Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Settat — Université Hassan Ier — session session juillet 2014 — Épreuve : mathématiques

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أ
1
ROYAUME DU MAROC Université Hassan 1"
Ministère de l'Enseignement Supérieur, de 8 1 : 3
La Recherche Scientifique ct de la Formation Faculté des Sciences et Techniques - Settat
des Cadres
Concours d’accès en première année du cycle ingénieur - Session Juillet 2014
Épreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 3 Heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 01 : (5 points)
Soit ‏م‎ une fonction de classe C? sur IR° . On définit la fonction ‏ع‎ de R°XR'dans R
par: g(x,y) =g( x? + y? )
dg 8 ;
et = en fonction de @
x 17
1/a/ Calculer les dérivées partielles premières
0 . d° 9° Ù . ‏و‎ LA
b/ Calculer les dérivées partielles secondes et 7 8 en fonction de @ et @
ax" dy”
2/ On considère l’équation différentielle (1) :  #z"(1) + 2 )0( -7
‎En posant: (1) 2 )1( : vérifier que l'équation différentielle (1) est équivalente à‏ لة
‎l'équation différentielle (2): 1u’(1) +u(r)=21
‎b/ Résoudre sur R° l'équation différentielle (2)
c/ Déduire les solutions de l’équation différentielle (1) sur R°
‎3/ On veut déterminer les fonctions @ pour lesquelles la fonction g vérifie l'équation aux
‎dérivées partielles : Ÿg (x,y)+ SE (x,»)=8 (x +y ) , V(x,y)e Rx R' (3)
ox y
‎a/ Montrer que si la fonction g vérifie (3) alors la fonction @ vérifie ( 1) et donner
l'expression de @.
b/ Déduire l'expression de ‏ع‎
‎c/ Déterminer la fonction g solution de (3) et vérifiant :
‎g(1,0)=0 et

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Concours d’accès en première année du ‏ملع‎ ingénieur - Session Juillet 2014
MATHEMATIQUES
Épreuve de :
Exercice 02: (8 points)
©sint
Le but de cet exercice est de montrer que l'intégrale [
9
dt est convergente et de
calculer sa valeur.
sin/
د إن
{
a/ Montrer que la fonction @ est prolongeable par continuité sur 0 ‏]ص ا‎
1/ Posons pour tout 1€ ]0,+cl :
b/ Montrer, en utilisant une intégration par partie, que pour tout ‏ع ل‎ [1 + c| 1
sin 1 cos X cos {
[= ‏ل‎ di = Fi
pi cos!
É)Prouver que l’intégrale F —— di est convergente
1 €
7 ja à ; à sint
(4/ En déduire que l'intégrale | — dt est convergente
0 1
‏نمو‎ sin(2nr) :
. 205.1 0
2/ On pose, pour tout 6 1 , u, = [ ———— "dt et v,= F
0 5117 0
a/ Vérifier que 4, et v, existent pour tout ‏ك1‎ N°
sin(2nt) à
{
b/ Calculer 4,,, — 4, , puis déduire que 4, est indépendante de n et donner sa valeur.
: : , — +
On rappelle les formules: sin p—sing =2sin (Eh 005 (#34)
2cos(a)xcos(b) = cos(a+b)+cos(a-b)
2cos (a) = cos(2a) +1sin(2a)=2sin(a)xcos(a)
3/ Soit A une fonction de classe C'sur un segment [æ, 2] à valeurs dans 1
On pose, pour tout me N°, H, = [ /)1( 2” dt
(a) Montrer, en utilisant une intégration par partie, que lim 7, =0
Os ‏وه‎
8
b/ Déduire la valeur de la limite: lim | )1(
جه + دور
-
1 cos!
par : h(t)=-- -
{ 1
a/ Donner le développement limité, au voisinage de 0. de la fonction h à l'ordre 4.
4/ On considère la fonction } définie sur LE 5
اما
| |« : 8 :
‎b! Vérifier que la fonction A est prolongeable en une fanetion de classe 60 sur | 0 |‏
12 | 35

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Concours d’accès en première année du cycle ingénieur - Session Juillet 2014
Épreuve de : MATHEMATIQUES
$/a/ Calculer la limite: lim (v, — 1)
nr + co
b/ Vérifier, à l’aide d’un changement de variable, que ‏را‎ = [
0 X
”sin
c/ Déduire la valeur de | < &,
0 x
Exercice 03 : (7 points)
Soit, dans R° , les vecteurs: # =( 1.1.1 ) : 2 =( 1,1,0 ) et W >) 1,0,0 )
1/ Montrer que B = 0 ; 1 : w) est une base de l’espace vectoriel ‏نج‎
‎2/ Soit f l'application de R*dans 127 définie par :
fi(xy;:z)r (4x,2x +y,x +2)
a/ Montrer que f est une application linéaire de R° dans 3
2 1
b/ Montrer que la matrice de f relativement à la base B est mat ,f = 4 =|1
1
رن
م
— مم رم
3/ a/ Calculer P, (x ( le polynôme caractéristique de la matrice 4
b/ Démontrer que le spectre de la matrice 4 est: Sp(4)={ 1,4}
(le spectre de la matrice À est l’ensemble de ses valeurs propres )
1 0 0 1 1 1
4/ On considère les matrices: D =|0 1 0| P=|-1 0 1
0 0 4 0 -1 1
a/ Montrer que P est inversible
b/ Vérifier que : D = P 4 ‏م‎
c/ Déterminer 70 la matrice inverse de P
d/ Calculer 4" pour tout 7€ N
5/ On considère les suites réelles (u,) : (v,) et (w,) définies pour toute N, par:
Un TU TV +W, ‏نا‎ = 2
Vu =, +2V,+w, et v = -1
Ma ‏رط + ما كح‎ +2W, ‏لز‎ = 2
u
7"
Pour tout 7€ N,onpose #, =|v
n
w.
\ NH,
= AW,
b/ Montrer par récurrence que pour tout 7€ N,X, = 4" ‏كار‎
a/ Vérifier que pour tout ‏ب‎ 6 N, Y
n+]
c/ Exprimer #, ; v, et w, en fonction de #, pour tout 7€ N.
Fin de l’épreuve