ا ›, égale à :
1-0 4441
1+1
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QUESTION 47 :
L'intégrale curviligne : ] سي + + هيلي mord le long de la courbe Cdéfinie par le
segment qui relie les points A(1;-1)et B(2;0) est égale à :
QUESTION 48 :
Soit (€) un cercle tangent aux deux droites d'équations cartésicnnes respectives
x-2y+1=0 et x-2y+11=0
Le rayon du cercle(C') est égal à :
A. J5
D. 2/3
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QUESTION 49 :
L’ inverse de 7 dans Z / 60Z est :
A. 17
QUESTION 50 :
Soit À et B deux parties d’un ensemble E et / l'application définie par :
X r(XNA,X NB)
Si f est injective alors :
A. ANB=0
B. AUB=E
C. ANB=0
D. AUB=E
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de spécialité (mathématiques) du concours de recrutement des cadres des Académies régionales d'éducation et de formation — professeurs de l'enseignement secondaire, session de décembre 2021. Durée : 3 heures, coefficient 3, note sur 75. L'épreuve comporte 50 questions à choix multiple (A, B, C, D), une seule réponse juste par question ; calculatrice non programmable autorisée. Voici une correction proposée, avec le calcul qui justifie chaque réponse.
💡 Méthode : 50 questions en 3 heures, c'est environ 3 minutes et demie par question. Beaucoup d'items se règlent par un contre-exemple (séries, arithmétique) ou par une vérification rapide d'une valeur particulière (x = 0 dans un déterminant, X = 0 dans une décomposition en éléments simples) : prenez ce réflexe avant de vous lancer dans un long calcul.
Grille des réponses
| Q | Rép. | Q | Rép. | Q | Rép. | Q | Rép. | Q | Rép. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | C | 11 | B | 21 | D | 31 | B | 41 | A |
| 2 | C | 12 | B | 22 | C | 32 | D | 42 | D |
| 3 | D | 13 | B | 23 | B | 33 | C | 43 | A |
| 4 | A | 14 | C | 24 | A | 34 | D | 44 | D |
| 5 | D | 15 | B | 25 | D | 35 | B | 45 | D |
| 6 | D | 16 | C | 26 | D | 36 | A | 46 | A |
| 7 | D | 17 | B | 27 | C | 37 | C | 47 | B |
| 8 | A | 18 | B | 28 | A | 38 | D | 48 | A |
| 9 | A | 19 | C | 29 | C | 39 | C | 49 | C |
| 10 | C | 20 | B | 30 | A | 40 | C | 50 | B |
Corrigé détaillé
Question 1 — Réponse C
On a un+1n = n + unn−1. Posons vn = unn−1 :
alors vn+1 = vn + n et v1 = u10 = 1.
Donc vn = 1 + (1 + 2 + … + (n−1)) = 1 + n(n−1)/2 = (n² − n + 2)/2.
Pour n ≥ 2 (exposant 1/(n−1) défini) : un = ((n² − n + 2)/2)1/(n−1).
Contrôle : u2 = (1 + u10)1 = 2 et la formule donne (4/2)1 = 2.
Question 2 — Réponse C
g'(x) = x² f(x) + (x³/3 + 1) f'(x) + 1. Comme f est paire et dérivable, f' est impaire, donc f'(0) = 0.
g'(0) = 0 × f(0) + 1 × 0 + 1 = 1.
Question 3 — Réponse D
cos x sin x cos 2x = ½ sin 2x cos 2x = ¼ sin 4x.
∫0π/8 ¼ sin 4x dx = ¼ [−cos 4x / 4]0π/8 = (1/16)(1 − cos(π/2)) = 1/16.
Question 4 — Réponse A
1/(1+x) = 1 − x + x² + o(x²). On multiplie :
(x − x²/2 + x³/3)(1 − x + x²) = x + (−1 − ½)x² + (1 + ½ + ⅓)x³ + o(x³)
f(x) = x − (3/2)x² + (11/6)x³ + o(x³).
