Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia — Université Hassan II — session vendredi 9 octobre 2009 (année 2009-2010) — Épreuve : mathématiques (algèbre et analyse)

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Mathématiques
Génie Enerpéti - . :
‏لمحن‎ Vendredi 9 octobre 2009 | Université Hassan 11 - Moham
Département de Physique Durses 2h ee nest echni
vacours d’admission en filière ingénieur Génie Energétique _ Année académique 2009-2(
Partie À : Algèbre (10 pts)
Exercice 1. Soit À une matrice 2 x 2 à coefficients réels.
a b
4-22
On suppose + ‏:1ط - م ا 1ح 4 0ج‎
1. Soient (z1,z2), (1, 2) deux vecteurs de R?, tels que
+)2(-
1110011767 35
Yi + Ya = Ti + T2.
2. Soit le vecteur 2 = (1,—1), vérifier que 2 est un vecteur propre de À,
et déterminer sa valeur propre.
‏م‎ A ٠ A ‏م ام‎ 0 0 .
/ 3. Déterminer le polynôme caractéristique de À et calculer ses racines.
7 { 4. Déterminer un vecteur uropre, ÿ, de À non colinéaire à &
Exercice 2. Soit Æ un espace vectoriel de dimension 3. On note B =
(&, 2 ‏(وة‎ une base de ‏ر7/‎ si 2 est un vecteur de E on note (x,,z) ses coor-
données dans la base B. Soit f une application linéaire de E dans lui-même,
définie par
J:E—_E
2 2١٠ :  -2 ‏ل‎ - 2
z z!, 4x — 2y + 7
1. Donner la matrice À de f dans la base B.

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1
(2n +1)?
7 4
0
D
neN
]ٍ f(ü2) et f(üs) et déterminer la matrice B de f dans la
L ‏ا‎
‎ext æ
> > }
: sk t Imf
2. Déterminer les sous-espaces ker fe Le | 4.
3. Soient % = (1,0,—1), ü = (1,2, 0) et d = (0,1,1). Démontrer que
[ (ü, ‏ري‎ ds) est une base de E.
4. Calculer f(ü:
base (1, ‏رو‎ Ua).
Partie 8: Analyse (10 pts)
On considère 1 équation différentielle
sbx 1 60 + chx f(x)=1
Résoudre cette équation différentielle sur R; ; R°;R°; puis sur R
1) Etudier sommairement la fonction g définie par la relation
Qx+ip ‏ا"‎ R+ (Présenter wniquement le tableau des variations)
Etudier son ‘int égrabilité sür R,. Calculer événfuéllement là valeur de 1
son int égrale sur R,.
étudier sa convergence. /
2) On considère la série. D GT : ;
2n+ . +.
3) Sachant que E(2)= D 1 = 2> déduire la valeur éxacte de la somme
‘new D |
4 تنيز
I.
p IL.
دوع