Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia — Université Hassan II — session 13 juillet 2016 — Épreuve : mathématiques 2

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Durée : 1 Heure 30 minutes
x 1 Su 7 endomorphisme de ‏ف‎ dont la matrice dans la base ‏موق‎
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A-l 440
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1. Calculer le polynôme caractéristique de À. Montrer que Test trigonalisable sur &
2 L'end:morphisme ) est-il diagonalisable sur R ?
3. 7017+ une base de R? dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.
4 Calculer (A — 21;)2. En déduire la valeur de À" pour tout n € N.
Exercice 2 L'espace E = R* est rapporté à sa base canonique B = {e,,e:,e;,e,). Soit +
l'endomorphisme de matrice M dans cette base.
2 0 00
4 6 4 4
M= 4 424
0 -4 4 2
1. Quelle est la matrice de ‏و‎ = 2 dans la base 9
2. Quels sont les vecteurs propres et les valeurs propres de ‏؟ و‎
3. Montrer que si À est une valeur propre de ٠, alors ‏حير‎ À est valeur propre de g.
4. En déduire les seules valeurs propres posnbles pour f.
5. pour un vecteur ‏نا‎ quelconque de E, montrer que :
f(u) + 2u € Ker(f — 2idy)
f(u) - Zu € Ker(f + 20
6. Construire un système de générateurs de E formé de vecteurs propres de f.
7. Diagonahser f, soit directement, soit en utihsant ce qu précède.
Exercice 3 On considère les formes quadratiques suivantes :
Dix, y} = x? — xy + y?
D(x, y) = 3(x + y) - 4(x — y}? - 13xy
‏اده‎ y, 2) = 2x? 4 y}+ 22? + 2xy + ‏ع2‎ + 22%
1. Montrer qu'il eniste à € R tel que + ‏ره‎ = 0
2. Déterminer les signatures des formes © ©: et D3.
3. Les formes ©. D et ‏رتل‎ sont-elles définies positives ?