Question 5 — Réponse D
Pour |q| < 1 : Σn≥1 qn = q/(1−q) et Σn≥1 n qn = q/(1−q)².
Avec q = 1/3 : Σ n/3n = (1/3)/(4/9) = 3/4 et Σ 1/3n = (1/3)/(2/3) = 1/2.
Somme = 3/4 + 1/2 = 5/4.
Question 6 — Réponse D
Pour x ∈ [0 ; 1[ : xn → 0 donc fn(x) → 1 ; pour x = 1 : fn(1) = e−1 ;
pour x > 1 : xn → +∞ donc fn(x) → 0. La limite simple est la fonction de D (avec la valeur 1/e en 1,
ce qui élimine A et C).
La convergence n'est pas uniforme : les fn sont continues et la limite est discontinue (en 1). B est donc faux.
Question 7 — Réponse D
f(x,y) = (x/y)(ln x + ln y).
∂f/∂x = (1/y) ln(xy) + (x/y)(1/x) = (1 + ln(xy))/y.
∂/∂y [(1 + ln(xy))/y] = [(1/y)·y − (1 + ln(xy))]/y² = −ln(xy)/y².
Question 8 — Réponse A
H = {π + 2kπ} (on a 3π + 2kπ = π + 2(k+1)π) : ce sont les multiples impairs de π.
Tout élément de H s'écrit π + 2kπ = π/3 + 2(3k+1)π/3, donc H ⊂ K. En revanche π/3 ∈ K (k = 0) et π/3 ∉ H,
donc K ⊄ H et H ≠ K ; enfin π ∈ H ∩ K.
Question 9 — Réponse A
Avec I milieu de [AB] : MA→·MB→ = (MI→ + IA→)·(MI→ − IA→) = MI² − IA² = MI² − 9.
MI² − 9 = −5 ⇔ MI² = 4 ⇔ MI = 2 : cercle de centre I et de rayon 2.
Question 10 — Réponse C
(Δ1) passe par A(1 ; 0 ; 1), vecteur directeur u(1 ; −1 ; 1).
(Δ2) : y = 2, x = z + 2 : passe par B(2 ; 2 ; 0), vecteur directeur v(1 ; 0 ; 1).
n = u ∧ v = (−1 ; 0 ; 1), ‖n‖ = √2 ; AB→ = (1 ; 2 ; −1) ; AB→·n = −1 − 1 = −2.
d = |AB→·n| / ‖n‖ = 2/√2 = √2 (les droites ne sont ni parallèles ni sécantes).
Question 11 — Réponse B
Si |z| = 1 alors 1/z = z̄. Donc 1/z1 + 1/z2 + 1/z3 = conj(z1 + z2 + z3), et un nombre et son conjugué ont le même module : |z1 + z2 + z3| = 1.
Question 12 — Réponse B
On cherche x tel que g(x) = 1/2 : 1 − x² = 1/2, soit x² = 1/2.
f(1/2) = f(g(x)) = (1 − x²)/x² = (1/2)/(1/2) = 1.
Question 13 — Réponse B
Modulo 3 : n + 10 ≡ n + 1 et n + 20 ≡ n + 2. Les trois nombres ont donc les restes n, n+1, n+2 modulo 3 : ce sont trois restes distincts, l'un d'eux est 0. Pour 2, 4 et 5, n = 1 est un contre-exemple (1, 11, 21).
Question 14 — Réponse C
On fait C1 ← C1 − C3 et C2 ← C2 − C3 :
les lignes deviennent (1, 0, x²), (0, 1, x − 2022), (−1, −1, x + 2023).
Développement selon la 1re ligne : det = 1·[(x + 2023) + (x − 2022)] + x²·[0 + 1] = x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Contrôle en x = 0 : 2022² − 2021 × 2023 = 1.
Question 15 — Réponse B
(X − 1)(X² − 1) = (X − 1)²(X + 1) = X³ − X² − X + 1. Division : X⁴ = (X + 1)(X³ − X² − X + 1) + 2X² − 1,
d'où la partie entière X + 1.
