Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia — Université Hassan II — session 13 juillet 2016 — Épreuve : mathématiques 1

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UNIVERSITÉ HASSAN HI CASAHLANCA
Faculté des Sciences et Techniques de Mobiasnsmentit
Département de Mat} ématiques
a 7
سدسم
‎d'Ingénieur Génie Mathématique et Informatique (GMI)‏ لط
‎Concours d'accès à In Première année‏
‎juillet 2016‏ 13
‎= ————— (|
‎| Epreuve de Mathématiques 1١
‎Durée : 2h30mn
N.B. Les documents sont interdits, On tiendra compte de la présentation de la
copie
‎Exercice 1
‎On se propose d'étudier la fonction Î définie par
‎pour x # 0‏ امام
اد ‎J(x) = { 1 pour‏
‎1. (a) Etudier la continuité de / sur son domaine de défintion que l'on détérminera.
(b) Calculer lim f(r), lim f(x),
D + ‏صمت‎ T-0
2 (a) Etudicr la dérivabilité de f sur R*.
‎(b) Calculer f'(r) | 0"
3 (a) Montrer que / admet un maximum local ‏"م"‎ et un minimum local ‏"ط"‎ que l'a
‎précisera. |
(b) Montrer que f est une bijection de [a,b] — [f(b).f(a)]. >
4. Déduire la solution sur ]0, + ‏]مه‎ de l'équation différentielle:
‎y = )1 + ‏((ع)ما‎ y avec y(1) = 2

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FST Mohammedia
Exercice 2
Soit ‏م‎ une fonction de classe C! sur le segment [-#,r], à valeurs complexes. On pose,
Li
pour tout entier naturel: à, = : Î gt) cos(n.t)dt. On notera Ÿ la fonction, définie sur R,
Dr périodique, telle que: T
Vref-nn], ‏(ع)لا‎ = pis) ‏تداع‎ .
1. Exprimer les coefficients de Fourier ( a, en cosinus et b, en sinus) de ‏للا‎ à l'aide des ‏وت‎
‎(vérifier que Ÿ est paire).
2. Pour ‏ع‎ € R, prouver la convergence de la série de terme général ‏مه‎ cos(nx).
3. Pour x € ]-»,7[, calculer à l'aide de la fonction y:
+ و
{ —
عدا 0 2 + 2
‎et y{—r#), les deux sommes:‏ (7)م,(0)م ‎Exprimer à l’aide de‏ .4
‎a LT LE 7‏
ام ‎n + Da,‏
كسد اننا
5. En choisissant comme fonction 4 la fonction w(t) ‏م‎ ext.
2-)-1(*
(8) Montrer que à, = (e — @- Ar)
q (e ‏أل‎ 2
11 vif
(On pourra utiliser la formule cos(nt) = ‏لك‎ — —),
(b) En donnant à À une valeur adéquate, prouver la relation suivante:
+
verts ‏تي‎ 0, Sn 2
\ sin(nz) zx 1 2 1) 22 = n2

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FST
هط ومسا ‎À‏ وو 1
Exercice 3
Om désire € iculer numériquement les trois racines de la fonction {{x)
= 2 - ‏و3‎ + 1, où
‏م‎ > re < rs, à aide de la méthode de point fixe
ri +1
‎(Ta) =‏ = بمو
‎1 Montrer q e
2 > TK — 1
0 < T2 > 1
1 > ‏و<‎ > 2
‎2. Après avo r vérifié que ‏ع‎ et r; sont des points fixes de la fonction g{r), déterminer leur
nature (a'.ractif , répulsif ou indéterminé ;.
3. Donner 1 srdre de convergence du point fixe ra.
‎Lxercice 4
‎On organise un QCM de 100 questions. Pour chaque question il y a trois réponses possibles
ont une et une seule est exacte. ‘
© note X la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes par un candidat
pondant à toutes les questions au hasard,
2 veut Trouver un entier k tel que si un candidat à au moins © réponses Justes, il y a moins
‏؛‎ 5% de chances que toutes les réponses soient dues au hasard
1. Donner les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.
2. Donner les conditions d'approxination par la loi normale. x
3. Déterminer la plus petite valeur de k, ‏م‎
‎Indication: 11)1,045( = 0,95.