Pôle −1 : coefficient (−1)⁴/(−2)² = 1/4. Pôle double 1 : coefficient de 1/(X−1)² = 1⁴/(1+1) = 1/2.
Coefficient b de 1/(X−1) : on multiplie (2X² − 1)/((X−1)²(X+1)) par X et on fait X → +∞ : 2 = 1/4 + b, donc b = 7/4.
F(X) = X + 1 + 1/(4(X+1)) + 7/(4(X−1)) + 1/(2(X−1)²). Contrôle en X = 0 : 1 + 1/4 − 7/4 + 1/2 = 0 = F(0).
Question 16 — Réponse C
Toute matrice de E s'écrit aP + bQ + cR avec P = (1 1 ; 0 −1), Q = (−1 0 ; 1 1), R = (0 −1 ; −1 0).
E = Vect(P, Q, R) est donc un sous-espace vectoriel de M2(ℝ).
Or P + Q + R = 0, donc E = Vect(P, Q), et P, Q ne sont pas colinéaires : dim E = 2.
Question 17 — Réponse B
det(M − λI) = −λ[(−λ)(1 − λ) − 1] + 1·[0 + λ] = −λ³ + λ² + 2λ = −λ(λ − 2)(λ + 1).
Valeurs propres : 0, −1 et 2 (contrôle : leur somme 1 est bien la trace de M).
Question 18 — Réponse B
E = Σ (k + 1) Cnk = Σ k Cnk + Σ Cnk.
Avec k Cnk = n Cn−1k−1 : Σ k Cnk = n 2n−1 ; et Σ Cnk = 2n.
E = n 2n−1 + 2n.
Question 19 — Réponse C
P(E ∩ F) = P(E) + P(F) − P(E ∪ F) ≥ 4/5 + 4/5 − 1 = 3/5, et P(E ∩ F) ≤ min(P(E), P(F)) = 4/5.
Question 20 — Réponse B
Tirages indépendants avec remise, succès « blanche » de probabilité p = 1/3 : X suit la loi géométrique de paramètre 1/3.
E(X) = 1/p = 3 ; V(X) = (1 − p)/p² = (2/3)/(1/9) = 6.
Question 21 — Réponse D
Pour x > 0 : ∫01 dy/(x² + y²) = (1/x) arctan(1/x). Donc Ia = ∫1/aa arctan(1/x)/x dx.
Le changement x = 1/t (dx/x = −dt/t) donne aussi Ia = ∫1/aa arctan(t)/t dt.
En additionnant, et comme arctan x + arctan(1/x) = π/2 pour x > 0 :
2Ia = (π/2) ∫1/aa dx/x = (π/2)·2 ln a, d'où Ia = (π/2) ln a.
Question 22 — Réponse C
g(x) = G(x²) − G(2) avec G' (t) = e−t/(1 + t²), donc g'(x) = 2x e−x²/(1 + x⁴).
f'(x) = g'(x) eg(x). En √2 : x² = 2, donc g(√2) = ∫22 … = 0 et g'(√2) = 2√2 e−2/5.
f'(√2) = (2√2/5) e−2.
Question 23 — Réponse B
∂f/∂x = 6x² + 6y, ∂f/∂y = 6x − 6y. Points critiques : y = x et x² + x = 0, soit (0 ; 0) et (−1 ; −1).
r = 12x, s = 6, t = −6.
En (0 ; 0) : rt − s² = −36 < 0 : point selle (ni max ni min).
En (−1 ; −1) : r = −12, rt − s² = 72 − 36 = 36 > 0 et r < 0 : maximum local.
Question 24 — Réponse A
Taylor-Young : f(kx) = f(0) + kx f'(0) + (k²x²/2) f''(0) + o(x²).
Numérateur : f(0)(2 − 3 + 1) + x f'(0)(2 − 6 + 4) + (x²/2) f''(0)(2 − 12 + 16) + o(x²) = 3x² f''(0) + o(x²).
Limite = 3 f''(0) = 15.
Question 25 — Réponse D
Posons J = (1 1 ; 1 1) : H = {xJ}. Comme J² = 2J, (xJ)(yJ) = 2xy J.
Le neutre eJ vérifie 2ex = x pour tout x, donc e = 1/2 : neutre = (1/2 1/2 ; 1/2 1/2).
(La matrice identité n'appartient pas à H.)
Question 26 — Réponse D
Forme 1∞. ln(2x + 3x − 4x)/x → h'(0) avec h(x) = 2x + 3x − 4x, h(0) = 1 :
h'(0) = ln 2 + ln 3 − ln 4 = ln(3/2).
La limite vaut eln(3/2) = 3/2.
Question 27 — Réponse C
Avec z = x + iy : z − 2 = (3 − 4 − 2eiθ)/(2 + eiθ) = −(1 + 2eiθ)/(2 + eiθ).
Or |1 + 2eiθ| = |eiθ|·|e−iθ + 2| = |2 + e−iθ| = |2 + eiθ| (conjugués).
Donc |z − 2| = 1, c'est-à-dire (x − 2)² + y² = 1.
Question 28 — Réponse A
Si a ∧ b = 1, pour tout entier n : n ∧ ab = (n ∧ a)(n ∧ b) (a et b ne peuvent pas être tous deux pairs).
Donc A est vraie.
Contre-exemples : a = 3, b = 1 : (a+b) ∧ (a−b) = 4 ∧ 2 = 2 (B faux) ; a = 2, b = 1 : 3 ∧ 1 = 1 (C faux) ;
a = b = 1 : 3 ∧ 3 = 3 (D faux).
Question 29 — Réponse C
X suit la loi binomiale B(115 ; 1/6).
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − (5/6)115 − 115·(1/6)(5/6)114
= 1 − (5/6)114(5/6 + 115/6) = 1 − 20(5/6)114.
Question 30 — Réponse A
Le dénominateur x sin x ~ x². Soit N(x) = a ex − b cos x + c e−x. Pour une limite finie il faut
N(0) = a − b + c = 0 et N'(0) = a − c = 0. Alors N(x) ~ N''(0) x²/2 avec N''(0) = a + b + c.
Limite = (a + b + c)/2 = 2, donc a + b + c = 4 (par exemple a = c = 1, b = 2).
Question 31 — Réponse B
Soit s1 = a+b+c, s2 = ab+bc+ca, s3 = abc, et
Q(x) = x[(b+x)(c+x) + (a+x)(c+x) + (a+x)(b+x)] − 2(a+x)(b+x)(c+x).
Le calcul donne Q(x) = 3x³ + 2s1x² + s2x − 2(x³ + s1x² + s2x + s3) = x³ − s2x − 2s3.
Les hypothèses disent que ω et ω² (racines de x² + x + 1) sont racines de Q, polynôme unitaire de degré 3 :
Q(x) = (x² + x + 1)(x − r) = x³ + (1 − r)x² + (1 − r)x − r. Pas de terme en x² dans Q, donc r = 1 et Q(x) = x³ − 1.
Ainsi 1 est aussi racine : 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = 2/1 = 2.
Question 32 — Réponse D
Posons z = x + iy : z² = (x² − y²) + 2ixy. Les deux équations disent exactement
z² = (3x − 4y) + i(4x + 3y) = (3 + 4i)z.
Donc z = 0 ou z = 3 + 4i, et x² + y² = |z|² ∈ {0 ; 25} : K = {0 ; 25}.
Question 33 — Réponse C
X prend les valeurs 1, 2, …, n, chacune avec la probabilité 1/n : c'est la loi uniforme sur {1, …, n} (« de paramètre 1/n »). Ce n'est ni une binomiale ni une géométrique (valeurs bornées par n), ni une Bernoulli (plus de deux valeurs si n ≥ 3).
Question 34 — Réponse D
Premier terme : u = x + 5, les bornes −4 et −5 deviennent 1 et 0 : ∫10 eu² du = −∫01 eu² du.
Second terme : u = 3x − 2 (donc 9(x − 2/3)² = u² et 3 dx = du), bornes −1 et 0 :
∫−10 eu² du = ∫01 eu² du (parité).
I = 0.
Question 35 — Réponse B
La région grise est l'arbelos (intérieur du grand demi-cercle, hors des deux petits). Posons AB = 2r1, BC = 2r2.
Aire = (π/2)[(r1 + r2)² − r1² − r2²] = π r1 r2.
Le triangle ADC est rectangle en D (D sur le demi-cercle de diamètre [AC]) et [DB] est sa hauteur :
BD² = AB × BC = 4 r1 r2 = 16, donc r1 r2 = 4 et l'aire vaut 4π.
Question 36 — Réponse A (réponse attendue)
De M² = M − I on tire M³ = M² − M = (M − I) − M = −I.
Donc (det M)³ = det(−I) = (−1)³ = −1, et det M étant réel, det M = −1.
💡 Remarque pour le candidat : à strictement parler, aucune matrice réelle d'ordre 3 ne vérifie M² = M − I (ses valeurs propres seraient racines de x² − x + 1, qui n'a pas de racine réelle, alors qu'une matrice réelle d'ordre impair a toujours une valeur propre réelle). Le calcul attendu est néanmoins celui ci-dessus.
Question 37 — Réponse C
Pour t ≥ 0 : P(Y > t) = P(−ln X > t) = P(X < e−t) = e−t (car e−t ∈ ]0 ; 1]).
Y est à valeurs dans [0 ; +∞[ et P(Y > t) = e−t : loi exponentielle de paramètre 1.
Question 38 — Réponse D
A : faux, an = 1/n tend vers 0 mais la série harmonique diverge.
B : faux, an = 1/n² donne une série convergente mais Σ √an = Σ 1/n diverge.
C : faux, si Σ an converge alors an → 0 et (1 + an)/(2 + an) → 1/2 ≠ 0 : divergence grossière.
D : vrai, |(−1)n an| = an : la série est absolument convergente, donc convergente.
Question 39 — Réponse C
Dans le triangle BDC (BD = 5, DC = 7, BC = 8), Al-Kashi : cos B̂ = (25 + 64 − 49)/(2 × 5 × 8) = 40/80 = 1/2, donc B̂ = 60°.
Dans ABC, avec AB = 5 + x = t : 13² = t² + 8² − 2 × 8 × t × ½, soit t² − 8t − 105 = 0.
Discriminant 64 + 420 = 484 = 22², t = (8 + 22)/2 = 15 (racine positive). Donc x = 15 − 5 = 10.
Question 40 — Réponse C
(a + √2 b)(a − √2 b) = a² − 2b². Si a² = 2b² + 1, ce produit vaut 1 et a − √2 b ∈ A est l'inverse de a + √2 b.
(Plus généralement, a + √2 b est inversible dans A si et seulement si a² − 2b² = ±1.) Les conditions A et B ne suffisent pas :
a = b = 2 donne a² − 2b² = −4 ; D impose a = b = 0, exclu.
Question 41 — Réponse A
Il faut ∫1a (1 + 4 ln x)/x dx = 1. Avec t = ln a : [ln x + 2(ln x)²]1a = t + 2t² = 1.
2t² + t − 1 = 0 ⇔ t = 1/2 ou t = −1. Comme a > 1, t > 0 donc t = 1/2 et a = √e
(f est bien positive sur [1 ; √e]).
Question 42 — Réponse D
A : faux, an = 1/n² : la série converge mais an+1/an → 1.
B : faux sans hypothèse de signe : an = (−2)n donne an+1/an = −2 < 1 et la série diverge
(la règle de d'Alembert porte sur |an+1/an|).
C : faux, an = 1/n converge vers 0 alors que Σ 1/n diverge.
D : vrai, la convergence de Σ an impose an → 0, donc 1/(an + n²) ~ 1/n² (termes positifs à partir d'un certain rang) :
la série converge par comparaison avec la série de Riemann Σ 1/n².
Question 43 — Réponse A
f ∘ f = −Id est bijective. Injectivité : f(x) = f(y) ⇒ −x = −y. Surjectivité : x = f(f(−x)). Donc f est bijective.
B et C sont impossibles : si f est monotone (croissante ou décroissante), f ∘ f est croissante, alors que −Id est décroissante.
D est impossible : f(0) = 1 ⇒ f(1) = f(f(0)) = 0 ⇒ f(0) = f(f(1)) = −1, contradiction.
Question 44 — Réponse D
f(x) = ln(1 + x²) − x = −x + x² − x⁴/2 + o(x⁴), et f(0) = 0.
On cherche f−1(y) = −y + αy² + βy³ + γy⁴ + o(y⁴) avec f(f−1(y)) = y.
Avec g = f−1(y) : g² = y² − 2αy³ + (α² − 2β)y⁴ + o(y⁴), g⁴ = y⁴ + o(y⁴).
f(g) = −g + g² − g⁴/2 = y + (1 − α)y² + (−β − 2α)y³ + (−γ + α² − 2β − ½)y⁴ + o(y⁴).
D'où α = 1, β = −2, γ = 1 + 4 − ½ = 9/2 : f−1(x) = −x + x² − 2x³ + (9/2)x⁴ + o(x⁴).
Question 45 — Réponse D
On résout u = x − 2y, v = −3x + 4y. La matrice (1 −2 ; −3 4) a pour déterminant −2 et pour inverse
(−1/2)(4 2 ; 3 1) = (−2 −1 ; −3/2 −1/2).
Donc f−1(x, y) = (−2x − y, −3x/2 − y/2). Vérification : (−2x − y) − 2(−3x/2 − y/2) = x et
−3(−2x − y) + 4(−3x/2 − y/2) = y.
Question 46 — Réponse A
Si la raison r est non nulle : 1/(ukuk+1) = (1/r)(1/uk − 1/uk+1) ; la somme télescopique vaut
(1/r)(1/u0 − 1/un+1) = (1/r)(un+1 − u0)/(u0un+1) = (1/r)·(n+1)r/un+1 = (n+1)/un+1.
Si r = 0, un = 1 et la somme vaut n + 1 : même formule.
Question 47 — Réponse B
La forme n'est pas exacte (∂P/∂y = (x² − y²)/(x² + y²)² alors que ∂Q/∂x = (y² − x²)/(x² + y²)²) : on paramètre le segment.
x = 1 + t, y = −1 + t, t ∈ [0 ; 1], dx = dy = dt ; x² + y² = 2 + 2t² et x + y = 2t.
∫01 2t/(2 + 2t²) dt = ∫01 t/(1 + t²) dt = ½ ln 2 = ln(2)/2.
Question 48 — Réponse A
Les deux droites sont parallèles (même vecteur normal (1 ; −2)). Leur distance est |11 − 1|/√(1 + 4) = 10/√5 = 2√5.
Un cercle tangent aux deux a pour diamètre cette distance : rayon = √5.
Question 49 — Réponse C
7 × 43 = 301 = 5 × 60 + 1, donc 7̄ × 43̄ = 1̄ dans ℤ/60ℤ. (Contrôle : 7 × 17 = 119 ≡ 59, 7 × 29 = 203 ≡ 23, 7 × 7 = 49.)
Question 50 — Réponse B
Si un élément e de E n'est ni dans A ni dans B, alors X = ∅ et X = {e} ont la même image (∅, ∅) : f n'est pas injective.
Donc f injective ⇒ A ∪ B = E.
(Réciproquement, si A ∪ B = E, X = (X ∩ A) ∪ (X ∩ B) se reconstruit à partir de son image, donc f est injective.)
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